基于固定接觸約束的多指靈巧手動力學建模*

余 進 ，張紅俊

（1.長安大學公路養(yǎng)護設備國家工程實驗室，陜西 西安 710065；2.重慶長安工業(yè)（集團）有限責任公司，重慶 401120）

0 前言

多指靈巧手作為一種末端執(zhí)行機構具有高自由度、高靈活性的特點，能夠完成多種精細、復雜的操作，在工業(yè)加工[1]、家庭服務[2]、太空探索[3]、康復醫(yī)療[4]以及危險品處理[5]等領域都有不錯的應用前景。在各種操作任務中，多指靈巧手需要通過與被操作物體進行接觸來調整物體的運動狀態(tài)，該過程中不同的接觸方式會產生不同的操作效果。文獻[6]將任意兩物體間常見的接觸分為點接觸、線接觸以及面接觸，其中點接觸在操作靈活度上更具有優(yōu)勢。常見的點接觸中，固定點接觸方式在實際操作應用中較為常見且其理論上受到的運動約束最為簡單，便于研究。

目前，在對多指靈巧手進行動力學建模的研究中，大部分動力學模型只針對多指靈巧手進行了動力學建模，未對靈巧手與被操作物體間的接觸約束進行考慮，如文獻[7]和[8]提出通過Newton-Euler方法表示出單指的動力學方程。Udwadia-Kalaba方法[9]的優(yōu)勢在于無須引入額外的變量且適用范圍廣泛。文獻[10]中，趙曉敏等人對比討論了U-K方法相較于Lagrange方法和Newton-Euler方法的優(yōu)缺點。

本研究中主要包括以下三個方面的工作：第一部分簡要對Udwadia-Kalaba理論進行介紹；第二部分對靈巧手手指和物體在固定點接觸時進行運動學分析；第三部分使用層級堆聚建模方法對多指靈巧手和被操作物體整體進行動力學建模并對該系統(tǒng)模型進行仿真。

1 Udwadia-Kalaba理論

若一個機械系統(tǒng)由s個質點或剛體組成且可以通過廣義坐標向量q∈n?來表示該系統(tǒng)在任意時間t的位移，則在不受約束條件下的系統(tǒng)運動方程可表示為：

式 中M(q,t)∈?n×n為 系 統(tǒng) 的 質 量 矩 陣，為系統(tǒng)所受到的給定力。若該系統(tǒng)受到l（l＜n）個約束，其所受約束的Pfaffian形式可表示為：

式中A(q,t)∈?l×n，c(q,t)∈?l。對式（2）進行求導后可得到二階形式為：

假設1：機械系統(tǒng)質量矩陣M(q,t)正定且對稱。假設2：約束方程式（2）中的矩陣A(q,t)滿足Rank(A)≥1。

定理1[11]：滿足假設1～2的機械系統(tǒng)式受到約束時，機械系統(tǒng)的運動方程可表示為：

定理1給出的系統(tǒng)運動方程在質量矩陣滿秩的情況下，能夠適用于完整約束和非完整約束條件下。

2 接觸分析

三指靈巧手的結構如圖1所示，將固連在三指靈巧手手掌上的坐標系設為基坐標系，取用于描述第i根手指的廣義坐標，為描述被抓取物體的廣義坐標。若靈巧手單根手指與被抓取物體之間產生固定接觸時，將滿足一個約束，即手指指尖與物體在接觸點處的位置相等[12-15]。

圖1 三指靈巧手

上式中，Po∈?3、Pfi∈?3分別為物體坐標系原點和指尖坐標系原點在基坐標系下的位置向量，oCoi和則分別為物體坐標系和指尖坐標系下接觸點的位置向量。對式（6）求導可得：

將系統(tǒng)所受到的約束方程式（7）整理成矩陣的形式為：

3 抓取系統(tǒng)動力學建模

將多指靈巧手分為四個子系統(tǒng)，即三個單手指子系統(tǒng)和被抓取物體子系統(tǒng)。假設單手指系統(tǒng)的各個連桿均為均質桿且手指運動不受摩擦力的影響，則根據(jù)Lagrange方程，單手指子系統(tǒng)的動力學可表示為：

式中Mfi∈?6×6為單手指子系統(tǒng)的質量慣性矩陣，Qfi∈?6則為該子系統(tǒng)所受到的科氏力和重力。同理，被抓取物體子系統(tǒng)的動力學可表示為：

式中Mo∈?12×12為被抓取物體子系統(tǒng)的質量慣性矩陣，12

oQ∈?為該子系統(tǒng)所受到的科氏力和重力。結合式（9）和式（10）可得到多指靈巧手在“未受約束”下的動力學方程可表示為：

4 總結

本研究首先對Udwadia-Kalaba方法進行簡要介紹，隨后對靈巧手與物體間在固定接觸下的運動進行分析，表示出其在空間中所受到的約束方程，然后基于層級堆聚建模方法，在對單手指和物體進行分別建模之后，基于Udwadia-Kalaba方法利用接觸約束建立靈巧手與被抓取物體的整體模型，為后續(xù)對抓取系統(tǒng)的控制器設計提供準確的模型基礎。