基于邊依賴平均駐留時間方法的采樣系統(tǒng)鎮(zhèn)定問題*

李 瑤, 侯林林

(曲阜師范大學(xué)計算機(jī)學(xué)院,276826，山東省日照市)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control system,NCS)通常由一個通訊網(wǎng)絡(luò)和多個節(jié)點(diǎn)組成. 這些節(jié)點(diǎn)用于信息的收集、處理和實(shí)現(xiàn). 信息通過通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳播,這意味著網(wǎng)絡(luò)帶寬是信息傳輸過程中的一個重要特征[1]. 在實(shí)際應(yīng)用中,有限的網(wǎng)絡(luò)帶寬往往會導(dǎo)致數(shù)據(jù)包丟失,進(jìn)而降低系統(tǒng)的性能,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定. 因此,對于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的丟包現(xiàn)象進(jìn)行研究是十分必要的[2-5].

采樣控制是網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)研究中最常用的控制方法,許多學(xué)者致力于這一問題的研究[6-9],其中丟包問題更是引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,控制輸入的丟失便是其中的一種. 導(dǎo)致控制輸入丟失的因素有很多,例如控制器和執(zhí)行器失效、網(wǎng)絡(luò)和控制器的間歇性不可用等,這些問題的出現(xiàn)都會影響采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 為了進(jìn)一步提高系統(tǒng)的性能,近年來對控制輸入丟失進(jìn)行了廣泛研究,如參考文獻(xiàn)[10-13]等.

切換系統(tǒng)是由一系列連續(xù)時間或離散時間的子系統(tǒng)以及一個切換信號組成[14,15]. 許多具有非線性特征的復(fù)雜實(shí)際系統(tǒng),以及某些具有固有跳躍特性的人工系統(tǒng)都可以由切換系統(tǒng)來描述. 因此,在過去的幾十年間,切換系統(tǒng)得到了廣泛研究[16-19]. 切換信號的設(shè)計在切換系統(tǒng)性能研究中發(fā)揮著重要作用,其中平均駐留時間方法[20-22],模態(tài)依賴平均駐留時間方法[23-26],以及可容許邊依賴平均駐留時間方法[27,28]相繼被提出用以設(shè)計切換信號,最終用來分析切換系統(tǒng)的各種性能.

對于采樣控制系統(tǒng)而言,根據(jù)控制輸入是否丟失可以將采樣控制系統(tǒng)建模為切換系統(tǒng),其中包含穩(wěn)定子系統(tǒng)和不穩(wěn)定子系統(tǒng)[12,13,29]. 例如,應(yīng)用平均駐留時間方法,文獻(xiàn)[12]研究了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的控制輸入丟失問題. 文獻(xiàn)[29]研究了一類含有丟包的采樣 T-S 模糊系統(tǒng)的指數(shù)可鎮(zhèn)定問題,通過設(shè)計公共 Lyapunov 函數(shù),得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論. 本文研究采樣控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題. 首先,根據(jù)控制輸入是否丟失將采樣系統(tǒng)建模為切換系統(tǒng). 針對采樣周期時變性,將采樣控制系統(tǒng)建模為切換時滯系統(tǒng). 然后,采用可容許邊依賴平均駐留時間方法設(shè)計切換信號,此切換信號由快速和慢速可容許邊依賴平均駐留時間方法組成,并且設(shè)計多 Lyapunov 函數(shù),應(yīng)用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論,得到了保證系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的相關(guān)結(jié)論. 最后,仿真結(jié)果驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性.

1 問題描述和預(yù)備知識

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可由以下連續(xù)時間系統(tǒng)來描述

(1)

其中x(t)∈n和u(t)∈m分別表示系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入. 矩陣A和B是具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣. 本文中采用如下采樣控制器

u(t)=u(tk)=Kx(tk),t∈[tk,tk+1),

(2)

其中K代表控制器增益,tk是采樣時刻. 將(2)式代入到(1)式中可得

(3)

當(dāng)控制輸入丟失時,即u(t)=0時,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的; 反之,當(dāng)控制輸入u(t)=u(tk),t∈[tk,tk+1)時,系統(tǒng)是可鎮(zhèn)定的. 令σ(t)∈{s,u}代表切換信號,當(dāng)σ(t)=s時,代表系統(tǒng)是穩(wěn)定的,而當(dāng)σ(t)=u代表系統(tǒng)不穩(wěn)定. 則當(dāng)控制輸入丟失時,采樣控制系統(tǒng)可以描述為如下切換系統(tǒng)

(4)

其中t∈[tk,tk+1),k=0,1,2,…. 令τ(t)=t-tk且滿足

0≤τ(t)≤h,

(5)

其中h是常實(shí)數(shù),則系統(tǒng)(4)可以描述為如下帶有時滯的切換系統(tǒng)

(6)

其中φ(t0)為系統(tǒng)初始狀態(tài),且

(7)

注2 時變采樣周期不能太長,因?yàn)殚L采樣周期會導(dǎo)致采樣信息不精確. 在仿真中,我們會通過駐留時間和最大采樣周期之間的關(guān)系來說明這一點(diǎn).

若系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的,則稱采樣控制系統(tǒng)(3)可以通過控制器(2)實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定. 本文的主要目標(biāo)就是通過設(shè)計邊依賴平均駐留時間切換信號來保證系統(tǒng)(6)是穩(wěn)定的,從而實(shí)現(xiàn)采樣控制系統(tǒng)(3)的可鎮(zhèn)定性.

定義1[30]考慮系統(tǒng)(6). 如果存在正常數(shù)λ>0,c>0,使得對任意的初始條件x(t0),總有‖x(t)‖≤ce-λ(t-t0)‖x(t0)‖,?t>t0,則在所設(shè)計的切換信號下,系統(tǒng)(6)是指數(shù)穩(wěn)定的.

(8)

(9)

引理1[31]對任意給定的矩陣M>0,常數(shù)κ1，κ2,滿足κ2>κ1,如下不等式成立

(10)

2 主要結(jié)果

對子系統(tǒng)i,其中i∈{u,s}. 設(shè)計如下Lyapunov函數(shù)

(11)

命題1 給定參數(shù)h>0,αs>0,αu<0,βs=1,βu=0.如果存在矩陣Pi>0,Ri>0,i∈{u,s}使得如下不等式成立

(12)

其中

則有

Vi(t)≤e-αi(t-t0)Vi(t0).

(13)

證明結(jié)合(6)式,對Vi(t)求導(dǎo)數(shù),得到

(14)

其中,當(dāng)i=u時βi=0,當(dāng)i=s時βi=1. 應(yīng)用引理 1 可得

(15)

其中

(16)

根據(jù)(15)和(16)式,以下不等式成立

2xT(t)PiAix(t)+2xT(t)PiBix(t-τ(t))+αixT(t)Pix(t)+

(17)

因?yàn)?/p>

(18)

所以

(19)

應(yīng)用Schur 補(bǔ)引理可得(12)式等價于

(20)

結(jié)合(19)式可得(13)式. 命題證畢.

假設(shè)1 假設(shè)切換時刻為tm,m=0,1,2,…,并且切換時刻為采樣時刻.

由命題1和假設(shè) 1,可得如下結(jié)論.

定理1 給定參數(shù)h>0,αs>0,αu<0,μs,u>1,0<μu,s<1. 如果存在正定矩陣Ps>0,Rs>0,Pu>0,Ru>0使得如下不等式成立

(21)

(22)

Ps≤μs,uPu,Pu≤μu,sPs,Rs≤μs,uRu,Ru≤μu,sRs,

(23)

則在所設(shè)計的滿足

(24)

的切換信號σ(t)下,系統(tǒng)(6)是指數(shù)穩(wěn)定的,其中

證明假設(shè)當(dāng)t∈[tm,tm+1)時控制輸入沒有丟失,則由(13)式可得如下不等式

Vs(t)≤e-αs(t-tm)Vs(tm)=

(25)

由(25)可以得出s∈[tm+θ,t),這說明e(αs-αu)(ρ-tm)≤1,從而可得如下不等式

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)Vu(tm-1)=

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)e(αs-αu)h(xT(tm-1)μu,sPsx(tm-1)+

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)μu,se(αs-αu)hVs(tm-1)≤

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)μu,se(αs-αu)heαs(tm-1-tm-2)Vs(tm-2)≤

e-αs(t-tm)μs,ue-αu(tm-tm-1)μu,se(αs-αu)heαs(tm-1-tm-2)e(αs-αu)hμu,sVu(tm-2)≤…≤

(26)

根據(jù)(24)式,當(dāng)t→∞時有Vσ(t)(t)→0. 從而由(22)式和定義1可知,在所設(shè)計的切換信號下,系統(tǒng)(6)是指數(shù)穩(wěn)定的.

注3 本文中所設(shè)計的切換信號是由滿足 SAED-ADT 的切換信號和滿足 FAED-ADT 的切換信號組成. 當(dāng)控制輸入丟失時,相應(yīng)的子系統(tǒng)是不穩(wěn)定的. 在這種情況下,對應(yīng)的子系統(tǒng)采用的是 FAED-ADT 切換策略. 當(dāng)控制輸入沒有丟失時,則在所設(shè)計的采樣控制器下,相應(yīng)的子系統(tǒng)是穩(wěn)定的. 針對此類子系統(tǒng),采用的是 SAED-ADT 切換策略.

定理2 給定參數(shù)h>0,αs>0,αu<0,μs>1,0<μu<1. 如果存在正定矩陣Ps>0,Rs>0,Pu>0和Ru>0,矩陣K,使得不等式(25)和如下不等式成立

(27)

(28)

則在所設(shè)計的滿足(24)式的切換信號σ(t)和控制器(2)下,系統(tǒng)(3)是可鎮(zhèn)定的,其中

(29)

(30)

借助于 Schur 補(bǔ)引理,可得不等式(29)和(30)分別等價于(27)和(28)式. 證畢.

3 仿真算例

本部分通過一個數(shù)值例子來說明所得結(jié)果的有效性. 設(shè)系統(tǒng)(1)的參數(shù)為

圖1 狀態(tài)x(t)的軌跡 圖2 切換信號σ(t)

表時與hmax 的關(guān)系

4 結(jié) 論

本文研究了采樣控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題. 首先,根據(jù)控制輸入是否丟失將采樣控制系統(tǒng)建模為了帶有時變時滯的切換系統(tǒng). 然后,設(shè)計了由SAED-ADT方法和FAED-ADT方法構(gòu)成的切換策略,使得切換時滯系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的,從而實(shí)現(xiàn)了在所設(shè)的采樣控制器下,采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 最后,通過仿真驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性.