基于組合賦權(quán)的直覺模糊多屬性動(dòng)態(tài)決策方法

周雨婷，葉國菊*，劉 尉，趙大方，李 寧

（1.河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210098；2.湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北 黃石 435002；3.火箭軍裝備部駐南京地區(qū)第二軍事代表室,江蘇 南京 210006）

模糊集自1965 年被Zadeh[1]提出后，模糊理論已在工程、技術(shù)、管理等各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。1986 年保加利亞學(xué)者Atanassov[2?3]對(duì)Zadeh的模糊集進(jìn)行了拓展，提出了直覺模糊集的概念。由于直覺模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度3 個(gè)方面的信息，因此它比傳統(tǒng)模糊集在處理模糊性和不確定性方面更具靈活性和實(shí)用性，也因此被廣泛地應(yīng)用到?jīng)Q策領(lǐng)域，并取得了豐碩的研究成果。2005 年Li[4]研究了屬性權(quán)重和屬性值均為直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題，并提出了一種基于線性規(guī)劃模型的多屬性決策方法；2007 年徐澤水[5]研究屬性值為直覺模糊數(shù)且決策者對(duì)決策方案有偏好的模糊多屬性決策問題，并通過建立線性規(guī)劃模型來確定屬性權(quán)重，進(jìn)而給出了一種基于直覺模糊偏好信息的多屬性決策方法；2008 年南江霞等[6]研究了屬性值和權(quán)重都是直覺模糊集的多屬性決策問題，并提出了一種基于TOPSIS 方法的直覺模糊多屬性決策方法；2009 年衛(wèi)貴武[7]和2013 年何霞等[8]研究了對(duì)方案有偏好的直覺模糊多屬性決策問題；2018 年曾守楨等[9]針對(duì)屬性之間具有相互關(guān)聯(lián)關(guān)系的直覺模糊多屬性決策問題，提出一種基于Zhenyuan 積分的決策方法；于瑞華等[10]研究了屬性權(quán)重信息不完全確定，屬性值為直覺模糊集的多屬性決策問題，并提出一種基于意見排序法的直覺模糊多屬性決策方法；2020 年劉利枚等[11]研究直覺模糊多屬性群體共識(shí)決策問題，并基于直覺模糊共識(shí)模型與專家權(quán)重優(yōu)化模型給出一種直覺模糊環(huán)境下的多屬性群決策方法。

上述研究成果根據(jù)已知的模糊信息，從主觀或者客觀的角度來確定屬性權(quán)重進(jìn)而進(jìn)行決策。然而，在實(shí)際決策過程中，考慮決策者的主觀偏好和提高決策結(jié)果的科學(xué)性和客觀性均是很有必要的。為此，本文在直覺模糊信息環(huán)境下，針對(duì)屬性權(quán)重信息不完全確定的多屬性決策問題，提出了一種新的基于離差最大化和層次分析的多屬性動(dòng)態(tài)權(quán)重決策方法。該方法將主觀和客觀兩類權(quán)重信息相結(jié)合，通過組合賦權(quán)，既能充分利用客觀信息，又能盡可能地滿足決策者的主觀意愿，并為屬性權(quán)重不完全確定的直覺模糊多屬性問題，提供一種新的簡(jiǎn)便易操作的決策方法。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[12]設(shè)X是一個(gè)非空集合，X={x1,x2,···,xn}，X上的一個(gè)直覺模糊集A是具有如下形式的一個(gè)三元組：

其中：uA:X→[0,1]和vA:X→[0,1]滿足0 ≤uA(x)+vA(x)≤1,x∈X。函數(shù)uA(x)，vA(x)分別稱為x∈X關(guān)于直覺模糊集A的隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)。X上所有直覺模糊集的集合記為F(X)。對(duì)于?x∈X，稱πA(x)=1?uA(x)?vA(x)為x屬于直覺模糊集A的猶豫度。

定義2[12]設(shè)A∈F(X)、B∈F(X)為兩個(gè)直覺模糊集，稱d(A,B)為直覺模糊集A和B的加權(quán)漢明距離

其中，l=(l1,l2,···,lm)，li≥0，i=1,2,···,m，為權(quán)重。

定義3[12]設(shè)Θ ∈F(X)，ai=(ui,vi)，i=1,2,···,n為 Θ中的一組直覺模糊數(shù)，且設(shè)IFWA:Θn→Θ，若

則稱函數(shù)IFWA為直覺模糊加權(quán)平均算子，其中，w=(w1,w2,···,wn)為ai(i=1,2,···,n)的權(quán)重向量，wi≥0，i=1,2,···,n，

根據(jù)直覺模糊數(shù)的運(yùn)算法則，可得

定義4[12]設(shè)aj=(uj,vj)(j=1,2)是兩個(gè)直覺模糊數(shù)，s(a1)=u1?v1和s(a2)=u2?v2分別為a1和a2的得分值，h(a1)=u1+v1和h(a2)=u2+v2分別為a1和a2的精確度，則

若s(a1)

若s(a1)=s(a2)，則

1）若h(a1)=h(a2)，則a1等于a2，即a1=a2；

2）若h(a1)

3）若h(a1)>h(a2)，則a1大于a2，記為a1>a2。

2 基于組合賦權(quán)的直覺模糊多屬性決策模型

在一些實(shí)際決策問題中，由于受客觀環(huán)境、專業(yè)水平、以及時(shí)間等諸多因素影響，決策者往往不能提供對(duì)決策方案的精確偏好信息。因此，本節(jié)從屬性權(quán)重的角度出發(fā)，提出一種基于組合賦權(quán)法的多屬性動(dòng)態(tài)決策方法。

2.1 直覺模糊多屬性問題的描述

屬性值為直覺模糊數(shù)的多屬性問題，一般描述如下：有n個(gè) 備選方案和m個(gè)評(píng)價(jià)屬性，記A=(A1,A2,···,An)為方案集，G=(G1,G2,···,Gm)為屬性集，屬性集的權(quán)重記為w=(w1,w2,···,wm)。決策者對(duì)于方案Ai關(guān)于屬性Gj進(jìn)行測(cè)度，得到方案Ai關(guān)于屬性Gj的評(píng)價(jià)值rij=i=1,2,···,n，j=1,2,···,m，其中ui j表示決策者關(guān)于屬性Gj對(duì)方案Ai的滿意程度，vi j表示決策者關(guān)于屬性Gj對(duì)方案Ai的不滿意程度，且ui j,vij∈[0,1]，0 ≤uij+vij≤1，記直覺模糊決策矩陣為

顯然，綜合評(píng)價(jià)值ri越大，則其所對(duì)應(yīng)的方案Ai越優(yōu)，在權(quán)重向量已知的情況下很容易對(duì)方案進(jìn)行排序。由于客觀事物的復(fù)雜性及人類思維的局限性和模糊性，人們往往難以給出明確的屬性權(quán)重，這時(shí)的屬性權(quán)重信息不完全。在這種情況下，需要事先確定屬性的權(quán)重。下面，我們給出一種求解屬性權(quán)重的方法。

2.2 屬性權(quán)重的確定

1）確定客觀權(quán)重。根據(jù)離差最大化的思想[13]，如果屬性Gj對(duì)所有決策方案而言均無差別，則屬性Gj對(duì)方案決策與排序?qū)⒉黄鹱饔?，這樣的評(píng)價(jià)屬性可令其權(quán)系數(shù)為0；反之，如果屬性Gj能使所有決策方案的屬性值有較大差異，這樣的評(píng)價(jià)屬性對(duì)方案決策與排序?qū)⑵鹬匾饔茫瑧?yīng)該給予較大的權(quán)系，假設(shè)屬性的客觀權(quán)重為l=(l1,l2,···,lm)，li≥0，且滿足單位化約束條件詳見文獻(xiàn)[13]。

由于在直覺模糊決策矩陣R中 不能直接使用傳統(tǒng)的離差最大化方法求屬性的客觀權(quán)重，對(duì)此，給出一種基于離差最大化確定直覺模糊屬性權(quán)重的方法。

根據(jù)公式（1），對(duì)于屬性Gj而言，決策方案Ai與其他方案Ak之間的加權(quán)漢明距離為

則Dj(l)表示對(duì)屬性Gj而言，所有方案與其他方案的總離差。根據(jù)離差最大化的思想，屬性權(quán)重l的選擇應(yīng)使所有屬性對(duì)所有決策方案的總離差最大。因此，求解屬性權(quán)重向量就等價(jià)于求解如下單目標(biāo)優(yōu)化模型

為求解該單目標(biāo)優(yōu)化模型，可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

對(duì)其求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，可得

解之得

對(duì)lj進(jìn)行歸一化處理，得屬性的客觀權(quán)重為

2）組合賦權(quán)。多屬性決策問題中，層次分析法是對(duì)一些較為復(fù)雜模糊的問題作出決策的多準(zhǔn)則決策分析方法，主要目標(biāo)是解決多目標(biāo)的復(fù)雜問題。為了得到屬性的主觀權(quán)重，決策者（專家）首先根據(jù)主觀經(jīng)驗(yàn)用0.1～0.9 互補(bǔ)標(biāo)度[14]判斷屬性之間的相對(duì)重要程度，得到模糊互補(bǔ)判斷矩陣

其中，bi j表示第i個(gè)屬性和第j個(gè)屬性比較的標(biāo)度值。

目前，有關(guān)互補(bǔ)判斷矩陣的排序理論和方法已有較多的深入研究，這里我們參考文獻(xiàn)[15]提出的一種經(jīng)典的互補(bǔ)判斷矩陣排序方法，即

則得屬性的主觀權(quán)重向量為

主觀法確定的屬性權(quán)重體現(xiàn)了決策者的意向,但決策或評(píng)價(jià)結(jié)果具有較大的主觀隨意性；客觀法所確定的屬性權(quán)重雖具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論依據(jù),但忽略了決策者的主觀意向。為了既照顧到?jīng)Q策者的主觀偏好，又做到?jīng)Q策的客觀真實(shí)性，因此，本文在屬性完全不完全確定的情況下，對(duì)第j個(gè)屬性的主觀權(quán)重和客觀權(quán)重進(jìn)行線性組合，得出第j個(gè)屬性的動(dòng)態(tài)組合權(quán)重，即：

其中 λ為調(diào)節(jié)系數(shù)，λ ∈[0,1]；λ、(1?λ)分別為評(píng)價(jià)指標(biāo)的主、客觀權(quán)重的偏好系數(shù)；wlj，wrj分別表示第j個(gè)評(píng)價(jià)屬性權(quán)重的最大值和最小值。

根據(jù)公式中的不等式組，可以確定調(diào)節(jié)系數(shù)λ的取值范圍，λ越大，說明評(píng)價(jià)相對(duì)越主觀，λ越小，說明評(píng)價(jià)相對(duì)越客觀。

綜上所述，得到了一種新的直覺模糊多屬性決策方法，具體算法如下所示。

步驟1：對(duì)于某一多屬性決策問題，獲取方案A關(guān)于屬性G的直覺模糊特征信息，構(gòu)建直覺模糊決策矩陣R；

步驟2：運(yùn)用離差法，計(jì)算各屬性客觀權(quán)重l=(l1,l2,···,lm)；

步驟3：運(yùn)用層次分析法，計(jì)算各屬性主觀權(quán)重a=(a1,a2,···,am)；

步驟4：根據(jù)公式（6）確定各屬性的動(dòng)態(tài)組合權(quán)重w=(w1,w2,···,wm)；

步驟5：根據(jù)公式（2）對(duì)各方案的屬性值進(jìn)行聚合，得到每個(gè)方案Ai的綜合屬性函數(shù)ri；

步驟6：計(jì)算各方案ri的得分函數(shù)，并根據(jù)調(diào)節(jié)系數(shù) λ的變化，確定ri的不增動(dòng)態(tài)排列順序，然后根據(jù)排序結(jié)果對(duì)方案Ai(i=1,2,···,n)進(jìn)行優(yōu)劣排序。

3 算例分析

采用文獻(xiàn)[10]中的實(shí)例，來說明所提方法的有效性?？紤]一個(gè)空調(diào)選擇問題。有三臺(tái)空調(diào)A1,A2,A3，記為方案集A=(A1,A2,A3)?？紤]三個(gè)評(píng)價(jià)屬性（或因素）：經(jīng)濟(jì)性、功能性和有效性，記為屬性集G=(G1,G2,G3)。通過對(duì)用戶進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)分析得到方案Ai關(guān)于屬性Gj的滿意度uij和不滿意度vij的評(píng)價(jià)結(jié)果如下：

其中屬性權(quán)重的信息不完全確定，

為了確定最優(yōu)的方案，下面利用本文的方法給出具體的計(jì)算步驟。

算法：

1）離差最大化法。由給出的決策矩陣R，根據(jù)公式（3）建立的單目標(biāo)優(yōu)化模型如下所示。

根據(jù)公式（4），解該優(yōu)化模型，可得客觀權(quán)重為l?=(0.4187,0.2118,0.3695)。

2）層次分析法。根據(jù)決策者提供的對(duì)屬性的偏好信息，用0.1—0.9 互補(bǔ)標(biāo)度[12]對(duì)屬性進(jìn)行兩兩比較，得到的互補(bǔ)判斷矩陣如下所示。

根據(jù)公式（5），可得到屬性的主觀權(quán)重為a=(0.2833,0.3833,0.3333)。

根據(jù)公式（6）進(jìn)行組合賦權(quán)，可得

解不等式組可得

根據(jù)公式（2），計(jì)算空調(diào)系統(tǒng)Ai(i=1,2,3)的綜合評(píng)價(jià)值函數(shù)為：

其中

計(jì)算空調(diào)系統(tǒng)Ai(i=1,2,3)的得分函數(shù)分別為：

因此，各方案的得分函數(shù)s(ri)(i=1,2,3)隨著調(diào)節(jié)系數(shù) λ的波動(dòng)情況如圖1 所示。

通過圖1 可知，當(dāng)0 ≤λ<0.6865時(shí)，所有空調(diào)系統(tǒng)的得分值大小排序?yàn)閟(r1)>s(r2)>s(r3)，則空調(diào)系統(tǒng)Ai(i=1,2,3)的優(yōu)劣次序?yàn)?/p>

圖1 各方案得分函數(shù)波動(dòng)圖

當(dāng)λ=0.686 5時(shí)，所有空調(diào)系統(tǒng)的得分值大小排序?yàn)閟(r1)>s(r2)=s(r3)，則空調(diào)系統(tǒng)Ai(i=1,2,3)的優(yōu)劣次序?yàn)?/p>

當(dāng)0.686 5<λ ≤1時(shí)，所有空調(diào)系統(tǒng)的得分值大小排序?yàn)閟(r1)>s(r3)>s(r2)，則空調(diào)系統(tǒng)Ai(i=1,2,3)的優(yōu)劣次序?yàn)?/p>

由于0.81 ≤λ ≤1，因此空調(diào)系統(tǒng)Ai(i=1,2,3)的優(yōu)劣次序?yàn)锳1>A3>A2。其中方案A1最佳，該方法的排序結(jié)果和文獻(xiàn)[10]是一樣的。相對(duì)于文獻(xiàn)[10]中的意見集中排序法，由于意見集中排序法需要按屬性根據(jù)得分函數(shù)和精確函數(shù)的大小將每個(gè)方案排成線性序；因此，對(duì)方案和屬性較多的情況時(shí)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量較大，且排序過程中僅考慮直覺模糊數(shù)本身，并未考慮到猶豫度。所以從計(jì)算的復(fù)雜程度和對(duì)原始信息的利用情況來看，本文的方法更加簡(jiǎn)單有效。

4 結(jié)論

在實(shí)際問題中，由于各種原因，會(huì)導(dǎo)致屬性信息不完全確定。本文針對(duì)直覺模糊信息環(huán)境下屬性權(quán)重不完全確定的多屬性決策問題，提出了一種新的基于組合賦權(quán)法的多屬性動(dòng)態(tài)決策方法。該方法從總離差最大化原則出發(fā)，提出了一種基于單目標(biāo)線性優(yōu)化模型的客觀屬性權(quán)重確定方法。然后，結(jié)合層次分析法利用線性組合，給出了一種屬性的動(dòng)態(tài)組合權(quán)重的組合賦權(quán)法，該法把主觀和客觀兩類權(quán)重信息相結(jié)合，既能充分利用客觀信息，又能盡可能地滿足決策者的主觀偏好。最后，基于組合賦權(quán)法提出了一種新的動(dòng)態(tài)決策方法，借助圖像直觀的展示了動(dòng)態(tài)排序結(jié)果，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證了該方法的有效性。并且該方法對(duì)于屬性權(quán)重完全未知的問題也同樣適用。