高維小扭轉(zhuǎn)映射不變環(huán)面的存在性

李宏田, 所彧喬

(1. 中國刑事警察學(xué)院 基礎(chǔ)部, 沈陽 110854; 2. 長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

1 引言與主要結(jié)果

Moser[1]給出了作用變量和角度變量為1維情形下保體積映射的KAM定理, 該定理指出: 當(dāng)擾動(dòng)項(xiàng)足夠小時(shí), 近可積保體積映射存在一族不變閉曲線. 該定理是KAM理論的三大基石之一[1-3]. 文獻(xiàn)[4-5]考慮含有一個(gè)作用變量、 多個(gè)角度變量的近扭轉(zhuǎn)映射, 給出了類似的KAM型定理. Cong等[6]得到了高維近可積映射的KAM型定理. 受上述工作啟發(fā), 本文考慮作用變量和角度變量具有不同維數(shù)的小扭轉(zhuǎn)映射, 當(dāng)映射滿足Rüssmann非退化條件及相交性條件時(shí), 小扭轉(zhuǎn)映射存在一族不變環(huán)面. 該結(jié)論可用于Arnold-Beltrami-Childress流等保體積映射的誤差分析[7-8].

考慮映射Ft:B×Tn→m×Tn:

p1=p+tf(p,q),q1=q+tω(p)+tg(p,q),

(1)

其中B是m中的有界開集, Tn表示n維環(huán)面,t∈(0,1]為扭轉(zhuǎn)參數(shù),ω(p),f(p,q)和g(p,q)于B×Tn上實(shí)解析.本文主要結(jié)果如下：

定理1若式(1)滿足如下條件:

(2)

(ii) 扭轉(zhuǎn)映射(1)于Bρ×Σρ上具有相交性質(zhì), 即對(duì)任意的p*∈Bρ, 均存在q*∈Σρ, 使得f(p*,q*)=0, 其中

Bρ={p∈m: Rep∈B, |Imp|<ρ},

Σρ={q∈n: Req∈Tn, |Imq|<ρ},

ρ>0為常數(shù).

則存在ε>0, 使得當(dāng)‖f‖+‖g‖<ε時(shí), 對(duì)任意的t∈(0,1], 下列結(jié)論成立:

1) 近可積小扭轉(zhuǎn)映射(1)存在一族不變環(huán)面Tp(p∈B(ε,t)), 其頻率向量tω∞(p,t)關(guān)于t于(0,1]上一致滿足

|ω∞(p,t)-ω(p)|=O(ε);

2) 在(0,ε*]×(0,1]上, 不變環(huán)面測度的估計(jì)為

meas(BB(ε,t))=O(ε1/(7max{m,n}(n+τ+3))),

其中B(ε,t)為B的非空Cantor子集,ε*為某正常數(shù).

本文用|·|和‖·‖分別表示歐氏范數(shù)和上確界范數(shù).

2 引 理

引理1已知h(p,q)于Bρ×Σρ上實(shí)解析, 對(duì)于給定的p0∈D, 考慮定義于D×Σρ上的差分方程

V(p,q+tω(p0))-V(p,q)=t(h(p,q)-(RNh)(p,q)-h0(p)),t∈(0,1],

(3)

其中D={p: |p-p0|0為給定的常數(shù),

表示h(p,q)的Fourier級(jí)數(shù)形式的N-1階截?cái)囗?xiàng)的余項(xiàng),V(p,q)待定.若ω(p0)滿足帶參數(shù)的Diophantus條件:

(4)

則式(3)有且僅有一個(gè)滿足V0(p)=0的實(shí)解析解V(p,q), 其中:δ>0;τ>(max{m,n}+1)×max{m,n}-1; (p,q)∈D×(Σρ-δ), 0<δ<ρ,Σρ-δ={q∈Σρ: dist(q,?Σ)≥δ}, 滿足

c0={22n-2}π2(n+τ+1)n+τ+1exp{-(n+τ+1)}/3.

證明: 因?yàn)閂0(p)=0, 不妨設(shè)V(p,q)具有如下Fourier級(jí)數(shù)形式

由式(3)得

由Cauchy積分公式及式(4), 當(dāng)(p,q)∈D×(Σρ-δ)時(shí), 有

3 KAM迭代

設(shè)式(1)的頻率向量及擾動(dòng)項(xiàng)于Dρ×Σρ上滿足:

‖f‖+‖g‖<ε,

(5)

(6)

其中M0為常數(shù),ε足夠小.設(shè)i=0,1,…, 定義迭代參數(shù)如下:

j=0,1,…,i-1.記

Di={p∈Bρ: |p-p0|

設(shè)

(7)

其中c1,c2,…表示與擾動(dòng)參數(shù)ε、 扭轉(zhuǎn)參數(shù)t以及迭代步驟i無關(guān)的正常數(shù).

因?yàn)閠為小扭轉(zhuǎn)參數(shù), 所以不失一般性, 可簡記ωi(p,t),fi(p,q,t),gi(p,q,t)為ωi(p),fi(p,q),gi(p,q).設(shè)在第i次迭代中, 映射(1)轉(zhuǎn)化為Fti:

p1=p+tfi(p,q),q1=q+tωi(p)+tgi(p,q),

(8)

其擾動(dòng)項(xiàng)滿足

‖fi‖+‖gi‖<εi,

故存在常數(shù)M0, 使得

‖ωi‖≤2ε

(9)

定義

由文獻(xiàn)[6], 關(guān)于其測度有如下估計(jì):

(10)

定義Di+1×Σi+1上的坐標(biāo)變換Ti+1:

p1=p+Ui+1(p,q),q1=q+Vi+1(p,q).

(11)

(12)

p1=p+tfi+1(p,q),q1=q+tωi+1(p)+tgi+1(p,q),

(14)

其中Ui+1,Vi+1待定, 其新的擾動(dòng)項(xiàng)

(17)

(18)

(19)

(20)

由式(17),(19)知

(21)

由式(13)知

(22)

(23)

由文獻(xiàn)[3]中的引理以及截?cái)囗?xiàng)Ni+1的選取, 對(duì)式(24)中的最后一項(xiàng), 有如下估計(jì):

‖RNi+1fi‖≤ε9/7.

(25)

于是, 關(guān)于新擾動(dòng)項(xiàng), 有

同理

(27)

由式(26),(27)知,

(28)

取Li=T1°T2°…°Ti, 于是Fi=Li-1°Ft°Li.在Di×Σi上, 設(shè)變換Li為

p1=p+Pi(p,q),q1=q+Qi(p,q),

(29)

則

p1=p0,q1=q+tω∞(p0,t),

(30)

|ω∞(p0,t)-ω(p0)|≤2ε.

至此完成了定理1的證明.