基于平面應(yīng)變下擴(kuò)展SMP 準(zhǔn)則的土體強(qiáng)度公式

張寧寧

（1.河北省水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司，石家莊 050021；2.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西咸陽(yáng) 712100）

平面應(yīng)變狀態(tài)是目前工程中廣泛存在的一種應(yīng)力狀態(tài)，這種應(yīng)力狀態(tài)只在平面內(nèi)有應(yīng)變，而與該平面垂直方向上應(yīng)變可以忽略，但存在一定的壓應(yīng)力。具有這種特性的物體其一個(gè)方向的尺寸（通常沿軸線方向）比另外兩個(gè)方向的尺寸大很多，且沿軸線方向的橫截面形狀和大小無(wú)變化，如重力壩、堤防及條形基礎(chǔ)等。 分析土體處于平面應(yīng)變狀態(tài)下的強(qiáng)度與變形是工程中經(jīng)常遇到的一個(gè)問(wèn)題， 但在平常工作中卻忽略了這種特殊應(yīng)力狀態(tài)， 常以常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)得到的強(qiáng)度指標(biāo)（c、φ）來(lái)代替平面應(yīng)變狀態(tài)下的強(qiáng)度指標(biāo)，這種代替顯然不符合實(shí)際情況；三軸試驗(yàn)的三向應(yīng)變均不為零， 而當(dāng)土體處于平面應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，其中主應(yīng)力σ2方向（通常沿軸線方向）的應(yīng)變dε2=0， 這就對(duì)土體在dε2方向的變形發(fā)展得到了限制，進(jìn)而使得中主應(yīng)力σ2變的更大，這種應(yīng)力狀態(tài)不僅對(duì)土體的強(qiáng)度有一定增強(qiáng)作用， 而且還隨著土體的有效內(nèi)摩擦角的增大而增大， 即采用常規(guī)三軸試驗(yàn)的強(qiáng)度指標(biāo)用于平面應(yīng)變狀態(tài)下是偏于保守的，這種強(qiáng)度指標(biāo)只能作為參考使用，并不能代替，但兩者又有一定聯(lián)系。因此，建立兩種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度參數(shù)之間的關(guān)系式有重要意義。

諸多研究者對(duì)于平面應(yīng)變狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角φps值和三軸壓縮狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角φtc值兩者之間提出了各種關(guān)系式。 朱思哲［1］通過(guò)試驗(yàn)證明在平面應(yīng)變狀態(tài)下， 土體的強(qiáng)度和變形特性與三軸試驗(yàn)的結(jié)果有明顯不同，對(duì)于同樣的砂，平面應(yīng)變下的φps值約比三軸壓縮下的φtc值高出4°～7°，并且提議在選取土體強(qiáng)度參數(shù)φ時(shí)，取平面應(yīng)變的φps值比三軸壓縮下的φtc值要經(jīng)濟(jì)合理。 姚仰平等［2-3］將本構(gòu)模型與SMP準(zhǔn)則相結(jié)合考慮了應(yīng)變?cè)隽糠较蚺c應(yīng)力方向的非共軸性，并給出了擴(kuò)展SMP準(zhǔn)則。

本文基于擴(kuò)展的SMP準(zhǔn)則和佐武的平面應(yīng)變狀態(tài)， 推導(dǎo)建立了適合各種應(yīng)力狀態(tài)下的一般黏性土體的平面應(yīng)變強(qiáng)度公式， 并且通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了該公式的合理性。

1 一般黏性土的破壞準(zhǔn)則

1.1 漬ps與漬tc之間關(guān)系推導(dǎo)

對(duì)于各項(xiàng)同性的無(wú)黏性土， 三軸壓縮狀態(tài)下對(duì)應(yīng)明確的應(yīng)力條件（滓1＞滓2=滓3）和應(yīng)變條件（dε1＞dε2=dε3）； 而土體在平面應(yīng)變狀態(tài)下只對(duì)應(yīng)著明確的應(yīng)變條件（dε2=0），應(yīng)力條件不確定。 因此，通過(guò)理論建立平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力條件， 對(duì)于研究其強(qiáng)度公式是非常必要的。 Satake［4］推導(dǎo)出了平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力條件：

圖1顯示， 在子～滓空間上兩個(gè)應(yīng)力摩爾圓的公切線恰好通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， 這表明由應(yīng)力比控制的摩擦性材料， 在平面應(yīng)變狀態(tài)下兩個(gè)小摩爾圓具有相等的貢獻(xiàn)。

圖1 摩擦性材料的Mohr圓

式（2）中建立滓1、滓2及滓3之間的關(guān)系，可以繪制圖2所示的摩爾圓， 兩個(gè)小摩爾圓的公切線為水平直線，這表明對(duì)于由剪應(yīng)力控制的金屬（黏著性）材料，在平面應(yīng)變狀態(tài)下兩個(gè)小摩爾圓具有相等的貢獻(xiàn)。

圖2 金屬材料的Mohr圓

由式（1）與（2）知，材料的特性不同，平面應(yīng)變狀態(tài)下中主應(yīng)力與其他兩個(gè)主應(yīng)力滓1、滓3的關(guān)系也不同。

對(duì)于完全摩擦性的無(wú)黏土， 由上文可知應(yīng)力摩爾圓的公切線均會(huì)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)， 但在實(shí)際中土體并非完全摩擦性材料， 強(qiáng)度破壞包線一般不通過(guò)原點(diǎn)，與子軸有一定截距。 假設(shè)強(qiáng)度破壞包線總是通過(guò)一個(gè)公共點(diǎn)O0，如圖3。

圖3 擴(kuò)展的SMP準(zhǔn)則

式（13）就是根據(jù)擴(kuò)展的SMP破壞準(zhǔn)則和Satake的平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力條件式得出的平面應(yīng)變下一般黏性土體的破壞條件。 若把平面應(yīng)變狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角用φps表示，則按照內(nèi)摩擦角的定義：

式（15）為平面應(yīng)變狀態(tài)下內(nèi)摩擦角φps與三軸壓縮條件下內(nèi)摩擦角φtc之間的函數(shù)關(guān)系， 繪制φps與φtc之間的關(guān)系曲線如圖4。

圖4 φPS與φtc之間的關(guān)系曲線

由圖4可看出， 當(dāng)內(nèi)摩擦角在0°＜φtc＜90°范圍內(nèi)時(shí)，φps＞φtc。 所以平面應(yīng)變狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角大于三軸壓縮條件下的內(nèi)摩擦角， 但目前的實(shí)際工程平面應(yīng)變的分析中采用三軸壓縮試驗(yàn)得到的抗剪強(qiáng)度參數(shù)φ是偏于保守的。 由圖還可看出，φps與φtc有良好的相關(guān)關(guān)系，φps可用φtc來(lái)表示，其關(guān)系式為：

且相關(guān)系數(shù)高達(dá)R2=0.9998。

1.2 cps與ctc之間關(guān)系推導(dǎo)

在平面應(yīng)變下一般材料的Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則為：

圖5 kps與φtc之間的關(guān)系曲線

2 試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值比較

本文采用涇陽(yáng)、楊凌、子洲、北楊村及蘭州5個(gè)不同地區(qū)的黃土分別進(jìn)行平面應(yīng)變?cè)囼?yàn)及三軸壓縮試驗(yàn)，來(lái)驗(yàn)證公式的合理性［7］。 圖6為φps的試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值結(jié)果比較； 圖7為cps的試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值結(jié)果比較。 由圖6知，不同地區(qū)的黃土在平面應(yīng)變狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角φps預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相接近，說(shuō)明式（15）理論推導(dǎo)的正確性及合理性。 由圖7可知，不同地區(qū)的黃土在平面應(yīng)變狀態(tài)下的黏聚力cps實(shí)測(cè)值均落到預(yù)測(cè)值區(qū)域范圍內(nèi)，說(shuō)明式（2）～式（23）理論推導(dǎo)的正確性及合理性。

圖6 φps的試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值結(jié)果比較

圖7 cps的試驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值結(jié)果比較

3 結(jié)語(yǔ)