林用無人機航跡非概率不確定性優(yōu)化

徐玉潔 鄭哲文

(中南林業(yè)科技大學材料與工程學院，湖南 長沙 410004)

引言

我國森林資源分布不均勻，森林的占有面積僅為世界的1/6，存在問題有很多。森林火災是森林災害中破壞性最強的，也是林業(yè)中最為可怕的災害。森林防火是森林保護的重要內(nèi)容。如何做到有效防火是人們?nèi)找骊P(guān)心的問題[1]。無人機具有成本較低、機動速度快、維修簡單等特點，用途廣泛；但無人機在環(huán)境未知的空間中飛行，會面臨大量動態(tài)、未知的限制因素，如噪聲、氣流影響、傳感器限制等[2]，這些因素的變化會導致在建模過程中的結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定。傳統(tǒng)的優(yōu)化模型均解決確定性問題，環(huán)境較為理想化，然而實際環(huán)境會受諸多因素影響。林用無人機受動態(tài)環(huán)境因素影響不確定性因素較多，如天氣、風速以及無人機性能本身等，需要考慮實際工程結(jié)構(gòu)中的不確定性以及對應的優(yōu)化方法。不確定性的度量通常有概率與非概率模型，概率型所需樣本較多，雖然計算較為精確，但成本較高，在實際情況下適用度不高；非概率模型所需樣本相對較少，只需確定邊界即可，雖然不確定性因素的詳細信息很難獲取或者根本無法知道，但是其不確定性的邊界往往是很容易確定的[3]。人們對區(qū)間模型的理論和應用進行了廣泛研究[4-8]。在求解區(qū)間模型的方法中，J Wu等[9]提出在不確定區(qū)間結(jié)構(gòu)下基于區(qū)間算法和切比雪夫區(qū)間擴張函數(shù)的魯棒拓撲優(yōu)化方法；Jiang C等[10]基于區(qū)間序關(guān)系將不確定的目標函數(shù)和約束轉(zhuǎn)化為確定性的模型，然后采用改進的帶懲罰函數(shù)的遺傳算法進行求解；姜潮[11]提出非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學轉(zhuǎn)換模型即確定和不確定性之間的相互轉(zhuǎn)換模型；符純明[12]提出基于IDE模型不需轉(zhuǎn)換直接求解不確定優(yōu)化問題；邱志平和祁武超[13]提出結(jié)構(gòu)非概率可靠性優(yōu)化模型等。本文采用了符純明[12]基于區(qū)間差分進化算法來解決非線性區(qū)間優(yōu)化問題，該算法可直接求解無需轉(zhuǎn)換，在方法上更為簡便，計算效率較高，保真度較好。

1 區(qū)間不確定性優(yōu)化

過去由于研究條件和手段的限制，通常把實際問題簡化為理想化模型予以考慮，然而實際中存在大量的不確定因素。隨著社會進步和科技發(fā)展，不確定性所帶來的后果越來越受到人們的重視。無人機所處工作環(huán)境中的不確定因素非常顯著，如果繼續(xù)予以確定性問題來研究，難免會產(chǎn)生意想不到的后果，所以對無人機進行不確定分析很有必要。不確定性的度量通常有概率和非概率2種模型，概率模型所需樣本多，雖在算法上有較強的數(shù)學依據(jù)，但是其抽樣成本較高，適用度不適合少樣本及成本高的場合。而非概率模型中的區(qū)間模型[14]只需要確定上下界，不需要具體的概率分布，具有成本低、適用度廣等優(yōu)點，越來越受到人們的青睞。

1.1 區(qū)間

根據(jù)區(qū)間數(shù)學[15]，區(qū)間數(shù)的定義是一組有序的實數(shù)：

AI=[AL,AR]=[x|AL

(1)

式中，I、L、R分別表示區(qū)間、區(qū)間下界和區(qū)間上界，當L=R時，區(qū)間為一實數(shù)。

區(qū)間也可以用中點和半徑表示：

AI=〈AC,AW〉={x|AC-AW

(2)

式中，AC是中點；AW是半徑。

(3)

(4)

普通的參數(shù)為固定值，參數(shù)用區(qū)間表示就不為某一實數(shù)，而是區(qū)間數(shù)，是一個服從更均勻分布的波動。

1.2 區(qū)間差分進化算法

大多數(shù)求解非線性區(qū)間優(yōu)化的方法是將原始不確定性問題轉(zhuǎn)換成確定性問題，求解過程復雜，計算量大，結(jié)果誤差較大，求解問題僅限于最一般的不確定性問題，局限性較大。而直接法不需進行轉(zhuǎn)換，在一般的計算資源中均可使用，為了避免將不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性問題，本文采用符純明的基于區(qū)間差分進化算法來解決非線性區(qū)間優(yōu)化問題，其中區(qū)間概率模型用于確定不確定性優(yōu)化問題的區(qū)間約束[12]，區(qū)間優(yōu)先規(guī)則用于選擇當前最優(yōu)的解決方案以保留到下一個進化種群中。區(qū)間差分進化算法主要包括4個步驟，初始化、變異、交叉和選擇策略。

1.2.1 初始化

(5)

式中，i=1,2,…,NP;j=1,2,…,N;randj(0,1)是一個在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布的隨機數(shù)。

1.2.2 變異策略

第g次迭代時，差分變異操作產(chǎn)生變異向量。常見的差分變異算子：

DE/rand/1/bin

Vi,k=Xr1,k+F(Xr2,k-Xr3,k)

(6)

DE/rand-to-best/1/bin

Vi,k=Xr1,k+F(Xbest,k-Xr1,k)+F(Xr2,k-Xr3,k)

(7)

DE/rand/2/bin

Vi,k=Xr1,k+F(Xr2,k-Xr3,k)+F(Xr4,k-Xr5,k)

(8)

DE/current-to-rand/1/bin

Vi,k=Xi,k+F(Xr1,k-Xi,k)+F(Xr2,k-Xr3,k)

(9)

式中，r1,r2,r3,r4,r5∈{1,2,…,NP}均為兩兩互不相同的整數(shù)，且與當前的目標向量索引i不同，因此要求種群規(guī)模NP≥4；F為縮放因子，是介于(0,1)的常數(shù)，用于控制差分向量的大小。F過小會降低收斂速度，但F也不能過大，否則種群將無法收斂。

1.2.3 交叉策略

在變異操作后，需要將目標向量Xi,k與變異向量Vi,k進行二項式交叉，生成最終的試驗向量Ui,k=[ui,1,k,ui,2,k,…,ui,N,k]，按照以下公式執(zhí)行交叉操作。

(10)

式中，jrand是從集合{1,2,…,N}內(nèi)隨機選取的一個整數(shù)，以保證變異向量Vi,k至少有一維信息被保留下來。交叉概率CR是(0,1)區(qū)間范圍內(nèi)的一個常數(shù)。

1.2.4 選擇策略

傳統(tǒng)選擇策略對試驗向量ui,k與目標向量Xi,k的目標函數(shù)值進行比較，若ui,k具有更優(yōu)的目標函數(shù)，則將Xi,k替換為ui,k；否則，Xi,k保持不變。以目標最小化為例，選擇操作可表示為：

(11)

而區(qū)間優(yōu)先規(guī)則在原有選擇策略的基礎上引入?yún)^(qū)間概率模型，主要用于量化評估一個區(qū)間優(yōu)于或劣于另一個區(qū)間。對于區(qū)間Al和Bl，區(qū)間概率：

(12)

則第j個不等式對應的區(qū)間概率：

(13)

2 無人機航跡規(guī)劃建模

2.1 無人機航跡規(guī)劃確定性模型

通常情況下，無人機航跡規(guī)劃是指在任務區(qū)域D={(xi,yi,zi)|i∈(1,n)}內(nèi)，在滿足飛行約束和機動性能約束的前提下，計算獲得一組最優(yōu)路徑規(guī)劃點pi=(xi,yi,zi)，最終使整個規(guī)劃代價最小，其優(yōu)化問題可描述為：

(14)

飛行約束條件包括以下幾點。

轉(zhuǎn)向角約束：為了保證飛行軌跡平滑，在每一航路點的最大轉(zhuǎn)向角[16]可表示：

(15)

式中，nmax為最大橫向過載；g為重力加速度；V為飛行速度；則無人機轉(zhuǎn)向角約束為：

φ1=max(μi-μmax)≤0

(16)

爬升/下降約束：路徑點pi處的斜率si由最大爬升斜率βi和最小下降斜率γi約束[17]，可表示：

(17)

(18)

爬升和下降約束：

(19)

2.2 無人機航跡規(guī)劃不確定性模型

在實際優(yōu)化問題建模時，優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束函數(shù)中往往含有不確定變量及參數(shù)，引入?yún)^(qū)間模型后，原問題的形式轉(zhuǎn)化：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

無人機航跡規(guī)劃流程如圖1所示。

圖1 林用無人機航跡規(guī)劃流程圖

3 算例分析

無人機航跡規(guī)劃的過程中，其環(huán)境信息往往是動態(tài)的、不確定的，在實際場景下已知的信息會發(fā)生一些變化，如產(chǎn)生運動障礙(飛鳥、空中散落的樹枝)或者地圖信息改變(植被生長更替)等，因此需要對動態(tài)環(huán)境進行算法驗證。為了驗證本文所述區(qū)間差分進化算法的有效性，對無人機森林航跡規(guī)劃的3個地圖的20組實驗結(jié)果進行分析與討論。設置任務區(qū)D=[0,1500]×[0,1500]×[0,2500]，m；算法初始參數(shù)配置為NP=200,kmax=500，F(xiàn)=0.8，CR=0.2，α=0.3；第2部分的具體飛行參數(shù)及不確定參數(shù)區(qū)間見表1。

表1 飛行參數(shù)及不確定區(qū)間

本文同時給出基于區(qū)間差分進化算法IDE的路徑規(guī)劃、傳統(tǒng)的非區(qū)間優(yōu)化算法(遺傳算法[18]GA、差分進化算法DE)的路徑規(guī)劃以及IP-GA結(jié)果，如表2所示。相比傳統(tǒng)的非區(qū)間優(yōu)化算法(GA、DE)，區(qū)間差分進化算法生成的路徑長度與代價值更小，對比GA，最優(yōu)子路徑縮短了約18.26%。與基于區(qū)間的非線性優(yōu)化方法IP-GA相比，IDE在路徑長度更長的地圖中具備更大優(yōu)勢。通過對比GA、DE、IP-GA、IDE算法的收斂性，由圖2可以看出，區(qū)間差分進化算法和IP-GA收斂性較強，但IDE算法運行時間至少比IP-GA算法快了10.39%。綜合多次搜索路徑結(jié)果來看，區(qū)間差分進化算法搜索結(jié)果更穩(wěn)定，魯棒性更強。綜合比較表中數(shù)據(jù)，區(qū)間差分進化算法在不確定性空間下的全局路徑規(guī)劃能力表現(xiàn)出良好的性能。

表2 3個地圖中不同算法的路徑長度、代價值和運行時間的統(tǒng)計結(jié)果

圖2 對比GA、DE、IP-GA、IDE算法的收斂曲線

4 結(jié)論

本文對考慮不確定性參數(shù)的非概率林用無人機航跡規(guī)劃問題進行研究，通過描述不確定性參數(shù)對無人機航跡規(guī)劃進行建模，采用一種基于區(qū)間差分進化算法的非線性不確定優(yōu)化問題的分解分析方法，選擇最優(yōu)的解決方案來提高算法搜索效率。研究表明，采用區(qū)間差分進化算法的林用無人機航跡優(yōu)化可直接處理存在于目標函數(shù)和約束中的區(qū)間不確定性，無需進行轉(zhuǎn)化，適用度高，結(jié)果保真度較好；基于區(qū)間差分進化算法的林用無人機航跡規(guī)劃能夠有效考慮不確定參數(shù)對最優(yōu)路徑的影響，其優(yōu)化效率較高；相比于GA、DE、IP-GA算法，基于區(qū)間差分進化算法擁有更好的魯棒性，平均搜索路徑更短，對比IP-GA求解效率提升約10.39%。