Amenable群作用下的局部熵的重分形分析

王 威，曹 潔

(1.南通理工學院 基礎教學學院，江蘇 南通 226002;2.南京師范大學 數(shù)學科學學院，江蘇 南京 210023)

重分形分析是動力系統(tǒng)維數(shù)理論中一個主要研究內(nèi)容,現(xiàn)主要推廣為兩個部分:重分形譜和集合上的維數(shù)性質(zhì).20世紀以來有較多研究,如文獻[1-3],分別在Gibbs測度下和具有Specification性質(zhì)的擴張同胚上對局部熵和加權(quán)熵等問題進行了重分形研究.文獻[4-5]也在局部熵的重分形上進行了研究,并獲得了較好的結(jié)果.設(X,d,T)是動力系統(tǒng),其中(X,d)是緊致度量空間,T:X→X是連續(xù)映射，M(X)為所有弱*拓撲條件下概率測度.記M(X,T)為所有T-不變測度,顯然M(X,T)?M(X), 重分形分析研究Borel測度μ的點態(tài)維數(shù).令

其中:B(x,ε)是x開ε-領域.定義集合

Xα:={x∈X:dμ(x)=α}.

其中：g可以定義Birkhoff平均值、Lyapunov指數(shù)、點態(tài)維數(shù)或者局部熵,G可以定義拓撲熵、拓撲壓或者Hausdorff維數(shù).固定q∈和μ∈M(X)，文獻[12]定義了廣義的Hausdorff維數(shù)并且建立了綱量關(guān)系式.在文獻[13]中, Olsen在d中利用分離條件研究了自仿重分形分析.

設(X,G)是G-作用下的拓撲動力系統(tǒng),X是帶有度量d的緊致度量空間，G是拓撲群，以下假設G是可數(shù)離散amenable群.群G是amenable的,如果它含有左不變平均值，即存在G的有限序列子集{Fn}是漸進不變的,亦即

這樣的序列稱為F?lner序列，詳情見文獻[14].

下面定義(X,G)的拓撲熵.設U是X的開覆蓋,U的拓撲熵定義為

其中：UFn=∨g∈Fng-1U.可見htop(G,U)不依賴F?lner序列{Fn}的選擇，(X,G)的拓撲熵定義為

其中：上確界取遍X的所有開覆蓋.

文獻[15]在Hausdorff維數(shù)的啟發(fā)下定義了子集上的拓撲熵.在amenable群作用下的動力系統(tǒng)(X,G),利用下列方法定義Bowen熵.

設{Fn}是G的F?lner序列,U是X的有限開覆蓋.記diam(U):=max{diam(u):u∈U}.對n≥1，用WFn(U)表示集族V={ug}g∈Fn,ug∈U.若V∈WFn(U)，整數(shù)m(V)=|Fn|稱為V的長度.定義

則

定義

Z作用下子集Bowen拓撲熵也有類似定義，文獻[10]證明了

可見Bowen拓撲熵定義有替代方法.

1 相關(guān)定義和引理

定義1若Z?X,s≥0,N∈，{Fn}是G中的F?lner序列，ε>0,定義

定義2設(X,G)是G-作用緊致度量拓撲動力系統(tǒng),G是可數(shù)離散amenable群.?μ∈M(X),x∈X,n∈,ε>0,{Fn}是G的F?lner序列, 定義

若α≥0,μ∈M(X,T),定義集合

htop(Kα(μ))=qα+hμ(T,q,Kα(μ))，

等式左側(cè)為拓撲熵.

下面研究amenable群作用下的局部熵及其譜,并討論Kα的大小.設μ為不變非原子測度.不失一般性，假設在任意非空開集上μ是正的.對任意至多可數(shù)集r={BFn(x,ε)}，?q,t∈，令Fμ(r,q,t)=為r的自由能量,記為(r,q,t).對任意給定的非空集合Z?X,?q,t∈,ε>0，N∈，令

上確界取遍所有有限或者可數(shù)集合r={BFni(xi,ε)},其中xi∈Z,ni≥N，且滿足

再假定Mμ,c(φ,q,t,ε,N)=0.

對任意的q,t,ε,N,量Mμ,c(Zq,t,ε,N)對N是不減的,因此下面的極限存在

下面描述一些性質(zhì)，這些都是Hausdorfff維數(shù)類型的標準證明,類似于文獻[15]中的拓撲熵性質(zhì)及文獻[16]中的拓撲壓力性質(zhì).

引理1?t∈,Mμ(Z,q,t,ε)具有如下性質(zhì):

(1)Mμ(?,q,t,ε)=0;

(2)?Z1?Z2,都有Mμ(Z1,q,t,ε)≤Mμ(Z2,q,t,ε)；

注1易證Mμ(·,q,t,ε)是一個外測度.

引理2存在臨界值hμ({Fn},q,Z,ε)∈[-∞,∞],滿足

引理3下列結(jié)果成立:

(1)hμ({Fn},q,φ,ε)=-∞；

(2)?Z1?Z2，都有hμ({Fn},q,Z1,ε)≤hμ({Fn},q,Z2,ε);

性質(zhì)1下列結(jié)果成立:

(1)hμ({Fn},q,φ)=-∞；

(2)?Z1?Z2，都有hμ({Fn},q,Z1)≤hμ({Fn},q,Z2)；

2 主要結(jié)果及證明

定理假設μ為任意非空開集上非原子G-不變正測度.對?α≥0，每個q∈，有

性質(zhì)2假設μ為任意非空開集上非原子G-不變正測度.對Z?X，有

證明如果Z=?, 兩側(cè)皆為-∞，顯然成立.假設Z≠?, 現(xiàn)證

由r的任意性, 考慮如下定義

由拓撲熵的定義可知,存在開覆蓋U且diam(U)<ε,滿足

(1)

設Z′是Z的任意子集，Γ={Uni}是任意弦覆蓋Z′的集族.假定對于Uni∈Γ,Uni∩Z′≠?.否則,就刪除這些弦而獲得更小的弦.它們?nèi)匀桓采wZ′.?Uni∈Γ, ?xUni∈Uni∩Z′.所以xUni∈Uni?BFni(xUni,ε).

因此集族γ={BFn(xUni,ε)}是Z′的開覆蓋.根據(jù)加權(quán)自由能量定義, 可得?s∈,有

Mμ,c(Z′,0,t,ε)≤M(Z′,U,s)，

由M(·,U,s)的單調(diào)性可知最后不等式成立，可得hμ({Fn}，0,Z,ε)≥h({Fn},Z,U),與(1)矛盾.

注2若q=0, 由性質(zhì)1知定理只需證q≠0的情形.

考慮α≥0對應的水平集

取x∈Kα,M，存在N0=N0(x,δ,εM),滿足

?n≥N0,取

Kα,M,N={x∈Kα,M:N0=N0(x,δ,εM)

引理4設U是X的開覆蓋.取M,N∈.考慮集合Kα,M,N滿足其中γ(U)是ULebesgue數(shù).那么對于s≥qα+|q|δ+t，可得

M(Kα,N,M,U,s)≤Mμ,c(Kα,N,M,q,t,εM).

證明設n>N,γ={BFni(xi,εM)}是Kα,N,M任意覆蓋，且滿足xi∈Kα,N,M.對任意i，都有ni≥n≥N.對每個xi，可得某弦覆蓋Uni，滿足Bni(xi,εM)?Uni，即存在Γn={Uni},滿足

由于對?i，都有ni≥n≥N,xi∈Kα,N,M，有

exp(-(α+δ)|Fni|)≤μ(BFni(xi,εM))≤exp(-(α-δ)|Fni|).

如果q≥0,那么μ(BFni(xi,εM))q≥exp(-q(α+δ)|Fni|)，且對s≥qα+qδ+t，有

(2)

另一方面, 如果q≤0,那么μ(BFni(xi,εM))q≥exp(-q(α-δ)|Fni|),且s≥qα-qδ+t，有

(3)

結(jié)合(2),(3),得

M(Kα,N,M,U,s,n)≤Mμ,c(Kα,N,M,q,t,εM,n).

令n→∞,有

M(Kα,N,M,U,s)≤Mμ,c(Kα,N,M,q,t,εM).

引理5取M,N∈,考慮集合Kα,M,N,設U是X的開覆蓋，滿足那么對s≤qα-|q|δ+t,有

Mμ(Kα,N,M,q,t,εM)≤M(Kα,N,M,U,s).

集族BFn(x,εM)是Z的中心覆蓋.因為xUni∈Z?Kα,N,M且n>N，所以

exp(-(α+δ)|Fni|)≤μ(BFn(xUFni,ε))≤exp(-(α-δ)|Fni|).

若q≥0，有

若s≤qα-qδ+t.由Γn的任意性，有

Mμ，c(Z,q,t,εM,n)≤M(Z,U,s,n).

令n→∞，有

Mμ，c(Z,q,t,εM)≤M(Z,U,s)≤M(Kα,M,N,U,s).

Mμ(Kα,M,N,q,t,εM)≤M(Kα,M,N,U,s).

(4)

若q≤0，有

μ(BFni(xUni,εM))q≤exp(-q(α+δ)|Fni|).

因此，有

對s≤qα+qδ+t, 類似于q≥0，有

Mμ(Kα,M,N,q,t,εM)≤M(Kα,M,N,U,s).

(5)

結(jié)合(4)，(5)得證.

下面完成定理的證明.根據(jù) Bowen拓撲熵的定義需證

假設Kα(μ)≠?.否則,由于等式兩邊都趨于-∞,顯然成立.當Kα(μ)≠?時，證明分兩步.

假設不成立，取

(6)

因為

且

由s=qα+hμ({Fn},q,Kα(μ))+2r，t=hμ({Fn},q,Kα(μ))+r-|q|δ和引理4,有

(7)

與假設矛盾.事實上

hμ({Fn},q,Kα(μ),εM)≥hμ({Fn},q,Kα,M,N,εM)，

所以，有

Mμ(Kα,N,M,q,hμ(T1,q,Kα(μ))+r-|q|δ,εM)=0，

與(7)矛盾.

假設不成立.取

qα+hμ({Fn},q,Kα(μ))>h({Fn},Kα(μ),U)+3r.

下列表達式成立

(8)

當M,N充分大，這是可能的，因為

M(Kα,N,M,U,qα+hμ({Fn},q,Kα(μ)-2r))=0.

由s=qα+hμ(T,q,Kα(μ))-2r，t=hμ({Fn},q,Kα(μ))-r+|q|δ和引理5，有

Mμ(Kα,N,M,q,hμ({Fn},q,Kα(μ))-r+|q|δ,εM)=0，

(9)

與假設矛盾, 事實上

hμ({Fn},q,Kα(μ),εM)-r≤hμ({Fn},q,Kα,M,N,εM)，

所以，有

Mμ(Kα,N,M,q,hμ(T1,q,Kα(μ))-r+|q|δ,εM)=∞，

與(9)矛盾.

根據(jù)(i),(ii)，知定理成立.