廣義柯西-黎曼算子及其應用*

曾凡倍， 楊佳琦, 劉媛媛， 谷龍飛

(臨沂大學數學與統(tǒng)計學院，276000，山東省臨沂市)

0 引 言

復變函數論主要研究復數域上的函數，以解析函數為研究對象. 隨著對復變函數研究的深入，人們愈來愈經常地需要處理復雜的函數，廣義解析函數也在越來越多的方面有了應用. 宋潔[1]討論了廣義解析函數的廣義Riemann-Hilbert問題，通過轉化成相應的Riemann問題，證明在適當的假設下，此邊值問題可解. 李玉成[2]研究了多復變廣義解析函數的一個帶位移的非線性邊值問題，證明了解的存在性并給出解的積分表達式. 王明華[3]給出了一種廣義解析函數Riemann邊值逆問題的一般提法，對此問題正則型情況的可解性進行了深度討論，基于廣義解析函數邊值問題的有關理論，得到了所研究問題的可解條件及解的表達式.

1 預備知識

定義1[4]設G是復平面C上一開集，其上任意一點記為z=x+iy，其中x,y?R. 引入柯西-黎曼算子

定義2[4]若函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，則把

(C.-R.)

稱為柯西-黎曼方程(簡記為C.-R.方程)，是關于u及v的偏微分方程組.

定理1(柯西積分公式)[4]在區(qū)域D內，如果f(z)處處解析，C為D內任何一條簡單正向閉曲線，它的內部完全含于D，ζ為C的內部任意一點，則

就是解析函數的柯西積分公式.

柯西積分公式是一把開啟了許多數學方法與定理的鑰匙，它定義了一種利用積分表達的解析函數,可確定解析函數在解析區(qū)域內邊界值與內部值的關系.

2 柯西-黎曼算子的應用

定理3(修正的Borel-Pompeiu公式)[6]設G?C是具有充分光滑的邊界區(qū)域 Γ，有C′邊界，即邊界為光滑曲線，u(z)∈C′(G)，則有

證明復格林公式為

令ε→0，根據格林公式，可得關于算子Dα的修正的Borel-Pompeiu公式為

根據上述修正的Borel-Pompeiu公式知，當u(z)為廣義解析函數時，被積函數為零，即可推出廣義解析函數的廣義柯西積分公式.

這就是廣義解析函數的柯西積分表達公式，也是對廣義解析函數的施瓦茲型引理進行證明時的一個重要工具. 參考解析函數的施瓦茲引理，給出廣義解析函數的施瓦茲型引理并進行證明.

3 廣義解析函數的施瓦茲型引理

定理5(廣義解析函數的施瓦茲型引理) 如果函數f(z)在單位圓|z|<1內廣義解析，并且滿足條件f(0)=0,|f(z)|≤1(|z|<1), 則在單位圓|z|<1內恒有|f(z)|≤(1+c)|z|，其中c=e2|α||α|+1.

證明由定理4可得

(1)

由于ζ在以原點為圓心，半徑為0

由r的任意性，可令r→1，則有

取c=e2|α||α|+1(c為任一常數)，則有

4 結 論

本文通過了解柯西-黎曼算子、C-R方程、柯西積分公式等基本定義定理，對柯西-黎曼算子進行推廣，研究了廣義柯西-黎曼算子的零解，定義為廣義解析函數. 在研究廣義的解析函數時，由修正的Borel-Pompeiu公式得出了廣義解析函數的柯西積分公式，進一步利用此結果證明了廣義解析函數的施瓦茲型引理.