考慮傾角影響的擴(kuò)大頭錨桿極限抗拔力

江建洪，曾慶義，馬 健

(1.蘇州大學(xué) 軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州 215131；2.深圳鉅聯(lián)錨桿技術(shù)有限公司，廣東 深圳 518034；3.上海勘察設(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司，上海 200093)

擴(kuò)大頭錨桿因其抗拔承載力高、適應(yīng)性廣和安全經(jīng)濟(jì)等優(yōu)點(diǎn)日益得到廣泛應(yīng)用[1]。但目前關(guān)于擴(kuò)大頭錨桿的力學(xué)機(jī)制和抗拔力計(jì)算理論仍在不斷發(fā)展中[2-15]?，F(xiàn)行的《建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程》[16]對錨桿極限抗拔力僅考慮了錨固體與所在土層之間的摩阻強(qiáng)度。在關(guān)于摩阻強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)表格中，對擴(kuò)孔工藝施工的錨桿建議在表中數(shù)值基礎(chǔ)上適當(dāng)提高，這種做法經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，沒有考慮擴(kuò)大頭錨桿端部正壓力所提供的抗拔力。郭文龍等[2]采用有限差分法研究了豎向擴(kuò)大頭錨桿的抗拔力及相關(guān)影響因素。郭鋼等[3]通過室內(nèi)試驗(yàn)研究了豎向擴(kuò)大頭錨桿的各階段破壞及其規(guī)律。陳帥等[4]結(jié)合極限分析法和有限差分法研究了抗浮錨桿的抗拔力及相關(guān)影響因素。李糧綱等[5]結(jié)合彈性理論和現(xiàn)場試驗(yàn)對豎向擴(kuò)大頭錨桿的最大抗拔力計(jì)算公式及相關(guān)影響因素進(jìn)行了探討。以上研究均集中于豎向擴(kuò)大頭錨桿的抗拔力。劉波等[6]通過現(xiàn)場試驗(yàn)對擴(kuò)大頭錨索在飽和粉細(xì)砂層中的受力特性進(jìn)行了研究，考慮了錨桿傾角的影響。國外研究大都集中在無黏性土中完全豎直或水平的板式錨桿的極限抗拔力[7-8]，對傾斜的情況也有一定的研究[9-13]。Frydman等[9]針對埋置于砂土中的板式錨桿，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果提出了錨桿傾角對板前土壓力影響的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，但該公式僅僅是曲線擬合表達(dá)式，不包含砂土性質(zhì)的相關(guān)物理量。Murry等[10]采用極限分析方法得到了無黏性土中板式錨桿傾斜情況下的極限抗拔力，并與已有相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比。Hanna等[11]根據(jù)試驗(yàn)現(xiàn)象提出破壞面假設(shè)，推導(dǎo)了砂土中板式錨桿傾斜情況下的極限抗拔力。Bhattacharya等[12]結(jié)合極限分析下限法和有限元方法考察了砂土中不同傾角下板式錨桿的極限抗拔力。Yu等[13]采用塊體理論分析了砂土中不同傾角下板式錨桿的極限抗拔力。以上板式錨桿抗拔力的研究可供擴(kuò)大頭錨桿的端壓力研究借鑒，但僅限于無黏性土的情況，對其他土體的適用性有待考察。Xanthakos[14]針對無黏性土和黏性土地層分別給出了考慮擴(kuò)大頭端壓力的極限抗拔力表達(dá)式，但相關(guān)的承載系數(shù)經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，沒有考慮錨桿傾角的影響，且應(yīng)用范圍較小。曾慶義等[15]根據(jù)擴(kuò)大頭錨桿的受力過程，提出了其極限端壓力和極限抗拔力的計(jì)算方法，并為現(xiàn)行的《高壓噴射擴(kuò)大頭錨桿技術(shù)規(guī)程》[17]和公司規(guī)程[18]所采用。曾慶義等[15]對擴(kuò)大頭錨桿端壓力的表達(dá)式局限于錨桿完全水平或完全豎直的情況，而規(guī)程[17-18]對于擴(kuò)大頭錨桿傾斜的情況，近似采用錨桿完全水平時(shí)的端壓力。

應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，擴(kuò)大頭錨桿為了提高其抗拔承載力往往需要避開軟弱土層，而將擴(kuò)大頭選擇設(shè)置在工程性質(zhì)較好的土層中，這就使得擴(kuò)大頭錨桿往往具有一定的傾角。因此，錨桿傾角對擴(kuò)大頭錨桿的極限端壓力及極限抗拔力的影響值得深入研究。本研究在原有工作基礎(chǔ)[15]上，提出考慮傾角影響的擴(kuò)大頭錨桿極限抗拔力計(jì)算方法。

1 擴(kuò)大頭錨桿抗拔力計(jì)算公式

1.1 力學(xué)模型

擴(kuò)大頭錨桿的破壞形式可以是桿體破壞、擴(kuò)大頭段注漿體與桿體握裹力破壞或擴(kuò)大頭端周土體破壞。擴(kuò)大頭錨桿的極限抗拔力應(yīng)是抵抗這3種破壞的抗拔力最小值。前兩種破壞形式可以通過選擇合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)來避免。在第3種破壞形式中，土體隨錨桿位移表現(xiàn)出不同階段的力學(xué)反應(yīng)，包括靜止土壓力階段、過渡階段和塑性區(qū)壓密-擴(kuò)張階段[15]。本研究主要討論基于第3種破壞形式的擴(kuò)大頭錨桿抗拔力，相應(yīng)的力學(xué)模型見圖1。

圖1 擴(kuò)大頭錨桿力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model for end-expanded ground anchor

如圖1所示，擴(kuò)大頭錨桿的抗拔力T由3部分組成，包括普通錨固段錨固體側(cè)壁與土體摩阻力所提供的抗拔力T1、擴(kuò)大頭側(cè)壁與土體摩阻力所提供的抗拔力T2和土體對擴(kuò)大頭端部正壓力所提供的抗拔力T3，具體如下[15,17]：

T=T1+T2+T3

(1)

T1=πD1L1τf

(2)

T2=πD2L2τfd

(3)

(4)

式中：D1和D2分別為錨桿鉆孔直徑和擴(kuò)大頭直徑，L1和L2分別為非擴(kuò)大頭錨固段計(jì)算長度和擴(kuò)大頭長度，τf為非擴(kuò)大頭錨固段地層與錨固體側(cè)壁之間的摩阻強(qiáng)度，τfd為擴(kuò)大頭側(cè)壁與地層之間的摩阻強(qiáng)度。L1、τf和τfd的確定可參考現(xiàn)行的《高壓噴射擴(kuò)大頭錨桿技術(shù)規(guī)程》[17]。在某些情況下，取L1=0而使得T1=0，這將在第2節(jié)詳細(xì)說明[17]。pD為土體作用于擴(kuò)大頭端面上的正壓力強(qiáng)度(簡稱端壓力),pD與擴(kuò)大頭埋深、擴(kuò)大頭前端土體性質(zhì)及錨桿的工作狀態(tài)有關(guān)。不同工況下pD確定后，錨桿抗拔力T可由式(1)～(4)確定。

1.2 基本假定

為確定不同工況下pD，采用曾慶義等[15]工作的4條假定[15]：1)擴(kuò)大頭埋深足夠深；2)忽略擴(kuò)大頭前端錨桿桿體對土體應(yīng)力狀態(tài)的影響；3)土體單元在某一方向上的壓力增量σT，將在與該方向垂直的其他方向產(chǎn)生側(cè)壓力增量ξσT，其中,ξ為側(cè)壓力系數(shù)，并假定ξ大于0且小于1；4)土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，符合莫爾-庫倫強(qiáng)度理論。

曾慶義等[15]對側(cè)壓力系數(shù)ξ進(jìn)行了深入討論，并推薦ξ的經(jīng)驗(yàn)范圍為

ξ=(0.5～0.95)Ka

(5)

式中：Ka為擴(kuò)大頭前端土體的朗肯主動(dòng)土壓力系數(shù)，Ka=tan2(45°-φ/2)；φ為擴(kuò)大頭前端土體的內(nèi)摩擦角。

曾慶義等[15]同時(shí)假設(shè)錨桿為完全水平或完全豎直[15]。此處取消該假設(shè)，考察與水平向呈任意傾角下錨桿的極限抗拔力。如圖1，錨桿與水平向夾角為α，與豎直向夾角為β，二者滿足α+β=90°。為敘述方便，以下將夾角α簡稱為錨桿傾角，取值為[0°，90°]。

1.3 擴(kuò)大頭錨桿極限抗拔力的計(jì)算公式

一般情況下，土體的靜止土壓力系數(shù)K0<1。如對于正常固結(jié)黏土或松砂，常用Jaky公式[19]：K0=1-sinφ，其中,φ為土體的內(nèi)摩擦角。而曾慶義等[15]在其錨桿抗拔力公式中K0的建議表達(dá)式為

K0=1-sin(1.3φ)

(6a)

但對于某些超固結(jié)土，其K0可能大于1。比如Mesri等[20]在文中圖19給出了各種砂土隨超固結(jié)比增大的情況，其K0可達(dá)2.0左右；在文中圖27給出了一種超固結(jié)黏土的豎向應(yīng)力與水平應(yīng)力關(guān)系，其K0為1.63。Das[21]給出了超固結(jié)土的靜止土壓力系數(shù)K0,OC與其對應(yīng)的正常固結(jié)土靜止土壓力系數(shù)K0,NC之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，即

(6b)

式中ROC為土體的超固結(jié)比(OverConsolidation Ratio)。

K0的大小影響土體單元初始大小主應(yīng)力的確定，因此，此處將區(qū)別K0不大于1與大于1這兩種情況對擴(kuò)大頭錨桿的抗拔力分別進(jìn)行討論。認(rèn)識(shí)到當(dāng)超固結(jié)比較大、K0>1時(shí)，土質(zhì)往往較好，有時(shí)采用非擴(kuò)大頭的常規(guī)錨桿也能滿足工程要求。為保持理論的完整性，下文還是將這兩種情況分別進(jìn)行分析。

1.3.1 靜止土壓力系數(shù)不大于1的情況

在圖1中錨桿擴(kuò)大頭前端取一土體單元進(jìn)行分析，其受力變化情況如圖2，相應(yīng)的應(yīng)力莫爾圓如圖3。為敘述方便，與水平方向呈α角的面稱為α面，而另一個(gè)與水平方向呈β角的面稱為β面。初始應(yīng)力狀態(tài)如圖2最左側(cè)的單元受力情況。由于錨桿拉力在α方向產(chǎn)生應(yīng)力增量σT,β面將產(chǎn)生正應(yīng)力增量σT，而與β面相垂直的其他面產(chǎn)生正應(yīng)力增量ξσT，最終的應(yīng)力狀態(tài)如圖2最右側(cè)的單元受力情況。與α面和β面均垂直的另一個(gè)面是一個(gè)主應(yīng)力面，其應(yīng)力變化為在初始地應(yīng)力的基礎(chǔ)上增加正應(yīng)力增量ξσT。

圖2 土體單元受力變化Fig.2 Evolution of stress state for a soil element

圖3 土體單元受力變化的莫爾圓(K0≤1)Fig.3 Mohr′s circles for evolution of stress state for a soil element (K0≤1)

在圖3莫爾圓中，A點(diǎn)和A′點(diǎn)分別代表α面的初始應(yīng)力狀態(tài)和最終應(yīng)力狀態(tài)，C點(diǎn)和C′點(diǎn)分別代表β面的初始應(yīng)力狀態(tài)和最終應(yīng)力狀態(tài)，B點(diǎn)代表與α面和β面均垂直的第3個(gè)面的初始應(yīng)力狀態(tài)。假設(shè)土體單元的初始豎向主應(yīng)力為σz,0=γh，其中,h為擴(kuò)大頭前端中點(diǎn)到地面的埋深，γ為擴(kuò)大頭上覆土層的加權(quán)平均重度。B點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為(K0σz,0,0)。由于K0≤1，K0σz,0為小主應(yīng)力，B為圖3左側(cè)初始莫爾圓的小主應(yīng)力點(diǎn)。第3個(gè)面產(chǎn)生應(yīng)力增量ξσT后，應(yīng)力狀態(tài)用B′點(diǎn)表示，其坐標(biāo)為(K0σz,0+ξσT,0)。假設(shè)A′點(diǎn)和C′點(diǎn)組成的莫爾圓交正應(yīng)力坐標(biāo)軸于S點(diǎn)和Q點(diǎn)。由于應(yīng)力增量σT較大，右側(cè)Q點(diǎn)的正應(yīng)力為最終狀態(tài)的大主應(yīng)力σ1，而B′點(diǎn)的正應(yīng)力為最終狀態(tài)的小主應(yīng)力σ3，即σ3=K0σz,0+ξσT。以B′Q為直徑的莫爾圓是包含最大和最小主應(yīng)力的應(yīng)力圓。根據(jù)莫爾-庫倫強(qiáng)度理論，σ1的表達(dá)式為

(7)

式中:c為錨桿擴(kuò)大頭前端土體的黏聚力;Kp為擴(kuò)大頭前端土體的朗肯被動(dòng)土壓力系數(shù)，Kp=tan2(45°+φ/2)。以下將通過圖3中莫爾圓的幾何關(guān)系得到關(guān)于應(yīng)力增量σT的表達(dá)式。

圖3中左側(cè)和右側(cè)莫爾圓的圓心分別為O點(diǎn)和P點(diǎn)。假設(shè)右側(cè)莫爾圓的半徑為R，則有R=|PQ|=σ1-σP，而σP=(σA′+σC′)/2=γh(1+K0)/2+σT(1+ξ)/2，結(jié)合式(7)得

(8)

過圓心P做AC的平行線交CC′于D，則在三角形PDC′中

|DC′|=|CC′|-|CD|=|CC′|-|OP|=

|PC′|=R

∠PDC′=2α

運(yùn)用余弦定理得

(9)

聯(lián)立式(8)和(9)得到關(guān)于應(yīng)力增量σT的一元二次表達(dá)式：

(10a)

其中系數(shù)

A=(ξKp)2-ξ(1+ξ)Kp+ξ

(10b)

(10c)

(10d)

應(yīng)力增量σT應(yīng)取其中有意義的實(shí)根。

端壓力pD=σβ=σβ,0+σT，結(jié)合圖3中C點(diǎn)正應(yīng)力σβ,0的表達(dá)式得

(11)

(12)

此時(shí)圖3中B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，C′點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，端壓力pD取C′點(diǎn)的正應(yīng)力值，即

(13)

這與之前研究中錨桿完全水平時(shí)的端壓力表達(dá)式相同[15]。

(14)

此時(shí)圖3中A點(diǎn)與B點(diǎn)重合，C′點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，端壓力pD取C′點(diǎn)的正應(yīng)力值，即

(15)

這與之前研究中錨桿完全豎直時(shí)的端壓力表達(dá)式相同[15]。

以上特殊情況(錨桿完全水平或完全豎直的情況)的端壓力pD，也可以由式(10)和(11)直接得到。

1.3.2 靜止土壓力系數(shù)大于1的情況

當(dāng)K0>1時(shí)，土體單元受力變化仍如圖2所示。由于此時(shí)初始豎向應(yīng)力σz,0=γh為小主應(yīng)力，而σx,0=K0γh為大主應(yīng)力，其莫爾應(yīng)力圓與K0≤1的情況有較大不同，具體如圖4所示。

圖4 土體單元受力變化的莫爾圓(K0>1)Fig.4 Mohr′s circles for evolution of stress state for a soil element (K0>1)

A點(diǎn)和A′點(diǎn)分別代表α面的初始應(yīng)力狀態(tài)和最終應(yīng)力狀態(tài)，C點(diǎn)和C′點(diǎn)分別代表β面的初始應(yīng)力狀態(tài)和最終應(yīng)力狀態(tài)，B點(diǎn)代表與α面和β面均垂直的第3個(gè)面的初始應(yīng)力狀態(tài)。在圖4左側(cè)的初始莫爾應(yīng)力圓中，B點(diǎn)的正應(yīng)力K0γh為大主應(yīng)力。在應(yīng)力增量σT發(fā)生后，A′點(diǎn)、B′點(diǎn)和C′點(diǎn)分別代表3個(gè)相互垂直面的應(yīng)力狀態(tài)。由此可見，最終狀態(tài)的大小主應(yīng)力發(fā)生在A′點(diǎn)和C′點(diǎn)所構(gòu)成的應(yīng)力圓上，小主應(yīng)力為S點(diǎn)的正應(yīng)力，而大主應(yīng)力為Q點(diǎn)的正應(yīng)力。根據(jù)莫爾-庫倫強(qiáng)度理論表達(dá)式，并在直角三角形A′TC′中運(yùn)用勾股定理可得關(guān)于應(yīng)力增量σT的一元二次表達(dá)式(16a)、(16b)、(16c)和(16d)。應(yīng)力增量σT應(yīng)取其中有意義的實(shí)根。

(16a)

其中

(16b)

(16c)

(16d)

端壓力pD為C′點(diǎn)的正應(yīng)力值，即

(17)

特別地，當(dāng)錨桿完全水平時(shí)，α=0°，由式(16)和(17)得

(18)

(19)

當(dāng)錨桿完全豎直時(shí)，α=90°，由式(16)和(17)得

(20)

(21)

注意到式(20)和(21)分別與式(14)和(15)相同，這是因?yàn)樵谶@兩種情況下，σz都從γh增大為大主應(yīng)力γh+σT，而σx和σy是等同的，都從K0γh變?yōu)樾≈鲬?yīng)力K0γh+ξσT。錨桿完全水平時(shí)的情況有所不同：當(dāng)應(yīng)力增量沿著水平方向X施加時(shí)，σy和σz是不等同的，因而式(18)、(19)與式(12)、(13)不同。

2 錨桿傾角的影響及算例

為了考察錨桿傾角的影響，定義一個(gè)比例函數(shù)f(α)，簡稱為錨桿端壓力傾角比例函數(shù)，滿足如下表達(dá)式

pD(α)=f(α)pD(α=0)

(22)

此處pD(α)為任意傾角α下的端壓力，pD(α=0)為錨桿完全水平情況下的端壓力。對于K0≤1的情況，pD(α=0)見式(13)，pD(α)見式(11)；而對于K0>1的情況，pD(α=0)見式(19)，pD(α)見式(17)。

借鑒曾慶義等[15]的工程實(shí)例參數(shù)考察錨桿傾角對錨桿抗拔力的影響。某基坑的3根錨桿，其錨桿參數(shù)和工況完全相同：埋深h=9 m，土層參數(shù)γ=18.8 kN/m3、c=60 kPa、φ=28°、τf=τdf=90 kPa，錨桿參數(shù)L1=4 m，D1=0.14 m，L2=4 m，D2=0.4 m。此處K0=1-sin(1.3φ)=0.41，而ξ=0.95Ka。據(jù)曾慶義等[15]報(bào)道，按錨桿完全水平計(jì)算所得的錨桿抗拔力為1 327.5 kN，遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)抗拔力670 kN和規(guī)程[16]的計(jì)算值663.3 kN。試驗(yàn)情況是其中兩根錨桿加載到1 042 kN而沒有破壞，另外一根錨桿加載到1 302 kN時(shí)鋼絞線斷裂一股，而擴(kuò)大頭前端土體還沒有達(dá)到破壞狀態(tài)。原設(shè)計(jì)方案采用普通錨桿時(shí)，其設(shè)計(jì)傾角為35°。

按上述例子，此處設(shè)計(jì)5個(gè)工況，其變化參數(shù)為c、φ和h，而其余參數(shù)與上述例子相同。注意到K0、Ka、Kp和ξ為φ的函數(shù)，隨φ而變。對于K0≤1的情況，按式(6a)，當(dāng)φ=28°時(shí)，K0=0.41；當(dāng)φ=24°時(shí)，K0=0.48。對于K0>1的情況，假設(shè)超固結(jié)比ROC=12，根據(jù)式(6b)，當(dāng)φ=28°時(shí)，K0=1.41；當(dāng)φ=24°時(shí)，K0=1.67。各比較工況及相應(yīng)錨桿水平或豎向時(shí)的端壓力見表1。

表1 各比較工況及相應(yīng)錨桿水平和豎向時(shí)的端壓力Tab.1 Different working conditions and related earth pressures on the expanded end for horizontal and vertical ground anchors

由表1中工況1、2和3可知，錨桿水平時(shí)的端壓力pD(α=0)隨著擴(kuò)大頭前端土體黏聚力c的增大而增大；由工況4和2對比可知，端壓力pD(α=0)隨著擴(kuò)大頭前端土體內(nèi)摩擦角φ的增大而增大；由工況2和5對比可知，端壓力pD(α=0)隨擴(kuò)大頭埋深h(或擴(kuò)大頭前端土體受到的地應(yīng)力)的增大而增大。這可以從其物理意義得到解釋。因?yàn)榧僭O(shè)擴(kuò)大頭前端土體應(yīng)力處于極限狀態(tài)時(shí)符合莫爾-庫倫強(qiáng)度準(zhǔn)則，c、φ或h的增大都將使土體強(qiáng)度增大。如表1所示，錨桿豎向時(shí)的端壓力pD(α=90°)也隨擴(kuò)大頭前端土體黏聚力c的增大而增大，隨擴(kuò)大頭埋深h的增大而增大；但是pD(α=90°)隨φ的變化是增大還是變小，其情況不一定，因?yàn)榇藭r(shí)隨內(nèi)摩擦角φ引起的各向異性因素(包括K0的變化)起較大作用。端壓力pD(α)受錨桿傾角α的影響較大，其變化規(guī)律將在后面進(jìn)行詳細(xì)討論。

由表1可知，當(dāng)K0≤1時(shí)，各工況下錨桿水平時(shí)的端壓力大于相應(yīng)豎向時(shí)的端壓力，這可從圖3的莫爾應(yīng)力圓得到解釋。當(dāng)錨桿水平時(shí)，α=0°，圖中點(diǎn)C和C′分別與點(diǎn)B和Q相重合，應(yīng)力增量σT=|CC′|較大；而當(dāng)錨桿豎向時(shí)，α=90°，圖中點(diǎn)C和C′分別與點(diǎn)T和Q相重合，應(yīng)力增量σT=|CC′|相對小些。因?yàn)檫_(dá)到極限狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力增量σT在端壓力pD中占主導(dǎo)作用，錨桿水平時(shí)的端壓力大于相應(yīng)豎向時(shí)的端壓力。相應(yīng)地，由表1可知，當(dāng)K0>1時(shí)，各工況下錨桿水平時(shí)的端壓力小于相應(yīng)豎向時(shí)的端壓力，這可從圖4的莫爾應(yīng)力圓得到解釋。其論述過程與當(dāng)K0≤1時(shí)的情況類似，不再贅述。

當(dāng)K0≤1時(shí)，根據(jù)式(11)、(13)和(22)可得錨桿端壓力傾角比例函數(shù)f(α)，具體見圖5?？梢钥闯觯鞴r下，其錨桿端壓力隨著錨桿傾角的增大而減小，上述表1顯示的錨桿水平時(shí)的端壓力大于相應(yīng)豎向時(shí)的端壓力是f(α)曲線兩端點(diǎn)大小的情況。并且，錨桿傾角對f(α)的影響較大，在工況1黏聚力c為0時(shí)，f(α)在α=90°時(shí)為0.24，即此時(shí)的豎向端壓力僅為其相應(yīng)水平端壓力的0.24倍。對比工況1、2和3可知，隨著黏聚力c的增大，其f(α)的減緩速率變小。這是由于黏聚力c是各向同性的，當(dāng)黏聚力占主導(dǎo)作用時(shí)，如黏聚力取較大值60 kPa時(shí)，由內(nèi)摩擦角引起的各向異性因素K0、Ka和Kp及由傾角引起的各向異性便不占主要作用。對比工況2和4可知，隨著內(nèi)摩擦角φ的減小，其f(α)的減緩速率稍有變小。這是因?yàn)殡S內(nèi)摩擦角φ的減小，由內(nèi)摩擦角引起的各向異性因素(Ka、Kp和K0)的影響均有所減小。對比工況2和5可知，隨著埋深h的增大，其f(α)的減緩速率變大。這可能是由于隨著埋深的增大，由地應(yīng)力和內(nèi)摩擦角引起的各向異性因素起較大作用。

圖5中擴(kuò)大頭錨桿端壓力隨著錨桿傾角增大而減小的規(guī)律，與板式錨桿板前土壓力在常規(guī)砂土中的表現(xiàn)規(guī)律一致[9-10,13]。此處的f(α)包含黏聚力和內(nèi)摩擦角等土體性質(zhì)參數(shù)，因而能從力學(xué)機(jī)制層面對端壓力的變化規(guī)律進(jìn)行解釋，同時(shí)能給工程實(shí)踐提供理論指導(dǎo)。

圖5 各工況下錨桿抗拔力傾角比例函數(shù)(K0≤1)Fig.5 Ratio function of pullout capacity with inclined angle for end-expanded anchors under different working conditions (K0≤1)

當(dāng)K0>1時(shí)，根據(jù)式(17)、(19)和(22)可得錨桿抗拔力傾角比例函數(shù)f(α)，具體見圖6。

圖6 各工況下錨桿抗拔力傾角比例函數(shù)(K0>1)Fig.6 Ratio function of pullout capacity with inclined angle for end-expanded anchors under different working conditions (K0>1)

由圖6可以看出，各工況下，其錨桿端壓力隨著錨桿傾角的增大而增大，且錨桿傾角的影響較大。在工況4內(nèi)摩擦角φ為24°時(shí)，f(α)在α=90°時(shí)為2.67，即此時(shí)的豎向端壓力為其相應(yīng)的水平端壓力的2.67倍。對比工況1、2和3可知，隨著黏聚力c的增大，其f(α)的增大速率變小。這是由于黏聚力c是各向同性的且其占主導(dǎo)作用時(shí)，錨桿傾角的影響將減弱。對比工況2和4可知，隨著內(nèi)摩擦角φ的減小，其f(α)的增加速率變大較多。此處與K0≤1時(shí)f(α)變化不敏感的情況較為不同。隨內(nèi)摩擦角φ的減小，由內(nèi)摩擦角引起的各向異性因素各自變化。其中Ka和Kp的影響減小，但是K0由φ=28°時(shí)的1.41變?yōu)棣?24°時(shí)的1.67，變化較大且在各向異性因素中占主要作用。因此，各種各向異性因素綜合作用的結(jié)果使得f(α)的增加速率變大。對比工況2和5可知，隨著埋深h的增大，其f(α)的增加速率變大。這可能是因?yàn)橛傻貞?yīng)力和內(nèi)摩擦角引起的各向異性因素起較大作用。

由錨桿抗拔力公式(1)～(4)可知，端壓力pD僅影響T3部分的抗拔力，對T1和T2部分沒有影響。對于T3隨錨桿傾角的變化同樣滿足T3(α)=f(α)T3(α=0)，即如圖5、6所示的情況。仍然取曾慶義等[15]工作中的參數(shù)，得到表1各個(gè)工況下錨桿的極限抗拔力各分量與總量，如表2所示。

表2 各工況下錨桿的極限抗拔力各分量與總量Tab.2 Total ultimate pullout force and its components for ground anchors under different working conditions kN

由表2可知，各個(gè)工況下，錨桿傾角對T3的影響較大，對T有一定的影響。當(dāng)K0≤1時(shí)，T隨錨桿傾角的增大而減小；當(dāng)K0>1時(shí)，T隨錨桿傾角的增大而增大。值得注意的是，L1是錨桿普通錨固段的計(jì)算長度，對于非預(yù)應(yīng)力錨桿，常取實(shí)際長度減去兩倍擴(kuò)大頭直徑；對預(yù)應(yīng)力錨桿，取值為0[17]。郭鋼等[3]關(guān)于砂土中擴(kuò)體錨桿承載力特性模型試驗(yàn)的研究表明：普通錨固段相比擴(kuò)體錨固段，與其周圍土體之間通常先產(chǎn)生界面剪切破壞，而擴(kuò)大頭端壓力因土體硬化可以持續(xù)加強(qiáng)。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，T1可能會(huì)更小，T3對T的貢獻(xiàn)可能會(huì)更大，因而錨桿傾角對T的影響比較大。

對于常見的K0≤1的情況(見圖5)，如果將傾斜錨桿的抗拔力取值為完全水平錨桿的抗拔力，其理論取值將偏大，在工程上或偏于不安全。但當(dāng)錨桿傾角較小時(shí)，或可以采用錨桿完全水平時(shí)的解來估算土體對傾斜錨桿擴(kuò)大頭端部正壓力所提供的抗拔力T3。比如，圖5中各工況，在傾角小于20°時(shí)，T3的誤差在10%以內(nèi)。類似地，對于K0>1的情況，如果將傾斜錨桿的抗拔力取值為完全水平錨桿的抗拔力，其理論取值將偏小。圖6中各工況，在傾角小于20°時(shí)，T3的誤差在19%以內(nèi)。

對端壓力公式(11)和(17)進(jìn)行進(jìn)一步的說明。曾慶義等[15]給出了土體K0≤1時(shí)擴(kuò)大頭錨桿完全水平或完全豎直情況下的極限端壓力，是本研究極限端壓力公式的兩個(gè)極端情況，而其他錨桿傾角下的端壓力介于這兩者之間。本研究分別討論了土體K0≤1和K0>1的情況，因而研究成果對任意K0的土體均適用。對于常規(guī)土體(K0≤1的情況)，擴(kuò)大頭錨桿極限端壓力與前人研究[9-10,13]中板式錨桿板前土壓力隨錨桿傾角的變化規(guī)律相一致，在定性層面上說明本文公式的正確性；關(guān)于擴(kuò)大頭錨桿極限端壓力隨傾角變化的相關(guān)實(shí)測數(shù)據(jù)還較為缺乏。而對于特殊土體(K0>1的情況)，相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)更為缺乏。將本文的抗拔力理論解析解與各種情況實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果(或數(shù)值模擬結(jié)果)進(jìn)行廣泛深入的對比研究，是未來急需進(jìn)行的工作。

3 結(jié) 論

1)錨桿傾角對擴(kuò)大頭錨桿極限端壓力具有較大的影響，不可忽略。當(dāng)K0≤1時(shí)，錨桿極限端壓力隨著錨桿傾角的增大而減??；當(dāng)K0>1時(shí)，錨桿極限端壓力隨著錨桿傾角的增大而增大。對于常見的K0≤1的情況，如果將傾斜錨桿的抗拔力取為完全水平錨桿的抗拔力，其理論取值將偏大，在工程上或偏于不安全。

2)黏聚力具有各向同性性質(zhì)，較大的黏聚力使得端壓力傾角比例函數(shù)f(α)的變化速率變??；內(nèi)摩擦角使得各向異性因素(Ka、Kp和K0)各自變化，對傾角比例函數(shù)f(α)產(chǎn)生一定的影響；擴(kuò)大頭埋深增大，使得由地應(yīng)力和內(nèi)摩擦角引起的各向異性因素起較大作用，f(α)的變化速率變大。

3)錨桿傾角對端壓力所提供的抗拔力T3具有較大的影響，對整體抗拔力T有一定的影響。