追本溯源 深度思維
——對一道中考模擬壓軸題的思考

朱佳煒 (江蘇省蘇州大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 215131)

周正峰 (江蘇省蘇州相城區(qū)教育局教研室 215131)

壓軸題因?yàn)槲淖至看螅枰托拈喿x、認(rèn)真審題，撥開出題者設(shè)置的思維迷霧，厘清本題涉及的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)和基本模型.在教學(xué)過程中我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)，學(xué)會如何思考、解決問題，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展研究，讓學(xué)生知道壓軸題是什么，該怎么想，怎么做，還可以怎么樣．

1 試題呈現(xiàn)

圖1

(1)當(dāng)t=1時(shí)，PQ=.

(2)連結(jié)AC，若點(diǎn)B′正好落在線段AC上，求t的值.

(3)點(diǎn)B′能否落在AD所在直線上，若能，求出AB′的長度；若不能，請說明理由．

2 題情分析

本題滿分12分，區(qū)均分2.85分，得分率為23.75%，其中問題(1)滿分2分，也就是說本題多數(shù)學(xué)生只能解答出問題(1)．出現(xiàn)這一情況的根本原因在于學(xué)生不會對“點(diǎn)P與Q分別沿著各自方向運(yùn)動，沿PQ所在直線翻折，點(diǎn)B′正好落在線段AC上”所對應(yīng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確作圖，個(gè)別學(xué)生因在問題(2)中對“點(diǎn)Q沿B-A-D方向運(yùn)動”進(jìn)行了分類討論，耗費(fèi)大量時(shí)間，影響了問題(3)的作答，導(dǎo)致本題得分率偏低．

3 解法探究

3.1 求證相似，追問溯源

從關(guān)鍵條件出發(fā)，證得相似三角形，再根據(jù)相似性質(zhì)列方程求解．

圖2 圖3

通過面積法或相似性質(zhì)求得BH：

追問：當(dāng)點(diǎn)Q在BA上運(yùn)動時(shí)，B′可以落在AC上幾次？

溯源：因?yàn)椤螧′BC=∠BCA，所以∠B′BC是定角，而且邊BC為定邊，點(diǎn)B′將在以點(diǎn)B為端點(diǎn)的定射線上運(yùn)動，該射線與AC只有一個(gè)交點(diǎn)，該交點(diǎn)即為B′，所以問題(2)中的t只有一解．

3.2 構(gòu)建模型，靈活解答

抓住∠QB′P=90°，展開充分聯(lián)想，構(gòu)建基本模型“K”形圖．

圖4

追問：試探究AE與B′F、EB′與FC的數(shù)量關(guān)系.

3.3 建系化歸,數(shù)形結(jié)合

建立直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，將坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求值．

圖5 圖6

追問：點(diǎn)B′隨著點(diǎn)P與點(diǎn)Q的運(yùn)動而運(yùn)動，該點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是什么？

3.4 基于經(jīng)驗(yàn),思維突破

在問題(2)順利解答的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步探究問題(3)．問題(3)中點(diǎn)B′落在AD所在直線上，所對應(yīng)的點(diǎn)P、點(diǎn)Q所在位置需進(jìn)行分類討論．

當(dāng)點(diǎn)Q在B-A運(yùn)動時(shí)，通過作圖發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B′只能在矩形內(nèi)部運(yùn)動(圖7)，所以當(dāng)點(diǎn)B′落在AD所在直線上時(shí)，點(diǎn)Q在A-D運(yùn)動(圖8)．

圖7 圖8

那么，點(diǎn)Q在A-D運(yùn)動時(shí)，如何求AB′的長度呢？

圖9

追問：當(dāng)點(diǎn)Q在A-D運(yùn)動時(shí)(圖10)，在翻折的過程中，點(diǎn)B′能否落在點(diǎn)Q左側(cè),即QA射線上？

圖10 圖11

溯源：因?yàn)関P

時(shí)，點(diǎn)Q將在水平方向上逐漸超過點(diǎn)P，沿著PQ翻折所得點(diǎn)B′將落在PQ的右下方(圖11)，所以點(diǎn)B′不可能落在QA射線上．

4 類題再探

例1解決了讓學(xué)生知道壓軸題“是什么、該怎么想、怎么做”等問題.與“翻折”有關(guān)的壓軸題還能以什么形式呈現(xiàn)？講解完例1后，進(jìn)行了以下拓展研究．

例2如圖12，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，E是BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AE，將點(diǎn)B沿AE折疊得點(diǎn)B′ ．當(dāng)△CEB′ 為直角三角形時(shí)，求BE的長．

圖12

本題的關(guān)鍵條件是“△CEB′為直角三角形”，而直角三角形的定義是一個(gè)內(nèi)角為直角的三角形，本題必然要分三種情況進(jìn)行討論．

若∠CEB′=90°，那么四邊形ABEB′中有三個(gè)角為直角:∠B,∠AB′E,∠BEB′，易證四邊形ABEB′為正方形.若∠CB′E=90°，那么∠CB′E+∠AB′E=180°，則A,B′,C三點(diǎn)共線，運(yùn)用勾股定理求解即可；若∠ECB′=90°，那么B′在CD邊上，不合題意，舍去．

追問：為什么當(dāng)∠ECB′=90°時(shí)，不合題意？若將“AB=3，BC=4”改為“AB=4，BC=3”呢(圖13)？

圖13 圖14

溯源：翻折不改變AB長度，由“定點(diǎn)定長型隱形圓”可知，B′點(diǎn)在以A為圓心、AB長為半徑的圓上運(yùn)動，該圓與CD相離，所以B′不可能落到CD邊上(圖14)，∠ECB′=90°不合題意．將“AB=3，BC=4”改為“AB=4，BC=3”，則⊙A將與CD相交，所以第三種情況符合題意(圖15)．

圖15

為進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生思維，可以追問：若“E是BC邊上一點(diǎn)”改為“E沿著射線BC運(yùn)動”，是否還有其他情況符合題意？學(xué)生由圓與直線相交的定義可知⊙A與直線CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，所以存在第四種情況．

5 結(jié)語

中考考試前如何組織高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)？首先，數(shù)學(xué)題目千千萬，不能依靠刷題提高數(shù)學(xué)解題能力，應(yīng)基于學(xué)生的知識基礎(chǔ)，在課前精選好題．什么是好題？好題的解題方法不唯一，題目雖新但似曾相識，它一定源于平時(shí)的學(xué)習(xí)，可將它與已有的解題經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，進(jìn)行合情推理．其次，壓軸題通常是綜合性較強(qiáng)的題目，已知條件多，特別是部分關(guān)鍵條件隱含在題目中，在教學(xué)過程中應(yīng)幫助學(xué)生分析題目已知，挖掘隱含條件，并由關(guān)鍵條件出發(fā)尋找解題策略．再次，要通過多角度研究，嘗試多種數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，若只講解法不談思想，那數(shù)學(xué)課堂必然是乏味的.數(shù)學(xué)題目的背后一定蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想、建模思想等．最后，要適度追問，挖掘思維深度，追本溯源，拓展思維．除了要讓學(xué)生知道中考壓軸題“是什么、該怎么想、怎么做”以外，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的題目“還可以怎么樣”，是否可以換一種形式呈現(xiàn)．也就是說，中考考前復(fù)習(xí)課不能滿足于一題的解決，還應(yīng)結(jié)合關(guān)鍵條件進(jìn)行類題探究，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識．

總之，在壓軸題的教學(xué)過程中，應(yīng)基于學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)、解題經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生整合、化歸，在聯(lián)想中合情推理，在追問中實(shí)現(xiàn)溯源，在拓展中獲得延伸，在感悟中走向深刻．讓中考復(fù)習(xí)課成為有靈魂、有創(chuàng)新、有深度的課堂．