高階非線性未知系統(tǒng)的ACPI控制方法

許惠清， 曾喆昭， 陳澤宇

(長沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410000)

0 引言

非線性未知系統(tǒng)的控制問題一直是控制理論與控制工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)問題之一。目前，針對非線性未知系統(tǒng)的主要研究方法有PID控制[1]、滑模控制(SMC)[2-5]、自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、自適應(yīng)模糊控制[7]及其各方法之間的復(fù)合控制[8-9]等。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)外擾動滿足匹配條件時，上述方法能夠較好地跟蹤控制，然而，其控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計算量較大，且當(dāng)干擾不再滿足匹配條件時，難以直接應(yīng)用。針對一類含有非匹配干擾的非線性未知系統(tǒng)控制問題已有很多研究方果。文獻(xiàn)[10-11]將干擾觀測器與滑模控制相結(jié)合，對干擾進(jìn)行估計和補(bǔ)償，提高系統(tǒng)的跟蹤控制效果。文獻(xiàn)[12]將有限時間干擾觀測器與多冪次積分型滑?？刂撇呗韵嘟Y(jié)合,并用于永磁同步電機(jī)的控制，通過積分型滑模面有效消除傳統(tǒng)滑?？刂浦械摹岸墩瘛爆F(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)估計誤差在有限時間內(nèi)收斂到零，然而控制器參數(shù)較多，計算量大。文獻(xiàn)[13-20]將反步控制與滑模控制相結(jié)合，有效解決了高階非匹配非線性系統(tǒng)控制問題。其中，文獻(xiàn)[13]通過引入低通濾波器避免傳統(tǒng)反步控制中存在的“微分爆炸”現(xiàn)象，并使用了一種積分終端滑?？刂葡魅蹩刂破鞫墩?；文獻(xiàn)[14-17]將反演控制與滑?？刂葡嘟Y(jié)合，并通過干擾觀測器消除非匹配干擾的影響，提高系統(tǒng)的收斂速度，然而，文獻(xiàn)[14]并不能很好地解決反步控制中的“微分爆炸”問題，文獻(xiàn)[16]需要依賴擾動觀測器的高增益參數(shù)；文獻(xiàn)[18-20]在控制的前n-1步通過反步法抑制非匹配項(xiàng)對系統(tǒng)的影響，最后一步設(shè)計滑?？刂破?，使系統(tǒng)達(dá)到快速收斂的目的。盡管這些方法針對具有非匹配干擾的非線性系統(tǒng)控制問題取得了一定的效果，但其控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)較多、計算量大。

為了有效解決現(xiàn)有控制方法存在的局限性，并進(jìn)一步提高控制系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)與穩(wěn)態(tài)性能，本文針對含有非匹配干擾的高階非線性未知系統(tǒng)，基于自耦比例-積分(Auto-Coupling Proportional-Integral,ACPI)控制理論[21]，提出一種基于虛擬遞推控制的ACPI控制方法，將各虛擬指令的微分定義為未知有界擾動，從而避免了反步控制中存在“微分爆炸”的問題，并使用一種與被控對象模型無關(guān)的自適應(yīng)速度因子模型。由于該方法只涉及一個速度因子需要鎮(zhèn)定，而且該控制系統(tǒng)具有良好的抗擾動魯棒性和大范圍魯棒穩(wěn)定性，因而是一類控制器結(jié)構(gòu)簡單、便于實(shí)際應(yīng)用的傻瓜型控制方法。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下含有建模誤差和未知擾動的n階非匹配非線性系統(tǒng)

(1)

式中:x=[x1x2…xn]T∈R，為可測系統(tǒng)狀態(tài)向量；f(x)為關(guān)于狀態(tài)向量x的未知非線性函數(shù);0

則系統(tǒng)式(1)可以映射為

(2)

因系統(tǒng)式(2)是系統(tǒng)式(1)的等價映射，因而由系統(tǒng)式(2)設(shè)計的控制器u可以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)式(1)的有效控制。

2 虛擬遞推控制器設(shè)計

2.1 基于ACPI鎮(zhèn)定規(guī)則的虛擬遞推控制器

(3)

(4)

式中:zc1>0,為速度因子;|u1i|≤0.5y2dm;|y2d|≤y2dm。

(5)

(6)

式中:zc2>0，為速度因子；|u2i|≤0.5y3dm；|y3d|≤y3dm。

(7)

j=1,2,…,n

式中：zc(j-1)>0(j=1,2,…,n)，為速度因子；|u(j-1)i|≤0.5yj dm；|yj d|≤yj dm。

當(dāng)j=n時，由式(7)得虛擬指令為

(8)

(9)

(10)

式中,zc n>0,為控制器的速度因子。

2.2 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

設(shè)計基于虛擬遞推控制器的閉環(huán)控制系統(tǒng)，能夠有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)各個狀態(tài)的遞推跟蹤控制，即y=y1→r，y2→y2d,…，yj→yj d。

2.3 速度因子鎮(zhèn)定方法

由定理1可知，當(dāng)zc j>0(j=1,2,…,n)時，基于虛擬遞推控制的ACPI閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍魯棒穩(wěn)定的，表明速度因子在zc j>0的范圍內(nèi)具有很大的鎮(zhèn)定裕度。然而，速度因子較小會使ACPI控制力過小，降低閉環(huán)控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度與抗擾動能力；速度因子過大，又會因積分控制力過大而引起超調(diào)與振蕩現(xiàn)象。因此，在滿足定理1的穩(wěn)定性條件下，本文使用一種自適應(yīng)速度因子模型為

zc j=zcm(1-0.9e-t)j=1,2,…,n

(11)

式中,0

由于0

3 仿真分析

實(shí)驗(yàn)1?？紤]如下含有建模誤差的三階非匹配非線性系統(tǒng)[14，18]

(12)

式中:d1=0.5sin 2t+sint;d2=te-0.5t;d3=0.8sint;建模誤差F=0.01x2e-0.5x1。

設(shè)初始狀態(tài)x0=[0.2,0.5,0.5]T，跟蹤指令信號為xd=0.5(sint+sin 0.5t)，采樣步長h=0.001 s，b0=5，3個速度因子分別取值為zc1=13(1-0.9e-t)，zc2=60(1-0.9e-t)，zc3=200(1-0.9e-t)，虛擬指令與控制器u的幅值限定分別取|y2d|≤10，|y3d|≤50，|u|≤100，仿真結(jié)果見圖1，文獻(xiàn)[14，18]控制方法的仿真結(jié)果見圖2。

圖1 本文控制方法仿真結(jié)果(實(shí)驗(yàn)1)Fig.1 Simulation results of the proposed control method(Experiment 1)

由圖1可知，本文控制方法可以在1.5 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)對參考指令的穩(wěn)定跟蹤控制，控制輸入光滑、無抖振，跟蹤精度較高(穩(wěn)態(tài)絕對誤差小于2×10-6)；而文獻(xiàn)[14]采用的自適應(yīng)反步線性滑?？刂?ABLSMC)輸出穩(wěn)態(tài)誤差變化量小于2.1×10-2，文獻(xiàn)[18]采用的自適應(yīng)反步非奇異終端滑模控制(ABNTSMC)穩(wěn)態(tài)誤差變化量小于1.6×10-2。圖2(b)為文獻(xiàn)[14，18]的控制輸入，兩種方法的動態(tài)響應(yīng)初期控制輸入幅值都比較大，容易損壞執(zhí)行機(jī)構(gòu)，且控制器參數(shù)較多，參數(shù)調(diào)節(jié)困難，計算量大。

由圖1與圖2的對比可知，本文控制方法的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度更高，動態(tài)響應(yīng)初期的控制輸入為文獻(xiàn)[14，18]的1/10左右，且本文控制方法只有一個與被控對象無關(guān)的速度因子需要鎮(zhèn)定，控制方法簡單，便于實(shí)際操作。

圖2 文獻(xiàn)[14,18]控制方法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of Reference[14,18]

實(shí)驗(yàn)2。為進(jìn)一步驗(yàn)證本文控制方法的有效性，以文獻(xiàn)[11]給出的磁懸浮系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),即

(13)

式中:d1=0.04sint;d2=0.03cos 2t+0.01;d3=0.02sin 2t-0.01cost。

設(shè)初始狀態(tài)為x0=[8-77]T，跟蹤指令信號為xd=0，采樣步長h=0.001 s，b0=1，3個速度因子分別取值為zc1=2(1-0.9e-t)，zc2=8(1-0.9e-t)，zc3=80(1-0.9e-t)，虛擬指令與控制器u的幅值限定分別取|y2d|≤10，|y3d|≤30，|u|≤120，仿真結(jié)果見圖3。

圖3 本文控制方法仿真結(jié)果(實(shí)驗(yàn)2)Fig.3 Simulation results of the proposed control method(Experiment 2)

由圖3(c)可知，本文控制方法能夠在6 s內(nèi)獲得有效控制，穩(wěn)態(tài)絕對誤差小于4×10-7。圖4所示為文獻(xiàn)[11]控制方法的仿真結(jié)果，可知文獻(xiàn)[11]需要10 s左右才能實(shí)現(xiàn)有效控制，且控制器參數(shù)多達(dá)12個。

圖4 文獻(xiàn)[11]控制方法仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of Reference[11]

比較圖3、圖4可知，本文控制方法中不僅控制器結(jié)構(gòu)簡單、便于實(shí)際應(yīng)用，而且系統(tǒng)的響應(yīng)速度更快、穩(wěn)態(tài)精度更高。

4 結(jié)論

針對高階非匹配非線性未知系統(tǒng)的控制問題，本文使用一種基于ACPI控制理論的虛擬遞推控制方法，將各虛擬指令的微分定義為未知有界擾動，從而有效避免了“微分爆炸”的問題。該方法借鑒文獻(xiàn)[21]的ACPI控制理論思想，提出基于虛擬遞推控制的ACPI控制器，并使用一種自適應(yīng)速度因子模型，理論分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)的全局魯棒穩(wěn)定性以及抗總和擾動魯棒性。仿真結(jié)果表明本文控制方法具有良好的動態(tài)品質(zhì)與穩(wěn)態(tài)性能。與文獻(xiàn)[11,14,18]相比，本文控制方法的控制器結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)態(tài)精度高、計算量小、便于實(shí)際應(yīng)用，在含有非匹配干擾的高階復(fù)雜非線性未知系統(tǒng)控制領(lǐng)域具有重要的參考價值。