GPS重復(fù)基線粗差探測(cè)方法比較及實(shí)例分析

甄 龍，周 楠，王 嵐，袁小勇

（1.中國(guó)電力工程顧問集團(tuán)中南電力設(shè)計(jì)院有限公司，湖北 武漢 430071；2.國(guó)網(wǎng)新疆電力有限公司建設(shè)分公司，新疆 烏魯木齊 830063）

1 常用的幾種選權(quán)迭代法

2）丹麥法

式中，C是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ投O(shè)定調(diào)和參數(shù)。丹麥法也是以最小二乘平差準(zhǔn)則為基準(zhǔn)，而后通過對(duì)第一次的殘差進(jìn)行逐次迭代，來實(shí)現(xiàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)中粗差的檢驗(yàn)。

3）Huber 函數(shù)法

2 等價(jià)方差-協(xié)方差穩(wěn)健估計(jì)方法

2.1 等價(jià)方差-協(xié)方差穩(wěn)健估計(jì)函數(shù)模型

1）模型的建立。對(duì)于M估計(jì)而言[2]，所構(gòu)造的ρ函數(shù)應(yīng)滿足:

式中，k0的取值一般在1.5～3.0 之間，而

顯然，該函數(shù)模型具有如下特點(diǎn):

1）該模型是隨機(jī)模型的一種體現(xiàn)，它實(shí)際上是將方差進(jìn)行了膨脹處理。

分別于種植體植入后即刻及術(shù)后第12周，由同一測(cè)量者用OstellTM ISQ種植體穩(wěn)定性測(cè)量?jī)x(BiolinScientifc，瑞典)對(duì)種植體的穩(wěn)定性進(jìn)行測(cè)量，該儀器可將測(cè)量結(jié)果自動(dòng)換算為ISQ值(0～100)，分別計(jì)為ISQ0(即刻)、ISQ12(12周)；每個(gè)種植體各測(cè)量?jī)纱危∑骄?。通過ISQ值比較種植體穩(wěn)定性變化，分析種植體穩(wěn)定性與頜骨HU值、性別、種植體型號(hào)間的差異。

2）該模型所構(gòu)造的等價(jià)方差-協(xié)方差矩陣是具有嚴(yán)格對(duì)稱性的。

3）在處理獨(dú)立觀測(cè)值時(shí)，該模型與等價(jià)權(quán)函數(shù)模型計(jì)算所得到的結(jié)果是相同的；在處理相關(guān)觀測(cè)值時(shí)，該模型確保了相關(guān)系數(shù)大小不變，且所建立的模型與實(shí)際情況一致。

2.2 等價(jià)方差-協(xié)方差調(diào)整因子

2.3 相關(guān)等價(jià)方差-協(xié)方差因子

2.4 標(biāo)稱精度改正權(quán)相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)

在保持相關(guān)系數(shù)ρ不變的條件下

2.5 雙因子方差膨脹模型

將粗差歸為隨機(jī)模型時(shí)，粗差觀測(cè)量的先驗(yàn)方差δii2與其實(shí)際方差δ^ii2相比較，存在著很大的差異，此時(shí)即表現(xiàn)為方差膨脹模型。那么我們可以通過對(duì)含粗差觀測(cè)值的方差進(jìn)行擴(kuò)大，從而控制異常觀測(cè)值的影響[5]。因此提出改進(jìn)后的穩(wěn)健最小二乘估計(jì)方法，它是在等價(jià)方差-協(xié)方差陣的基礎(chǔ)上建立起來的，可以有效避免等價(jià)權(quán)穩(wěn)健最小二乘估計(jì)的缺陷。其實(shí)質(zhì)是通過逐次迭代平差計(jì)算，并根據(jù)所得結(jié)果不斷將觀測(cè)值的方差-協(xié)方差進(jìn)行膨脹，直到使異常觀測(cè)量的先驗(yàn)方差與實(shí)際方差相符合，從而達(dá)到削弱粗差影響的目的。

觀測(cè)量的協(xié)方差矩陣作為評(píng)定觀測(cè)量精度的指標(biāo)，能夠非?？陀^地反映出所有觀測(cè)量的離散程度[6]。若觀測(cè)值的精度比較高，且可靠性也較好，則其對(duì)應(yīng)的方差也較小，此時(shí)賦予該觀測(cè)量的權(quán)重將大，反之則方差大，對(duì)應(yīng)參數(shù)估計(jì)權(quán)重小。

對(duì)含粗差觀測(cè)值的方差進(jìn)行不斷擴(kuò)大，可以降低其在參數(shù)估計(jì)中所帶來的影響。但由于相關(guān)觀測(cè)量是一個(gè)整體，因此僅考慮對(duì)方差元素進(jìn)行膨脹是不夠的，還應(yīng)調(diào)整協(xié)方差元素。基于各元素之間是相互關(guān)聯(lián)的，應(yīng)該保證在對(duì)方差和協(xié)方差進(jìn)行膨脹之后，其原有的相關(guān)系數(shù)保持不變。

2.6 異常觀測(cè)方差膨脹模型

2）方差膨脹模型的相關(guān)觀測(cè)穩(wěn)健估計(jì)算法特點(diǎn)

①上述模型中的方差膨脹因子函數(shù)是連續(xù)不間斷的，它可以很好地控制含粗差觀測(cè)值所帶來的影響。因?yàn)榉讲钆蛎浐瘮?shù)的取值一般不會(huì)為∞，故基于該模型求解時(shí)不會(huì)刪除任何異常觀測(cè)信息。同時(shí)，當(dāng)方差膨脹系數(shù)非常大時(shí)，異常觀測(cè)信息對(duì)參數(shù)估值將散失作用[7]。

②該模型構(gòu)造的等價(jià)協(xié)方差矩陣沒有改變觀測(cè)向量原來就具有的相關(guān)性，而且還保證了方差-協(xié)方差的對(duì)稱性。

2.7 方差膨脹因子函數(shù)

在構(gòu)造方差膨脹因子rii時(shí)，若觀測(cè)值誤差大于所設(shè)定的某種限差，此時(shí)相應(yīng)的方差應(yīng)該被膨脹。否則令rii取值為1，即是保持原有方差固定不變[8]。所以，rii的構(gòu)造形式如下:

對(duì)于M估計(jì)的選權(quán)迭代法，當(dāng)進(jìn)行k次迭代時(shí)，將方差膨脹因子rii取值如下:

上式類似于IGGIII 權(quán)函數(shù)的倒數(shù)，但為了保證方差膨脹因子更加平穩(wěn)化，去掉了降權(quán)因子上的平方，即有上式中:

3 程序模塊算法

基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)方法與巴爾達(dá)數(shù)據(jù)探測(cè)有所不同，其需要再次使用上一次平差的成果，而且對(duì)于存在粗差的觀測(cè)值進(jìn)行降權(quán)而不是刪除。首先在處理權(quán)陣時(shí)，首次平差采用基線文件中提供的方差陣來計(jì)算，之后就使用平差所得的方差陣和單位權(quán)中誤差來計(jì)算。

平差過后，需要計(jì)算出改正數(shù)的方差陣，然后根據(jù)公式，計(jì)算出新的方差陣，最后再進(jìn)行迭代。其關(guān)鍵代碼如下:

4 基于重復(fù)基線時(shí)的粗差探測(cè)實(shí)例分析與比較

結(jié)合某高速鐵路的GPS 控制網(wǎng)，選取其中一部分，共8 個(gè)控制點(diǎn)，20 條基線，其中0360P21 是已知點(diǎn)，原始基線數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 GPS 向量網(wǎng)各基線向量的觀測(cè)值

直接對(duì)上述不含任何粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘平差計(jì)算，各基線向量的改正數(shù)結(jié)果如表2 所示。

表2 無粗差時(shí)各基線向量分量的改正數(shù)

現(xiàn)將重復(fù)基線CPI1066-0361P21 所在2 個(gè)時(shí)段觀測(cè)值的Y方向上均分別加入0.05 m 的粗差，然后分別基于選權(quán)迭代法和改進(jìn)的穩(wěn)健最小二乘估計(jì)法利用已編程序進(jìn)行計(jì)算，其探測(cè)的結(jié)果如表3～7 所示。

表3 改進(jìn)的穩(wěn)健最小二乘估計(jì)法粗差探測(cè)結(jié)果

表4 殘差絕對(duì)值之和最小法粗差探測(cè)結(jié)果

表5 丹麥法粗差探測(cè)結(jié)果

表6 Huber 函數(shù)法粗差探測(cè)結(jié)果

表7 相關(guān)性的IGG 法粗差探測(cè)結(jié)果

根據(jù)表3～7 中的粗差探測(cè)結(jié)果可知:

1）當(dāng)重復(fù)基線上含有粗差時(shí)，殘差絕對(duì)值之和最小法雖然探測(cè)到了含粗差的基線向量，但其殘差值與實(shí)際加入的粗差值相差非常大，均相差近13 cm，同時(shí)把原本不含粗差的其余12 條基線向量也認(rèn)定為含有粗差，沒能避免粗差的掩蓋和轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，探測(cè)效果非常差。

2）相關(guān)性IGG 法沒有探測(cè)到超限的基線觀測(cè)值，且在基線向量的Y方向上，其余原本不含粗差的基線向量改正數(shù)均受到不同程度的污染，基本失去抵抗粗差能力。

3）在此次粗差探測(cè)中，改進(jìn)的穩(wěn)健最小二乘估計(jì)法不僅成功定位到了含有粗差基線向量所在的位置，而且對(duì)粗差定值也非常準(zhǔn)確。然而丹麥法，huber 函數(shù)法也均較為準(zhǔn)確的探測(cè)到了粗差所在位置，但其平差所得單位權(quán)中誤差均不同程度地大于改進(jìn)后的單位權(quán)中誤差，即平差精度不如改進(jìn)后方法的精度高。

綜上，基于重復(fù)基線時(shí)，改進(jìn)后的方法無論從定位，定值還是平差精度等方面均優(yōu)于選權(quán)迭代法中的其他幾種方法。