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    基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)估計(jì)算法*

    2022-01-22 08:59:16錢鐳源張建強(qiáng)許國強(qiáng)曹文濤
    礦山測量 2021年6期
    關(guān)鍵詞:測量系統(tǒng)

    錢鐳源, 張建強(qiáng),許國強(qiáng), 曹文濤

    (1.運(yùn)城職業(yè)技術(shù)大學(xué) 智能制造與數(shù)智礦山學(xué)院,山西 運(yùn)城 044000;2.陽煤豐喜肥業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司,山西 運(yùn)城 044000)

    微電機(jī)系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical Systems,MEMS)在慣性器件上的應(yīng)用推動了捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(Strapdown Inertial Navigation System,SINS)的發(fā)展[1],使SINS被廣泛用于煤礦、水下勘探等場合[2-3]。但MEMS-SINS本身受加速度計(jì)、陀螺儀和磁力計(jì)等慣性器件自身特性的影響[4],無法對姿態(tài)角信息進(jìn)行精確解算[5]。針對這一問題,科研人員進(jìn)行了諸多相關(guān)研究,GENG Jijun等人提出了一種基于四元數(shù)解算的自適應(yīng)容積卡爾曼濾波(Adaptive Cubature Kalman Filter,ACKF)算法[6],有效提高了姿態(tài)角的估計(jì)精度;Chiella Antonio C B等人提出了一種基于四元數(shù)的魯棒自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波(Quaternion Robust Adaptive Unscented Kalman Filter,QRAUKF)算法,解決了MEMS傳感器姿態(tài)精度下降的問題[7]。

    實(shí)際應(yīng)用中,濾波算法常會出現(xiàn)誤差協(xié)方差矩陣非正定導(dǎo)致運(yùn)行終止的問題,平方根濾波和奇異值分解是解決這一問題最常用的方法[8-10]。但平方根濾波在每次循環(huán)運(yùn)算時(shí),均進(jìn)行三角分解,造成算法誤差積累;而奇異值分解能夠?qū)?fù)雜矩陣以特征值與特征向量乘積的形式表示,避免開方運(yùn)算,具有更高的魯棒性[11]。2018年,秦康等人為了解決CKF的非局部采樣問題,對采樣點(diǎn)進(jìn)行正交變換,提出了一種濾波性能優(yōu)于CKF的正交變換容積卡爾曼濾波(Transformed Cubature Kalman Filter,TCKF)方法[12]。

    為提高TCKF算法的濾波精度和姿態(tài)測量系統(tǒng)的性能,本文將奇異值分解引入到TCKF算法中,將其應(yīng)用于九軸姿態(tài)測量系統(tǒng),提出了基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)估計(jì)算法。該算法在對姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合的同時(shí),對TCKF的誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行SVD分解,代替原有的Cholesky分解,保證融合過程中協(xié)方差矩陣始終正定,提高姿態(tài)估計(jì)的穩(wěn)定性和精度。

    1 數(shù)據(jù)融合方案及數(shù)學(xué)模型

    1.1 數(shù)據(jù)融合方案

    為了保證系統(tǒng)輸出持續(xù)可靠的姿態(tài)信息,本文設(shè)計(jì)了一種基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)數(shù)據(jù)融合方案,如圖1所示。該方案以捷聯(lián)姿態(tài)解算得到的姿態(tài)四元數(shù)作為系統(tǒng)狀態(tài),以加速度計(jì)計(jì)算的俯仰角和橫滾角、磁力計(jì)計(jì)算的航向角作為系統(tǒng)量測,采用ASVDTCKF算法對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行融合,估計(jì)姿態(tài)四元數(shù),進(jìn)而得到準(zhǔn)確的姿態(tài)角信息。其中,姿態(tài)四元數(shù)的初值由加速度計(jì)和磁力計(jì)的測量數(shù)據(jù)計(jì)算得到。

    圖1 姿態(tài)數(shù)據(jù)融合方案

    1.2 姿態(tài)測量系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

    由圖1可知,姿態(tài)測量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可簡化為:

    (1)

    式中,xk為k時(shí)刻的狀態(tài)向量,即姿態(tài)四元數(shù);f(·)為系統(tǒng)k-1時(shí)刻到k時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;wk-1為k-1時(shí)刻的過程噪聲,其協(xié)方差矩陣為Qk-1;zk為系統(tǒng)k時(shí)刻的量測向量;h(·)為k時(shí)刻的量測矩陣;vk為系統(tǒng)k時(shí)刻的量測噪聲,其協(xié)方差矩陣為Rk。

    采用捷聯(lián)姿態(tài)解算得到的姿態(tài)四元數(shù)作為系統(tǒng)狀態(tài)量,即:

    xk=[q0q1q2q3]

    (2)

    式中,q0、q1、q2和q3為姿態(tài)四元數(shù),其運(yùn)動學(xué)微分方程為:

    (3)

    根據(jù)四階角增量法,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:

    (4)

    系統(tǒng)量測為:

    z=[θaccφaccΨ]

    (5)

    式中,θacc和φacc分別由以下公式計(jì)算得到:

    (6)

    其中,ax、ay和az分別為載體水平或勻速時(shí)三軸加速度計(jì)的測量結(jié)果。

    Ψ由以下公式計(jì)算得到:

    Ψ=Ψm+λ

    (7)

    式中,Ψm為磁航向角;λ為載體真實(shí)航向角與磁航向角之間存在的磁偏角。

    根據(jù)量測值θacc、φacc、Ψ與狀態(tài)向量

    [q0q1q2q3]之間的關(guān)系[13],系統(tǒng)量測矩陣為:

    (8)

    2 ASVDTCKF算法設(shè)計(jì)

    2.1 TCKF算法流程

    (1)根據(jù)三階球面-徑向容積準(zhǔn)則,計(jì)算CKF的采樣點(diǎn)ξj和權(quán)值ωj:

    (9)

    式中,n為系統(tǒng)狀態(tài)向量維數(shù);j=1,2,…,2n;[1]2n為2n維單位球面與各坐標(biāo)軸的交點(diǎn),

    則采樣點(diǎn)集可進(jìn)一步表示成:

    (11)

    (2)對CKF采樣點(diǎn)ξj進(jìn)行正交變換,得到TCKF的采樣點(diǎn)λj,即[12]:

    Bξ=[λ1|λ2|…|λ2n]

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    式中,r=1,2,…,n/2,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Λn,j=(-1)j。

    (3)基于狀態(tài)估計(jì)的采樣點(diǎn)計(jì)算:

    (16)

    (17)

    (4)狀態(tài)預(yù)測:

    (18)

    式中,L=2n。

    (5)計(jì)算狀態(tài)預(yù)測誤差的協(xié)方差矩陣:

    (19)

    (6)計(jì)算基于狀態(tài)預(yù)測的采樣點(diǎn):

    (20)

    (21)

    (7)量測預(yù)測:

    (22)

    (8)計(jì)算新息的協(xié)方差矩陣:

    (23)

    (9)計(jì)算狀態(tài)向量與量測向量之間的互協(xié)方差矩陣:

    (24)

    (10)計(jì)算卡爾曼濾波增益:

    (25)

    (11)狀態(tài)估計(jì):

    (26)

    (12)更新協(xié)方差矩陣:

    (27)

    2.2 基于奇異值分解的濾波方程推導(dǎo)

    SVD分解的基本原理如下[14]:

    設(shè)A是一個(gè)m×n維的實(shí)數(shù)陣,對其進(jìn)行SVD分解:

    (28)

    式中,U和V均為酉矩陣;M=diag(σ1,σ2,…,σr)為奇異值矩陣;r為M的秩。

    本文將SVD分解引入到TCKF算法中,代替原有的Cholesky分解,提高TCKF算法的穩(wěn)定性。具體改進(jìn)如下:

    (29)

    (30)

    (31)

    (32)

    將奇異值分解濾波方程和TCKF引入圖1姿態(tài)測量系統(tǒng)中,即可得到基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)估計(jì)算法ASVDTCKF。

    3 實(shí)驗(yàn)方案

    本文采用ADI公司的ADIS16405微慣性測量單元和TI公司的OMAP-L138構(gòu)建了姿態(tài)測量硬件系統(tǒng),如圖2所示。第一層為ADIS16405模塊和變壓器模塊,用于降壓和提供三軸加速度計(jì)、三軸陀螺儀、三軸磁力計(jì)的原始測量數(shù)據(jù);第二層為OMAP-L138雙核微處理器及其核心板,用于解析ADIS16405提供的原始數(shù)據(jù)、時(shí)間對準(zhǔn)和數(shù)據(jù)傳輸;第三層為電源模塊,為整個(gè)系統(tǒng)供電;第四層為功能拓展層。

    圖2 姿態(tài)測量硬件系統(tǒng)圖

    為了分析ASVDTCKF算法的性能,本文將姿態(tài)測量硬件系統(tǒng)固定于轉(zhuǎn)臺,分別進(jìn)行靜態(tài)和三軸搖擺實(shí)驗(yàn),并將OMAP-L138采集的慣性數(shù)據(jù)保存于第三層的U盤中,接入PC機(jī),在MATLAB中進(jìn)行姿態(tài)數(shù)據(jù)融合算法性能對比實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)安裝如圖3所示。

    圖3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)安裝圖

    4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

    4.1 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

    設(shè)置轉(zhuǎn)臺處于靜止?fàn)顟B(tài),啟動姿態(tài)測量系統(tǒng),持續(xù)30 s,數(shù)據(jù)采集的頻率為100 Hz。分別采用基于TCKF的姿態(tài)估計(jì)算法(ATCKF)、基于平方根濾波的TCKF姿態(tài)估計(jì)算法(ASRTCKF)和ASVDTCKF進(jìn)行數(shù)據(jù)融合。

    靜態(tài)環(huán)境下不同算法的運(yùn)行情況如表1所示,算法輸出的姿態(tài)角如圖4所示,角度均方根誤差(RMSE)如表2所示,算法運(yùn)行時(shí)間如表3所示。由表1可知,ASRTCKF和ASVDTCKF運(yùn)行正常,而ATCKF因協(xié)方差矩陣非正定而異常終止,說明對協(xié)方差矩陣進(jìn)行QR分解或SVD分解能夠提升算法的穩(wěn)定性。由圖4和表2可知,靜態(tài)條件下ASVDTCKF輸出的俯仰角誤差、橫滾角誤差和航向角誤差與ASRTCKF相比分別減小了20.6%、2.9%和4.6%,說明ASVDTCKF與ASRTCKF相比具有更高的姿態(tài)估計(jì)精度。由表3可知,ASVDTCKF的運(yùn)行時(shí)間與ASRTCKF相比減少了18.9%,說明SVD分解的運(yùn)算量低于QR分解。

    表1 靜態(tài)條件下不同算法運(yùn)行情況比較

    圖4 靜態(tài)環(huán)境下不同算法輸出的姿態(tài)角

    表2 靜態(tài)條件下不同算法的RMSE

    表3 靜態(tài)條件下不同算法運(yùn)算時(shí)間

    4.2 動態(tài)實(shí)驗(yàn)

    設(shè)置轉(zhuǎn)臺處于搖擺狀態(tài),持續(xù)30 s,搖擺幅度為20°,搖擺頻率為0.5 Hz,數(shù)據(jù)采集頻率為100 Hz。分別采用ATCKF、ASRTCKF和ASVDTCKF對搖擺狀態(tài)下的ADIS16405測量數(shù)據(jù)進(jìn)行融合。

    搖擺狀態(tài)下不同算法運(yùn)行情況如表4所示,不同算法輸出的姿態(tài)角結(jié)果如圖5所示,角度RMSE如表5所示,算法運(yùn)行時(shí)間如表6所示。由表4可知,搖擺動態(tài)環(huán)境下,ASRTCKF和ASVDTCKF運(yùn)行正常,ATCKF算法運(yùn)行至1步終止,說明動態(tài)條件下QR分解或SVD分解能夠使算法運(yùn)行穩(wěn)定。由圖5和表5可知,動態(tài)條件下ASVDTCKF算法的估計(jì)精度更優(yōu),與ASRTCKF相比,俯仰角誤差、橫滾角誤差和航向角誤差分別減小了0.89%、27.5%和7.4%。由表6可知,動態(tài)條件下ASVDTCKF的運(yùn)算時(shí)間與ASRTCKF相比減少了20.5%,說明ASVDTCKF算法的運(yùn)算效率更高。

    表4 搖擺環(huán)境下不同算法運(yùn)行情況比較

    表5 搖擺條件下不同算法的RMSE

    表6 搖擺條件下不同算法運(yùn)算時(shí)間

    圖5 搖擺環(huán)境下不同算法輸出的姿態(tài)角

    5 結(jié) 論

    為了提高TCKF算法的濾波穩(wěn)定性及MEMS器件的姿態(tài)解算精度,本文提出了一種基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)估計(jì)算法。該算法對MEMS器件輸出的姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行融合,對誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解,提高了姿態(tài)角信息的測量效果。將ADIS16405姿態(tài)測量硬件系統(tǒng)固定于轉(zhuǎn)臺,以靜態(tài)和三軸搖擺時(shí)系統(tǒng)輸出的原始九軸數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:(1)基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)估計(jì)算法與ASRTCKF在實(shí)際姿態(tài)測量中均能保證誤差協(xié)方差矩陣始終正定,與TCKF相比,具有更強(qiáng)的運(yùn)行穩(wěn)定性;(2)基于奇異值分解的改進(jìn)TCKF姿態(tài)估計(jì)算法僅對誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行一次奇異值分解運(yùn)算,與進(jìn)行平方根運(yùn)算的ASRTCKF相比,解決了平方根三角分解造成的誤差積累問題,具有更高濾波精度和運(yùn)算效率。因此,該算法在礦山、水中、隧道等復(fù)雜情況下的載體姿態(tài)測量中具有較強(qiáng)的硬件實(shí)現(xiàn)性和適用性。

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