一類Moran集的擬對稱packing極小性

付曉慧 李彥哲

(1.廣西大學數學與信息科學學院, 廣西 南寧 530004;2.廣西大學廣西數學研究中心, 廣西 南寧 530004)

1.引言

擬對稱映射是一類重要的映射, 它比雙Lipschitz映射更廣泛, 與雙Lipschitz映射最本質的區(qū)別是它可以改變分形維數, 擬對稱極小集是關于擬對稱映射如何影響和改變分形集合的分形維數這個課題的一個重點研究對象.關于擬對稱Hausdorff極小性, 國內外學者得到了大量的經典結果.[1-9]相比較擬對稱Hausdorff極小性, 關于擬對稱packing極小性的結論就要少一些, 主要的結論都是在實直線上, 特別是Moran集上完成的.Kovalev[4]證明了實直線上擬對稱packing極小集的packing維數要么為0, 要么為1; LI、WU和XI[10]證明了實直線上兩類特殊的packing維數為1的Moran集是擬對稱packing極小集; WANG, WEN[8]證明了所有packing維數為1的齊次Cantor集是擬對稱packing極小集; YANG, WU和LI[9]將文[8]中的結果推廣到一類packing維數為1的齊次完全集上.

本文利用質量分布原理, 證明了實直線上一類特殊的Moran集為擬對稱packing極小集, 在一定條件下推廣了文[10]的結果.

本文在第二節(jié)介紹一些預備知識, 包括擬對稱映射、Moran集與遞減Moran集的定義; 第三節(jié)給出本文的主要結果; 第四節(jié)對主要結果進行了證明.

2.預備知識

定義2.1[11](擬對稱映射) 設X,Y為兩個度量空間, 稱同胚f:X →Y為(η- )擬對稱映射.若存在一個同胚η:[0,∞)→[0,∞)使得對X中任意三個不同的點a,b,x都有

如果X=Y= Rn, 則稱f為n維擬對稱映射.對于集合E ?Rn, 如果對于任意n維擬對稱映射f,都有dimHf(E)≥dimHE(dimPf(E)≥dimPE),則稱E具有擬對稱Hausdorff(packing)極小性, 稱E為擬對稱Hausdorff(packing)極小集.

本文研究Moran集的擬對稱極小性, Moran集是一類重要的分形集, 被國內外分形幾何學者廣泛研究, 下面給出Moran集的定義.

令Fk={Iσ:σ ∈Ωk}, 則F=k≥0Fk={Iσ:σ ∈Ω}, 稱Fk中的元素Iσ為E的k階基本區(qū)間.

注2.1不失一般性, 本文總假設對?k ≥1,σ ∈Ωk-1, 閉區(qū)間Iσ*1,Iσ*2,··· ,Iσ*nk是從左往右排列的.

對Moran集的基本區(qū)間長度做一定的要求, 可以定義遞減Moran集.

定義2.3[13](遞減Moran集) 設E ∈M(I,{nk},{ck,j}), 如果存在正整數a使得對任意k ≥1都有k+a階基本區(qū)間的長度小于k階基本區(qū)間的長度, 則稱E為遞減Moran集.

注2.2齊次Moran集[12]是滿足a=1的遞減Moran集.

關于Moran集更多經典結論見文[14-16].

3.主要結果

從而若E為滿足c* ＞0和dimP E= 1的遞減Moran集, 則由定理3.1得到對任意1維擬對稱映射f都有dimP f(E)=1.由上面的討論知定理3.1在遞減Moran集的條件下推廣了文[10]中定理2的結論.

4.主要結果的證明

定理3.1證明的關鍵是用質量分布原理對支撐在擬對稱映射像集上的概率測度做估計, 質量分布原理如下.

為了使用質量分布原理來估計擬對稱映射像集的packing維數, 需要定義一個支撐在擬對稱映射像集上的概率測度μd, 下面定義μd并利用引理對其做估計.

設E ∈M(I,{nk},{ck,j}),Iσ為E的k階基本區(qū)間.由f是同胚映射知f(Iσ)是R的一個區(qū)間.類似地, 也稱f(Iσ)為f(E)的k階基本區(qū)間.令Jσ=f(Iσ).

固定d ∈(0,1), 定義μd(f([0,1]))=1, 對任意k ≥1,f(E)的任意基本區(qū)間Jσ(σ ∈Ωk), 定義

由測度擴張定理知,μd可唯一擴張成支撐在f(E)上的概率測度.

設k ＞1,σ ∈Ωk-1, 記

當σ=φ時, 記

下面4個引理來源于文[10], 在后面的證明中將會被使用到.

其中λ,p,q是引理4.2中的常數,α2是依賴于f,nk的常數.

對?k ≥1, 令

根據引理4.6可得

從而要證明(4.5), 只需證當t →∞時, I→0, II→0, 且III→0.

由引理4.7結論(B)知, 當t →∞時

由引理4.7結論(A)知, 當t →∞時

由引理4.7結論(C)知, 當t →∞時

在醇類燃料中氧分含量較高，因此，燃燒更加充分，燃燒的效率也更高，另外在燃燒過程中不會出現大量排放一氧化碳的狀況，但是甲醇本身具有較大的危害性，同時還有腐蝕性，故而甲醇汽車在現階段很難得到廣泛的應用。

其中第二個不等號利用了不等式log(1-t)≥-2t對任意t ∈[0,1/2)成立.

由(4.6), (4.7)和(4.8)可得(4.5)成立, 從而完成了引理4.8的證明.

利用引理4.8可得到下面這個重要命題.

命題4.1設E ∈M(I,{nk},{ck,j})為滿足supk{nk} ＜+∞的遞減Moran集, 且存在常數α ∈(0,1)和滿足=s*的子序列{kt}t≥1, 使得

成立.若s*=1, 則對于任意1維擬對稱映射f, 都有dimP f(E)=1.

證任取x ∈f(E).?k ≥1, 令Jk表示滿足x ∈Jk的f(E)的k階基本區(qū)間, 則J1?J2?J3?···.由于E為遞減Moran集, 從而存在正整數a使得對?k ≥1, 都有k+a階的基本區(qū)間長度小于k階的基本區(qū)間長度.令P=min{t:kt ＞2a-1},Tt=t+1-P.

對?k ≥1, 用Mk,i(i= 1,2,··· ,Nk)表示E的k階基本區(qū)間的長度, 其中Nk=n1n2···nk,注意到gx(α)=|f-1(B(x,α))|是連續(xù)映射, 所以存在序列{rTt}t≥P, 使得

從而

所以f-1(B(x,rTt))與E的kt-2a-1階基本區(qū)間至多相交2個, 這意味著f-1(B(x,rTt))與E的kt階基本區(qū)間至多相交2(supknk)2a-1個, 即B(x,rTt)與f(E)的kt階基本區(qū)間至多相交2(supknk)2a-1個.

記與B(x,rTt)相交的f(E)的kt階基本區(qū)間為則

由引理4.8得

注意到對?1≤i ≤h都有

從而有

其中3f-1(B(x,rTt))是與f-1(B(x,rTt))同心、長度為3|f-1(B(x,rTt))|的區(qū)間.由引理4.2得

其中K ＞0為常數.聯立(4.9)可得

注意到當t →∞時,rTt →0.所以對?x ∈f(E), 存在常數C ＞0, 使得

由引理4.1和(4.11)可得

再由d的任意性得到dimPf(E)=1.

有了命題4.1, 就可以快速完成定理3.1的證明.

定理3.1的證明設E ∈M(I,{nk},{ck,j})為滿足定理3.1的條件的遞減Moran集, 則E顯然滿足命題4.1的條件.又因為從而若dimPE= 1, 則由引理4.3可得s*= 1,這樣由命題4.1就可以得到, 對于任意1維擬對稱映射f, 都有dimPf(E)=1.