帶有凹凸非線性項(xiàng)的Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)解的存在性和多重性

段譽(yù), 孫歆

( 貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院, 貴州 畢節(jié) 551700)

1.引言

研究如下Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)

其中ω >0是一個(gè)常數(shù),λ,μ是參數(shù),u,φ:R3→R,f,g:R3×R→R.問題(1.1)起源于數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中的某些應(yīng)用問題.為了描述三維空間中非線性Klein-Gordon場(chǎng)與靜電場(chǎng)之間相互作用所產(chǎn)生的孤立波問題, 文[1]首次提出了如下Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)模型

其中0< ω < m0,4< q <6,m0和e分別表示粒子的質(zhì)量和電量, 而ω表示相位．系統(tǒng)的未知因素是聯(lián)系粒子的場(chǎng)u和電磁位勢(shì)φ.有關(guān)此系統(tǒng)物理方面的詳述可參見文[1-2].作為(1.2)的一般情形, 系統(tǒng)(1.1)近年來受到了眾多學(xué)者的關(guān)注(見文[3-16]).需要重點(diǎn)指出的是: 文[12]考慮了當(dāng)λ= 1,f(x,u) =|u|p?2u,4< p <6,g(x,u) =h1(x)|u|q?2u,1< q <2, 所含非負(fù)參數(shù)μ比較小時(shí), 給出了問題(1.1)有一列高能量解的結(jié)果.本文考慮的問題是: 當(dāng)凹凸非線性項(xiàng)均是一般非線性項(xiàng)且所含參數(shù)λ>0,μ∈R的條件下, 問題(1.1)是否仍存在一列高能量解? 本文給出了一個(gè)肯定的回答, 所得結(jié)論推廣和完善了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.針對(duì)凹凸非線性項(xiàng),本文做如下假設(shè)：

(F1)f ∈C(R3×R,R),=0關(guān)于x ∈R3一致成立;

(F2) 存在常數(shù)C1>0及2

(F3) 對(duì)任意的t ∈R{0},x ∈R3, 存在常數(shù)θ >4滿足

本文主要結(jié)果如下：

定理1.1假設(shè)f,b,g分別滿足條件(F1)-(F3),(B)及(G1), 則對(duì)任意的λ >0,μ ∈R, 問題(1.1)至少有一個(gè)非平凡解.另外, 若f,g還滿足條件(F4)及(G2), 則問題(1.1)有一列高能量解.

注1.1當(dāng)λ= 1,f(x,u) =|u|p?2u,4< p <6,g(x,u) =h1(x)|u|q?2u,1< q <2, 凹非線性項(xiàng)所含非負(fù)參數(shù)μ比較小時(shí), 文[12]給出了問題(1.1)有一列高能量解的結(jié)果.本文在凹凸非線性項(xiàng)是一般非線性項(xiàng)且參數(shù)λ>0,μ∈R的情形下, 獲得了與文[12]相同的結(jié)論; 而且本文還討論了一個(gè)非平凡解的存在性.

注1.2當(dāng)f(x,u) =|u|p?1u,3< p <5,g(x,u) =h1(x)|u|q?1u,0< q <1且位勢(shì)函數(shù)V具有緊性條件時(shí), 文[13]研究了Klein-Gordon-Maxwell系統(tǒng)無窮多解的存在性; 而本文在位勢(shì)函數(shù)V=1并不能保證空間嵌入是緊嵌入的條件下, 討論了問題(1.1)解的存在性和多重性.

注1.3在上述提到的文獻(xiàn)中, 大多數(shù)要么要求位勢(shì)函數(shù)具有緊性條件, 要么凹非線性項(xiàng)是一個(gè)特殊擾動(dòng)項(xiàng).而本文在沒有緊性條件且凹凸非線性項(xiàng)是一般非線性項(xiàng)的情形下, 討論了問題(1.1)解的存在性和多重性, 完善了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

2.預(yù)備知識(shí)

令D1,2(R3)={u ∈L6(R3):|?u|∈L2(R3)}表示Sobolev空間, 其范數(shù)定義為：

顯然, 嵌入映射(R3)是連續(xù)的.即對(duì)任意的2≤p ≤6, 存在Sp >0, 使得

系統(tǒng)(1.1)具有變分結(jié)構(gòu), 定義其能量泛函如下：對(duì)任意的(u,φ)∈H ×D1,2(R3)

其中G(x,t)=易知系統(tǒng)(1.1)的弱解(u,φ)∈H×D1,2(R3)對(duì)應(yīng)著泛函J的臨界點(diǎn).由于J是強(qiáng)不定的，為了克服這種困難, 需要對(duì)泛函進(jìn)行一些簡(jiǎn)化: 將泛函J轉(zhuǎn)化成只含有一個(gè)變量的式子.為此, 現(xiàn)給出如下引理.

引理2.1[3]對(duì)任何u ∈H1(R3), 存在唯一的φ=φu ∈D1,2(R3), 滿足方程

更進(jìn)一步, 映射Φ:u ∈H1(R3)→Φ[u]:=φu ∈D1,2(R3)是連續(xù)可微的并且滿足:

(i) 在集合{x|u(x)0}上,?ω ≤φu ≤0;

在(2.2)式左右兩端同時(shí)乘以φu，并分部積分可得

從而結(jié)合(2.3)式及J的定義知,I(u):=J(u,φu)可化簡(jiǎn)為如下形式

由(V), (F1)-(F3),(G1),(B)及引理2.1易知,I定義在空間H上是有意義的且I ∈C1(H,R),其所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)是對(duì)任意的u,v ∈H

由文[1]中的命題3.5知,u是泛函I的臨界點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)(u,φ)∈H ×D1,2(R3)是系統(tǒng)(1.1)的解, 并且φ=φu.因此, 為了得到問題(1.1)非零解, 我們只需尋找泛函I的非零的臨界點(diǎn)即可.

在本文中,C表示各種常數(shù), 在不同的地方代表不同的值.

3.主要結(jié)果的證明

引理3.1假設(shè)(G1)成立,則ψ′:H →H?是弱連續(xù)的且是緊的,其中ψ(u):=

證 類似于文[18]中的引理2.2的證明, 略去證明過程.

引理3.2假設(shè)(F1)-(F3), (G1)及(B)成立, 則I在空間H存在一個(gè)有界(PS)c序列.

證首先證明:I在空間H中滿足山路定理的幾何結(jié)構(gòu).

由(F1)-(F2)知, 對(duì)任意的ε>0, 存在c(ε)>0,

由(G1)知

其中,

故由(3.2)及(3.3)知, 對(duì)任意的t>0及某個(gè)v ∈H

故存在t0>0使得‖t0v‖>ρ,I(t0v)<0.令e=t0v, 則‖e‖>ρ,I(e)<0.由無PS條件的山路定理知, 泛函I含有一個(gè)(PS)c序列.即存在{un}?H使得

其次證明：(PS)c序列{un}有界.由(G1)知

由(3.4), (3.5), (F3), (B)及引理2.1(i)知

結(jié)合1

引理3.3假設(shè)(F1)-(F3),(G1)及(B)成立, 則對(duì)I在空間H中的一個(gè)任一的有界(PS)c序列存在一個(gè)強(qiáng)收斂的子列.

證設(shè){un}?H是泛函I的任一的有界(PS)c序列，即(3.4)成立且‖un‖≤C.

首先證明: 則對(duì)任意的ε>0, 存在R(ε)>0及n(ε)>0使得當(dāng)R ≥R(ε),n ≥n(ε)時(shí),

其中{un}是由(3.4)所給出的序列.令ξR:RN →[0,1]是一個(gè)光滑的函數(shù)且滿足

及

其中C >0是某個(gè)與R無關(guān)的常數(shù).類似于文[19]的引理3.4的證明知, 對(duì)任意的ε >0, 存在n(ε)>0,R(ε)>0使得當(dāng)n ≥n(ε),R ≥R(ε)時(shí)分別有

由條件(3.1)及(B)知, 對(duì)上述的的ε>0, 當(dāng)R充分大時(shí),

同理, 由條件(G1)知, 對(duì)上述的的ε>0, 當(dāng)R充分大時(shí),

注意到,

由(3.7)-(3.11)知

由{un}的有界性知, 存在常數(shù)C >0使得

從而對(duì)任意的ε>0, 存在R(ε)>0及n(ε)>0使得當(dāng)R ≥R(ε),n ≥n(ε)時(shí),

即(3.6)成立.

其次證明：{un}在空間H中有一個(gè)強(qiáng)收斂的子列.因?yàn)閧un} ?H是泛函I的有界(PS)c序列, 所以存在{un}的一個(gè)子列(不失一般性仍記之為{un})和u ∈H使得

un ?u,于H;un →u,于)(1≤p<6);un(x)→u(x)關(guān)于a.e.x ∈R3.

現(xiàn)證明: 在空間Lp(R3)(2≤p<6), un →u(n →∞).設(shè)‖un‖2→δ.因?yàn)閷?duì)R3中的任意有界區(qū)域Ω,

所以‖u‖2≤δ.由(3.6)知, 任意的ε >0, 存在R(ε)> R0及n(ε)>0使得當(dāng)R ≥R(ε),n ≥n(ε)時(shí),

故

這意味著δ=‖u‖2, 即‖un‖2→‖u‖2.進(jìn)而有在空間L2(R3), un →u(n →∞).又對(duì)任意的2

因?yàn)榍度胗成?R3)(2≤s ≤6)是連續(xù)的, 所以{un}在空間L6(R3)是有界的.故結(jié)合‖un ?u‖2→0(n →∞) 知,‖un ?u‖p →0(2≤p <6,n →∞).這就證明了：當(dāng)un ?u,于H時(shí),un →u,于Lp(R3)(2≤p<6).

由(3.4)易知

類似于文[16]的引理2.4的證明過程知

由引理3.1知

故由(3.13)-(3.18)知：在空間H中,un →u(n →∞).

引理3.4假設(shè)(F1)-(F3),(G1)及(B)成立, 則泛函I(u)滿足：

(i) 存在常數(shù)ρ>0,α>0使得I |?Bρ∩Zk≥α;

證(i) 由引理3.2的證明過程易得;

定理1.1的證明由引理3.2和引理3.3知泛函I滿足山路定理的幾何結(jié)構(gòu)且(PS)c條件成立, 因此由山路定理(見文[20]中的定理2.2)知, 存在u0∈H滿足I′(u0) = 0且I(u0)>0.即問題(1.1)存在一個(gè)非平凡山路解.

由條件(F4),(G2)知泛函I是偶的, 且由引理3.2、引理3.3和引理3.4知能量泛函I滿足對(duì)稱山路定理(見文[20]中定理9.12)的條件, 故I有一列趨于+∞的臨界值.即, 問題(1.1)具有一列高能量解.