教學(xué)視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)教學(xué)問題是常見的事，尤其是對于普通一線教師來說更是如此.問題是教師專業(yè)成長的契機(jī)，理清問題出現(xiàn)的狀態(tài)與原因，可以讓教師更好地內(nèi)化所習(xí)得的理論知識.“向量”是新納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的知識，在對其的教學(xué)理解與教學(xué)實(shí)施中，常常出現(xiàn)一些教學(xué)問題，這些教學(xué)問題具有一定的代表性，以之為研究對象，可以打開對教學(xué)問題研究的視野.教學(xué)問題的解決需要兩個工具：一是發(fā)現(xiàn)問題的工具：二是解決問題的工具.理論與實(shí)踐在其中不可或缺.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)：教學(xué)視角：教學(xué)問題；發(fā)現(xiàn)：解決

從教師教學(xué)的角度來看，只要是在課堂上，就一定會有問題出現(xiàn)，這些問題有的來自于教學(xué)內(nèi)容，有的來自于教師，當(dāng)然也有的來自于學(xué)生.更多的情況下，某一個教學(xué)問題的出現(xiàn)，常常是教學(xué)內(nèi)容、教師以及學(xué)生三者共同作用的結(jié)果，從建構(gòu)主義的角度來看.這恰恰是學(xué)習(xí)共同體出現(xiàn)了影響學(xué)生建構(gòu)知識的問題.

出現(xiàn)問題并不是一件壞事.實(shí)際上正是在問題被發(fā)現(xiàn)以及得到解決的過程中，數(shù)學(xué)教師才對自身所從事的數(shù)學(xué)及其教學(xué)有了更為深刻的理解，對于普通的一線教師而言，筆者以為更需要關(guān)注的問題是如何去發(fā)現(xiàn)問題，以及如何解決這些教學(xué)問題，本文試以“向量”教學(xué)為例，談?wù)劰P者的一些認(rèn)識與見解.

向量知識納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的理解

將向量知識納入高中數(shù)學(xué)教學(xué).是課程改革之后的事情，其宏觀背景不必贅述，但需要建立教師教學(xué)角度的理解.

一個新的內(nèi)容緣何會進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材，這絕對不是課程標(biāo)準(zhǔn)和教材編寫者的一時沖動，而是存在著現(xiàn)實(shí)需要的，在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的必修4中.用一個章節(jié)的內(nèi)容確定了五個教學(xué)重點(diǎn)，即向量的概念及表示、向量的線性運(yùn)算、向量的坐標(biāo)表示法、向量的數(shù)量積、向量的應(yīng)用等，這里主要是平面向量：在選修2-1中，用一個章節(jié)的內(nèi)容列舉了兩個教學(xué)重點(diǎn)：一是空間向量及其運(yùn)算：二是空間向量的應(yīng)用.顯然，平面向量是建立向量認(rèn)識的基礎(chǔ).空間向量是平面向量知識的延伸.

筆者以為，將向量知識納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，存在其必要性，如同教材上所說的一樣，像位移、速度、力這樣的量是需要用數(shù)學(xué)模型來刻畫的，而一個數(shù)學(xué)模型本身是具有自身的性質(zhì)與應(yīng)用的.也就是說，將向量知識納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以從數(shù)學(xué)建模的角度來豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，同時也可以豐富學(xué)生對空間數(shù)與形的理解，從這個角度去理解.筆者以為是抓住了課程改革以來高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個牛鼻子，本輪課程改革看重的是超越數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)中最為重要的思想與方法之一，用一個數(shù)學(xué)模型來刻畫具體的事物或者相對抽象的概念，原本就是數(shù)學(xué)的一個重要任務(wù).

而這樣的教學(xué)理解.實(shí)際上又是一種從知識理解向思想方法理解的轉(zhuǎn)變，其具體到實(shí)際教學(xué)中，有助于教師更好地將“用教材教”落到實(shí)處.也能更好地在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，幫學(xué)生建立數(shù)學(xué)與生活的數(shù)學(xué)理解，譬如可以借助于教材提出的實(shí)際問題：飛機(jī)從東向西位移10000km；飛機(jī)每小時向西北方向飛行900km等.或者再與學(xué)生的生活關(guān)系密切一點(diǎn)：每天從家到學(xué)校的位移如何描述？如果在此過程中轉(zhuǎn)過了兒個彎子，那么每段的位移又是如何？這樣的生活問題往往能夠刺激學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的展開，因此，向量知識進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材，對于打開學(xué)生的思維也是極有幫助的.

向量教學(xué)問題的出現(xiàn)原因以及分析

但任何事物都是辯證的，在看到向量知識進(jìn)入數(shù)學(xué)教材的優(yōu)點(diǎn)的同時，深入到教學(xué)實(shí)際當(dāng)中，便會發(fā)現(xiàn)存在一些理解性與操作性的問題.正面列舉幾點(diǎn)進(jìn)行說明：

其一，對于向量本身的理解，“向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的天然橋梁”是論述向量時常常用到的一句話，其中幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)范疇內(nèi)最基本的概念，不需要過多的闡述：向量是一個新的概念，意義也很明確.倒是“聯(lián)系……橋梁”如何理解值得深思，從理論的角度來看，“聯(lián)系”無非是在兩個相對有別的概念之間產(chǎn)生互相影響的關(guān)系.而橋梁則是一種比喻，意指向量：而從實(shí)際教學(xué)的角度來看，如何讓這種聯(lián)系變得更清晰呢？又如何讓學(xué)生感覺到這種聯(lián)系的顯性存在呢？這是實(shí)際教學(xué)中最容易產(chǎn)生的問題.而究其原因，恰恰是教師對向量所代表的幾何與代數(shù)關(guān)系理解不透.借用張景中教授的一個解釋：三角形是最基本、最重要的幾何圖形，其“首尾相接”恰恰是三角形作為幾何特征，與向量作為代數(shù)特征的自然表述.也因此幾何與代數(shù)之間就借助于三角形及向量產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系.

其二，對于向量教學(xué)本身的理解.很自然的.向量教學(xué)更多地被當(dāng)成了向量知識的教學(xué).而一旦這樣進(jìn)行教學(xué)定位，教學(xué)就會出現(xiàn)問題，譬如對于平面向量基本定理的教學(xué).很多情況下無法將其與平行四邊形法則進(jìn)行很好的對應(yīng)，教師難教與學(xué)生難學(xué)的結(jié)果就是，不同的教師在不同的場合對這一教學(xué)內(nèi)容甚至是整個向量的教學(xué)內(nèi)容納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生異議.更有甚者認(rèn)為原來的教學(xué)內(nèi)容挺合理，怎么現(xiàn)在就增加了向量（包括概率統(tǒng)計等）內(nèi)容呢？這種教學(xué)問題的背后其實(shí)存在著教師的思維問題，囿于傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的教師，常常對新的事物有一種排斥，尤其是新內(nèi)容成為其教學(xué)阻礙的時候，這種排斥常常會外化為教師不同程度上的抵制言行.

其三，對向量教學(xué)中教學(xué)細(xì)節(jié)的處理問題.最典型的就是向量概念的引入與建立了，筆者觀摩過多節(jié)與向量內(nèi)容相關(guān)的課堂.一個共同的特征就是教師對向量概念建立的忽視，更多的就是借助于幾個實(shí)例提及向量的必要性與重要性.其實(shí)對于學(xué)生而言，這種必要性與重要性不是概念本身能夠解決的，而應(yīng)當(dāng)通過不斷地強(qiáng)化.以讓學(xué)生認(rèn)識到向量確實(shí)能夠解決現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題來生成的，也就是說，學(xué)生學(xué)習(xí)向量動機(jī)的激發(fā)，不是教師簡單的語言，而應(yīng)當(dāng)是教師想方設(shè)法去展示向量這一數(shù)學(xué)模型的作用.對于不少教師來說，顯然沒有建立這樣的認(rèn)識，于是向量自然地成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的知識負(fù)擔(dān)，而不是數(shù)學(xué)思想方法的載體.

實(shí)際教學(xué)中化解向量教學(xué)問題措施

要有效地解決上面提及的向量教學(xué)的問題，筆者以為關(guān)鍵在于教師在建立向量內(nèi)容的數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)上，通過有效的方法去激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與興趣，進(jìn)而激活學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力.其中，感知并體驗(yàn)向量這一數(shù)學(xué)模型的先進(jìn)性.是最為重要的思路.

有這樣一個例題：已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，求證：AR=RT=TC.據(jù)有人考證，這一例題在多個版本的教材中均有呈現(xiàn).令人不可思議的是，多個教材中所給出的用向量來解決問題的過程，要遠(yuǎn)比用相似三角形解決問題復(fù)雜得多.顯然當(dāng)引入了一個新的數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)工具之后.問題的解決還變得復(fù)雜了，那這樣的數(shù)學(xué)工具是不具有說服力的.

事實(shí)上也正如張景中教授所說，如果注意到向量的幾何與代數(shù)的雙重身份，在注重向量代數(shù)意義的時候更多地注重其幾何意義與形式，是利用向量工具進(jìn)行運(yùn)算避繁就簡的有效途徑.需要強(qiáng)調(diào)的是，教師在對待向量這一教學(xué)內(nèi)容的時候.更多地要超越一般的教學(xué)思路，更多地從學(xué)以致用，用以致簡的思路來實(shí)施教學(xué)，只有讓學(xué)生體驗(yàn)到向量存在的必要性與便捷性，才能將學(xué)生學(xué)習(xí)本知識的內(nèi)驅(qū)力激發(fā)出來.

數(shù)學(xué)教學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決淺思考

基于以上思考.筆者進(jìn)一步思考高中數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的問題，正如文章開頭所說，在教學(xué)中遇到問題是正常的，往往也是有積極意義的.那種在教學(xué)中不出現(xiàn)問題.能夠順利促進(jìn)學(xué)生成長及學(xué)科素養(yǎng)提高的教學(xué)，往往只是一種理想狀態(tài)，至少對于大多數(shù)一線教師來說并不現(xiàn)實(shí).

因此.數(shù)學(xué)教師在教學(xué)問題這個話題上，需要做的也許應(yīng)當(dāng)是努力去發(fā)現(xiàn)自己的問題所在，并努力解決之.問題的發(fā)現(xiàn)需要發(fā)現(xiàn)問題的眼光，否則問題就算放在面前也會擦肩而過.就筆者的教學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)來看，發(fā)現(xiàn)問題的眼光關(guān)鍵在于教師從學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的角度出發(fā)，看看學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的過程中有什么樣的困難，而獲得學(xué)生的反饋的途徑又在于教師與學(xué)生的有效溝通，談話、調(diào)查是比較有效的方式.

至于問題的解決，同樣是需要工具的，這個工具就是數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)思維.只有用數(shù)學(xué)教學(xué)思維去思考數(shù)學(xué)及其教學(xué)，才有可能發(fā)現(xiàn)教學(xué)的根本含義，那么，這些工具又如何有效掌握呢？其實(shí)多年前斯金納已經(jīng)給出了答案，那就是教學(xué)反思.反思常?？梢宰尳處煂虒W(xué)產(chǎn)生深入的認(rèn)識，并形成一些有益的成果.譬如本文，其實(shí)就是反思的結(jié)果.