分?jǐn)?shù)階Kirchhoff型微分方程Dirichlet邊值問(wèn)題的研究

薛婷婷, 劉元彬, 汪秀娟

(新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830000)

1.引言

Kirchhoff方程是波動(dòng)方程的擴(kuò)展, 該方程最早是Kirchhoff[1]在1883年研究彈性弦的自由振動(dòng)時(shí)所提出的.Kirchhoff型模型的一個(gè)顯著的特點(diǎn)是含有非局部項(xiàng)這使得模型不再是逐點(diǎn)都成立, 而是一個(gè)非局部的問(wèn)題, 后來(lái)人們常常將含有類似于上述非局部項(xiàng)的問(wèn)題稱為Kirchhoff問(wèn)題.Kirchhoff方程在諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用, 包括非牛頓力學(xué)、宇宙物理學(xué)、彈性理論電磁學(xué)及人口動(dòng)力學(xué)等.對(duì)于Kirchhoff方程問(wèn)題, 近些年取得了許多這方面的研究成果[2?9].例如: 在文[7]中, 主要通過(guò)變分方法, 來(lái)研究如下Kirchhoff型微分方程正解的存在性

在文[9]中, 作者們研究了一類含有非局部算子的Kirchhoff型問(wèn)題非負(fù)解的存在性.文中考慮了張力的非局部特性, 因?yàn)樵撎匦允怯衫K的分?jǐn)?shù)維長(zhǎng)度的非局部測(cè)度引起的, 所以文章將經(jīng)典的Kirchhoff方程推廣到分?jǐn)?shù)階Kirchhoff方程.由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為描述大量過(guò)程和材料的記憶和遺傳特性提供了一個(gè)出色的工具, 所以分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更適用于現(xiàn)實(shí)世界, 從而使得分?jǐn)?shù)階Kirchhoff方程問(wèn)題的研究成為了一個(gè)熱點(diǎn).然而, 由于Kirchhoff項(xiàng)是非線性的且分?jǐn)?shù)階微分算子是非局部算子, 這給Kirchhoff型分?jǐn)?shù)階微分方程的研究帶來(lái)了困難, 主要反映在(PS)條件的驗(yàn)證、Nehari流形和值映射凸性的驗(yàn)證, 所以與該方程有關(guān)的帶分?jǐn)?shù)階算子的研究工作并不多[10?13].例如：在文[10-11]中, 作者們利用山路定理、Nehari流形方法和臨界點(diǎn)理論中的虧格理論, 研究分?jǐn)?shù)階Kirchhoff問(wèn)題非平凡弱解、基態(tài)解的存在性和多重性.

現(xiàn)階段, 研究帶有Kirchhoff項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分方程問(wèn)題解存在的主要方法是變分方法.那么一個(gè)很自然的想法就是：能否使用不同的方法和技巧研究含分?jǐn)?shù)階算子的Kirchhoff型方程問(wèn)題？基于此, 本文主要利用不動(dòng)點(diǎn)定理和先驗(yàn)界估計(jì)結(jié)合一些變分技巧研究如下Kirchhoff型分?jǐn)?shù)階微分方程Dirichlet邊值問(wèn)題(簡(jiǎn)記KD)

其中a >0,b ≥0,λ ≥0,0和t分別是α ∈(1/2,1]階左和右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).這個(gè)想法主要是受到文[14]的啟發(fā), 在該文中作者使用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理和一些變分技巧來(lái)研究一類含變指數(shù)增長(zhǎng)條件的特征值問(wèn)題弱解的存在性.

2.預(yù)備知識(shí)

定義2.1[15]令0<α ≤1,1

在Eα,p中的閉包.

方便起見(jiàn), 對(duì)?t ∈[0,T], 1≤p<∞, 下文記

引理2.1[15]令0< α ≤1, 1< p < ∞, 則空間關(guān)于范數(shù)‖u‖Eα,p是一個(gè)可分自反的Banach空間.

引理2.2[16]令0<α ≤1, 1

其中‖u‖∞=maxt∈[0,T]|u(t)|是C([0,T],R)的范數(shù),是常數(shù).

注2.1根據(jù)(2.1), 可以在如下范數(shù)意義下考慮空間

引理2.3[16]令1/p<α ≤1,1

3.主要結(jié)果

為研究問(wèn)題的需要, 先給出下面的特征值問(wèn)題

令λ1>0是問(wèn)題(3.1) 的第一特征值,φ1>0是相應(yīng)的特征函數(shù).λ1>0可表示為

其中Eα,20 的定義見(jiàn)定義2.1(p=2).接下來(lái)給出KD(1.1)的弱解定義和本文的主要結(jié)果.

定義3.1若對(duì)有成立, 則稱u是KD(1.1)的一個(gè)弱解.

定理3.1若f(t,u)滿足下列條件:

(H1)f ∈C([0,T]×R,R)且(t,0)dt>0;

(H2) 存在C0>0使得對(duì)幾乎所有的t ∈[0,T]和?u,v ∈R, 有

則對(duì)?λ ∈KD(1.1)有唯一正的弱解.

注3.1當(dāng)α=1時(shí), Kirchhoff型分?jǐn)?shù)階微分方程退化為Kirchhoff型二階常微分方程, 因此本文所研究的問(wèn)題更加寬泛.另外, 對(duì)于此類問(wèn)題, 尚未見(jiàn)有類似結(jié)果.

定義如下兩個(gè)算子:

為證明定理3.1, 下面給出兩個(gè)重要的引理.

引理3.1算子A和Fλ滿足以下性質(zhì):

3) 對(duì)由Hder不等式和(2.3)可知,

4) 對(duì)給定的, 顯然v →Fλ(u,v)是線性的.由(H1), (H2), Hder不等式和(2.1),(2.3)可知,

產(chǎn)生矛盾.因此, 結(jié)論成立.

下面給出定理3.1的主要證明.

定理3.1的證明任意給定λ ∈由引理3.1中1)和Riesz定理可知, 對(duì)?u ∈Eα,2

0 , 存在唯一的使得

因而,G:由引理3.1中2)可知,

即G是強(qiáng)單調(diào)的.由引理3.1中3)可知,

因此,

由引理3.1中6)可知,

定義算子S:B(θ,r)

由于

所以有

因此, 由(3.15)-(3.17)可知,

以u(píng)?=max{?u,0}作為(3.19)的檢驗(yàn)函數(shù), 由(H1), (H2), (2.3)和特征值的定義可知,

所以u(píng)?=0.因此, 當(dāng)λ ∈時(shí),u是KD (1.1)的一個(gè)正解.