一類非線性趨化方程的能控性及時(shí)間最優(yōu)控制

李文娟, 張亮

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院, 湖北 武漢 430070)

1.引言

設(shè)Ω ?R3為帶光滑邊界?Ω的有界鄰域,ω為Ω的非空開(kāi)子集.令T >0, 記QT=Ω ×(0,T),ΣT=?Ω×(0,T), Lebesgue空間Lp(Ω),Lp(QT)(1≤p ≤∞)的范數(shù)分別為|·|p,‖·‖p.

考慮如下非線性趨化方程

其中ut=?u/?t,vt=?v/?t.?ν=?/?ν表示邊界?Ω的外法向量.1ω指ω上的特征函數(shù),g=g(x,t)為控制函數(shù),u=u(x,t)為細(xì)菌密度,v=v(x,t)為氧氣濃度,χ >0為給定的常數(shù),u0(x)和v0(x) 表示初始值, 函數(shù)f(v)為氧氣消耗速率.為簡(jiǎn)化符號(hào), 本文省略函數(shù)表達(dá)式中的x和t.這里f和χ滿足

且

定義1.1稱函數(shù)(u,v)為方程(1.1)的弱解, 如果

u ≥0,v ≥0, a.e.在Ω×(0,T)中, 且

并且等式

方程(1.1)是由Tuval和Cisneros等[15]提出的, 該方程主要是為了描述在氧氣的趨化作用下細(xì)菌向液體與空氣接觸面的游動(dòng)和在細(xì)菌重力的作用下液體產(chǎn)生流動(dòng)這一生物過(guò)程.本文將討論非線性趨化方程(1.1)的能控性及時(shí)間最優(yōu)控制的存在性.

當(dāng)方程(1.1)沒(méi)有控制項(xiàng)時(shí), 該方程為標(biāo)準(zhǔn)的趨化模型, 也是一類典型的非線性Keller-Segel方程, 即

關(guān)于Keller-Segel方程(1.4)的研究, 在過(guò)去的幾年里取得了一些進(jìn)展.若f是連續(xù)可微的單調(diào)遞增函數(shù)且滿足f(0) = 0, 在有界區(qū)域Ω ?RN(N= 2,3)上, Lorz[16]得出了局部弱解,當(dāng)N=3且參數(shù)χ和f滿足條件(1.2)和(1.3)時(shí), Winkler[18]給出在帶光滑邊界的有界凸區(qū)域上方程(1.1)弱解的存在性.

然而, 關(guān)于Keller-Segel方程在控制方面的相關(guān)成果很少.在文[7]中作者研究了Keller-Segel方程的最優(yōu)控制問(wèn)題.在文[9]中, 作者給出如下描述藥物濃度不瞬時(shí)溶解情況下Keller-Segel方程的局部精確能控性,

本文考慮方程(1.1)的能控性和時(shí)間最優(yōu)控制, 原因如下: 其一, 由于drift-diffusion 項(xiàng)的存在, 使得在證明方程(1.1)的正則性和線性方程的能觀性估計(jì)等方面更為困難; 其二, 非線性項(xiàng)uf(v)的存在使得方程(1.1)的難度更大, 但結(jié)果也更為豐富; 其三, 本文考慮的是方程組在一個(gè)控制下的能控性問(wèn)題和時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題, 該類問(wèn)題近年來(lái)愈發(fā)引起關(guān)注.

本文將采用近年來(lái)發(fā)展的處理非線性方程的經(jīng)典方法證明(1.1)的能控性: 首先將非線性方程線性化, 然后運(yùn)用線性方程的能控性結(jié)果, 結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)定理, 最后得到非線性方程的能控性.

2.線性拋物方程的正則性

考慮如下的線性拋物型方程組

其中a1(·,·),a2(·,·),B2(·,·)∈L∞(QT), B1(·,·)∈L∞(QT)N, B1·ν=0在ΣT上.ρ0(·), θ0(·)∈L2(Ω), G ∈L2(QT).

命題2.1設(shè)a1,a2,B2∈L∞(QT),B1∈L∞(QT)N,B1·ν=0在ΣT上.

1) 若ρ0, θ0∈L2(Ω),G ∈L2(QT), 則方程(2.1)有唯一解(ρ,θ)∈L2([0,T))×L2([0,T);W1,2(Ω)), 且滿足

2) 當(dāng)2≤p < ∞時(shí), 若G ∈Lp(QT),ρ0∈Lp(Ω), θ0?νθ0= 0在?Ω上,則方程(2.1)有唯一解(ρ,θ)∈Lp(QT)×且滿足

3) 當(dāng)p >5時(shí), 若G ∈L∞(QT),ρ0∈L∞(Ω), θ0∈W1,p(Ω), ?νθ0= 0在?Ω上, 則方程(2.1)有唯一解(ρ,θ)∈L∞(QT)×L∞(QT), 且滿足

其中

并且常數(shù)C=C(Ω).

證由于解的存在性證明類似于文[1], 不等式(2.2)與(2.3)的證明相似, 故本文只證明不等式(2.3)和(2.4)成立.

首先, 證明不等式(2.3)成立.

對(duì)(2.1)的第一、二個(gè)方程分別乘|ρ|p?2ρ, |θ|p?2θ, 并分別在Ω上積分, 可得

對(duì)關(guān)于t微分, 并利用(2.1)的第二個(gè)方程, 有

對(duì)(2.1)的第二個(gè)方程利用最大正則性[9]得

對(duì)(2.6)-(2.8)利用Gronwall不等式, 并在[0,T]上積分, 可得

綜上可得

故不等式(2.3)成立.

然后證明不等式(2.4)成立.

對(duì)于p ∈(1,∞),A=:Ap指扇形算子

假設(shè)γ為正常數(shù),ρ0∈C(().{e?tA}t≥0和{e?t(A+γ)}t≥0是由Lp(Ω)(1< p <∞) 中?A和?(A+γ)生成的解析C0半群.關(guān)于(2.1)第一個(gè)方程的解可表示為

對(duì)上式(2.11)兩邊取范數(shù)可得

對(duì)于任意的0≤s

設(shè)τ >0, D((A+γ)τ)是具有圖像范數(shù)的Banach空間, 并滿足如下嵌入性質(zhì)

由于p >5, 取ε足夠小,τ滿足(2.15), 對(duì)(2.12)通過(guò)Hlder不等式和文[9]中的Proposition 1得

由(2.9), (2.12)-(2.16)得

同理關(guān)于(2.1)第二個(gè)方程的解可表示為

對(duì)式(2.18)兩邊取W1,p(Ω)范數(shù)

對(duì)(2.19)作估計(jì)

再通過(guò)(2.9)、(2.19)-(2.21)和Sobolev嵌入W1,p(Ω)(p>3), 有

3.能觀性估計(jì)

引理3.1設(shè)z(x,t)為方程

的弱解,fi ∈L2(QT), ?fi/?xi是fi的弱導(dǎo)數(shù)(i= 1,...,N), 存在常數(shù)C=C(Ω,ω0,d)和常數(shù)λ0=λ0(Ω,ω0,d)>1, 對(duì)所有的λ ≥λ0和s ≥r(λ)(T+T2), 有

其中d是實(shí)數(shù), 且

不等式(3.2)的證明類似于文[6], 證明過(guò)程只需將ω=esνu替換成ω=(sφ)desνu, 并利用相同的方法估計(jì).

考慮線性方程組(2.1)的共軛方程組

其中ζT,?T ∈L2(Ω).已知線性拋物方程的精確能控等價(jià)于其共軛方程的能觀性估計(jì), 因此,為了研究方程(2.1)的零可控, 需對(duì)共軛方程(3.4)進(jìn)行能觀性估計(jì), 為了得到共軛方程的能觀性估計(jì), 需利用共軛方程的Carleman估計(jì).

其中常數(shù)C1=C1(Ω, ω, ω0), 且

證存在常數(shù)C0(Ω,ω0) 和滿足

對(duì)所有的和s ≥r(λ)(T+T2), 對(duì)(3.4)運(yùn)用引理3.1, 并分別令d=2, d=0, 有

其中(ζ,?)為方程(3.4)關(guān)于ζT,?T ∈L2(Ω)的解,Ci(i=1,2,3)為僅依賴于Ω,ω,ω0的正常數(shù).

需對(duì)不等式(3.9)的后半部分作處理.

令(Ω),ξ=1在ω0上;ξ=0在中; 0≤ξ ≤1在ω中, 并且滿足

令η=λ4(sφ)3e2sν,將(3.4)的第一個(gè)方程化為a1?=?tζ+Δζ+B1?ζ, 再兩邊同乘?ηξ, 可得

上式利用分部積分得

通過(guò)(3.3)和(3.10)得

對(duì)Ψ1,Ψ2利用Cauchy不等式, 有

其中ε1和ε2是任意的正常數(shù).

再利用Cauchy不等式得

(3.5)成立.證明完畢.

眾所周知, 方程(2.1)關(guān)于L2(QT)的零可控等價(jià)于方程(3.4)的可觀測(cè)不等式,

其中(ζ,?)為方程(3.4)的解.為了使控制在空間L∞(QT)上, 需建立改進(jìn)的可觀測(cè)不等式.

命題3.3存在正常數(shù)λ和s, 對(duì)任意的T >0, ζT,?T ∈L2(Ω), 則方程(3.4)的解(ζ,?)滿足

這里m由(2.5)給定.

證存在正常數(shù)λ1=λ1(Ω,ω,ω0), 對(duì)于任意的λ ≥λ1和s ≥r(λ)(T+T2), 令

根據(jù)引理3.2, 對(duì)方程(3.4)利用分部積分, 可得

由(3.6), (3.7)得

由于

再利用(3.5), 可得

故得到(3.14)成立.

4.能控性

證明非線性方程(1.1)的局部精確能控: 先證明線性方程(2.1)的零可控, 再利用不動(dòng)點(diǎn)定理.

Ⅰ 在一個(gè)控制下線性方程的零能控性

定理4.1對(duì)于T >0, 任意的(ρ0,θ0)∈L2(Ω)×L2(Ω), 存在控制函數(shù)g ∈L∞(QT),使得方程(2.1)相對(duì)于g的解(ρ,θ)滿足(ρ,θ)∈L2([0,T))×L2([0,T);W1,2(Ω)),ρ(x,T) =θ(x,T)=0,?x ∈Ω, 且控制函數(shù)g滿足

其中C為依賴于Ω,ω的正常數(shù),m滿足(2.5).

證對(duì)于?ε>0, 考慮下面的最優(yōu)控制問(wèn)題

其中

這里(ρ,θ)是方程(2.1)相對(duì)于g的解.存在控制問(wèn)題(4.2)的最優(yōu)對(duì)(gε,(ρε,θε)),通過(guò)Pontryagin最大原理, 可得

令ν0=則有

其中r(λ)由(3.3)給定.

假設(shè)參數(shù)λ,s足夠大, 使得可觀測(cè)不等式(3.14)和

成立.

對(duì)每個(gè)i(i=0,1,...,k,k+1), 定義

對(duì)方程(4.7)利用Lp ?Lq估計(jì), 則方程的解可表示為

對(duì)(4.8), (4.9)利用Lpi?1?Lpi估計(jì), Young卷積不等式和文[9]中的Proposition 1, 可得

又

通過(guò)(4.10)-(4.12)得‖^ζi‖pi+‖^?i‖pi ≤eCm(‖^ζi?1‖pi?1+‖^?i?1‖pi?1),上式從0到k迭代, 再利用(4.4), 則有

即

由(4.11)得

再由(4.12)和(4.13)可得

利用嵌入不等式, 有

即

選擇δ足夠小, 由r(λ)>4, 可得通過(guò)(4.5), (4.14)得

Ⅱ 非線性方程的局部精確能控性

這部分, 通過(guò)線性拋物方程(2.1)的局部精確零能控性和Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)證明非線性方程(1.1)的局部精確能控性.

定理4.2p >5, (是方程(1.4)相對(duì)于的軌跡, 存在不依賴于T的正常數(shù)C, 對(duì)于任意的(當(dāng)滿足

證首先將非線性拋物方程(1.1)線性化.

其中(ρ,θ)是方程(4.17)的軌跡.

令K={(α,β)∈L∞(QT)×L∞(QT)| ‖α‖∞≤e??Tm0,‖β‖∞≤m0}, 這里m0>0.對(duì)任意的(α,β)∈K, 將(4.17)化為線性方程, 有

故方程(1.1)的局部精確可控等價(jià)于方程(4.18)的局部零可控.已知(ρ,θ)是方程(4.18)相對(duì)于g和(α,β)的解, 由定理4.1得ρ(x,T)=θ(x,T)=0, 且控制函數(shù)滿足以下估計(jì)

然后利用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理.

對(duì)于(α,β)∈K, 定義一個(gè)多值映射Λ:K →2L2(QT),(α,β)→Λ(α,β),

Λ(α,β)={(ρ,θ)∈L2(QT)×L2(QT);?g滿足(4.19),方程(4.18) 相對(duì)于

(α,β) 和g的解(ρ,θ),滿足ρ(x,T)=θ(x,T)=0 a.e.在Ω中}.

下面將證明多值映射Λ滿足Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理.

1) 證明Λ(α,β)是(L2(QT))2的非空緊凸集.通過(guò)前面的討論, 可得Λ(α,β)對(duì)每個(gè)(α,β)∈K是非空凸的, 通過(guò)(4.19)和(2.4)得(ρ,θ)滿足

通過(guò)(4.20)可得,Λ(α,β)在L2(Ω×[0,T))×L2([0,T);W1,2(Ω))中對(duì)每個(gè)(α,β)∈K是有界的, 再通過(guò)Aubin-Lions引理得Λ(α,β)是(L2(QT))2的緊子集.

2)證明Λ是上半連續(xù).取K中的有序數(shù)列(αn,βn)在L2(QT)中強(qiáng)收斂于(α,β),對(duì)每個(gè)n.設(shè)(ρn,θn)∈Λ(αn,βn), 由Λ(αn,βn)的定義, 對(duì)每個(gè)n, 存在gn, 使得(ρn,θn)為以下方程的解,

并且ρn(x,T)=θn(x,T)=0, 對(duì)幾乎所有的x ∈Ω, 此外, 控制函數(shù)gn滿足

由(4.22)和命題2.1 得

在方程(4.21)中, 當(dāng)n →∞時(shí), 可得(4.21)相對(duì)于(α,β)的弱解為(ρ,θ).下面需證明(ρ,θ)∈Λ(α,β).令Yn=ρn ?ρ,Zn=θn ?θ,Gn=1wgn.設(shè)(Yn,Zn)為以下方程的解

其中‖(B2)αn‖∞≤C,‖(a1)βn‖∞≤C,‖(a2)βn‖∞≤C, 對(duì)所有的n成立.通過(guò)能量估計(jì), 有

又(ρ,θ)是(4.18)的解.當(dāng)2≤p<∞時(shí), 由命題2.1(ii)得

由(4.19)得1wg是有界的, 通過(guò)Sobolev嵌入(QT)1(QT) (P >5), 可得

因?yàn)?αn,βn)→(α,β)在L2(QT)中強(qiáng)收斂, (Yn,Zn)→(0,0)在L2(QT)中強(qiáng)收斂, (Gn ?G)→0在L2(QT)中弱收斂, 當(dāng)n →∞時(shí), (4.25)的右邊趨于0, 所以|Yn(·,t)|2→0,|Zn(·,t)|2→0,?t ∈[0,T], 由于ρn(x,T) =θn(x,T) = 0,?x ∈Ω, 可得ρ(x,T) =θ(x,T) = 0,?x ∈Ω,即(ρ,θ)∈Λ(α,β).綜上可得,Λ是上半連續(xù).

5.時(shí)間最優(yōu)控制的存在性

本節(jié), 利用定理4.2的局部精確能控性, 討論具有控制的非線性趨化方程(1.1)關(guān)于時(shí)間最優(yōu)控制的存在性問(wèn)題.

則(1.5)至少存在一個(gè)時(shí)間最優(yōu)控制.

取T >T1, 作輔助函數(shù)