基于云理論的電磁懸浮系統(tǒng)控制回路性能評(píng)估

倪 菲，王凡鑫，徐俊起，榮立軍，宋一鋒

（1.同濟(jì)大學(xué)國(guó)家磁浮交通工程技術(shù)研究中心，上海201804；2.同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201804；3.同濟(jì)大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，上海201804）

控制系統(tǒng)存在一個(gè)或多個(gè)控制回路，這些控制回路在運(yùn)行初期都表現(xiàn)出優(yōu)良的控制性能，但經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)作后，往往會(huì)出現(xiàn)過(guò)程和擾動(dòng)特性變化、傳感器和執(zhí)行器故障以及設(shè)備運(yùn)行出錯(cuò)等情況，導(dǎo)致控制回路運(yùn)行狀態(tài)不佳，甚至出現(xiàn)系統(tǒng)癱瘓的嚴(yán)重后果［1］。因此，針對(duì)控制回路進(jìn)行定期的維護(hù)和檢修是十分必要的，而有效維護(hù)的前提是實(shí)時(shí)掌握控制回路的運(yùn)行狀態(tài)。

1989年，Harris［2］應(yīng)用時(shí)序分析工具，根據(jù)單輸入單輸出系統(tǒng)的常規(guī)運(yùn)行數(shù)據(jù)得到反饋控制無(wú)關(guān)量的表達(dá)方法，并將其作為基準(zhǔn)評(píng)估控制回路性能，形成了控制回路性能監(jiān)控領(lǐng)域的新框架。此后，Harris評(píng)估方法被推廣到非最小相位與不穩(wěn)定極點(diǎn)系統(tǒng)以及多輸入多輸出系統(tǒng)，并且擴(kuò)展到頻域信號(hào)分析。其中，Grimble［3］鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與數(shù)據(jù)挖掘等人工智能方法處理非線性問題的優(yōu)勢(shì)，將廣義最小方差評(píng)估理論推廣到非線性系統(tǒng)；Harris等［4］利用NARMAX(nonlinear auto regressive moving average with xogenous inputs)模型對(duì)一類非線性動(dòng)態(tài)隨機(jī)系統(tǒng)建立了性能基準(zhǔn)。當(dāng)前研究的重點(diǎn)包括非線性或時(shí)變系統(tǒng)的控制性能指標(biāo)、突變下模型的有效性以及模型預(yù)測(cè)控制的性能監(jiān)控與評(píng)價(jià)等。

控制回路性能評(píng)估的基本思想是從閉環(huán)運(yùn)行的過(guò)程數(shù)據(jù)中提取性能度量指標(biāo)，對(duì)控制回路進(jìn)行診斷并提出改進(jìn)措施?？刂苹芈返男阅苤笜?biāo)主要包括3種類型，分別是確定性性能指標(biāo)、隨機(jī)性性能指標(biāo)和魯棒性性能指標(biāo)［5］。確定性性能指標(biāo)為關(guān)于控制回路動(dòng)態(tài)品質(zhì)的時(shí)域和頻域指標(biāo)，是一種傳統(tǒng)的控制回路性能評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。隨機(jī)性性能指標(biāo)主要描述控制回路性能的統(tǒng)計(jì)特征，利用實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)和少量模型先驗(yàn)知識(shí)來(lái)評(píng)估性能。由于運(yùn)行數(shù)據(jù)本身能夠反映現(xiàn)場(chǎng)噪聲情況，因此無(wú)需對(duì)控制回路實(shí)施擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)。魯棒性性能指標(biāo)則著重考慮控制回路在發(fā)生過(guò)程攝動(dòng)和模型失配條件下的穩(wěn)定性和品質(zhì)變化。一個(gè)好的控制回路不僅要對(duì)確定性和隨機(jī)性擾動(dòng)有良好的抑制能力，還應(yīng)具有應(yīng)對(duì)攝動(dòng)和失配的強(qiáng)魯棒性。

經(jīng)典隨機(jī)性評(píng)估方法起源于Harris提出的基于最小方差控制（MVC）的性能指標(biāo)［2］，并給出了“反饋不變項(xiàng)”，即無(wú)論控制器的參數(shù)如何調(diào)節(jié)，此部分的值都不會(huì)減少，也即控制器性能達(dá)到最優(yōu)時(shí)，系統(tǒng)所能達(dá)到的最小方差，并以此作為性能評(píng)估的基準(zhǔn)。然而，由于MVC的計(jì)算需要系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)，因此仍具有依賴數(shù)學(xué)模型的局限性。Gerry［6］提出以系統(tǒng)性能良好時(shí)的歷史運(yùn)行數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)；Yu等［7］以待測(cè)數(shù)據(jù)與歷史基準(zhǔn)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的行列式比值作為指標(biāo)評(píng)估了多變量控制回路性能；李晨［8］以協(xié)方差矩陣所代表的超橢球體相似度定義了性能指標(biāo)，相似度越大說(shuō)明與基準(zhǔn)性能的差距越??；Wu［9］引入Kullback-Leibler（KL）距離，利用KL距離量化監(jiān)視周期和基準(zhǔn)周期之間閉環(huán)輸出數(shù)據(jù)分布中的差異，定義了一種新型性能指標(biāo)；張光明等［10］和Xu等［11］引入馬氏距離來(lái)表征主元和誤差子空間的信息變化，從而實(shí)現(xiàn)性能評(píng)價(jià)。

Li等［12］于1998年針對(duì)模糊集合論中的隸屬函數(shù)提出了隸屬云的新思想，為云理論的發(fā)展奠定了基石。隨后，李德毅等［13］又在模糊集合論隸屬函數(shù)局限性的基礎(chǔ)上給出了隸屬云的定義及其數(shù)字特征，同時(shí)通過(guò)隸屬云發(fā)生器的數(shù)學(xué)模型探討了隸屬云發(fā)生器的實(shí)現(xiàn)技術(shù)和應(yīng)用場(chǎng)合。20世紀(jì)90年代初期，李德毅院士在傳統(tǒng)模糊數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上提出了定性定量互換模型，這標(biāo)志著云理論的誕生。云模型主要反映了概念的2種不確定性：即模糊性（邊界的亦此亦彼性）和隨機(jī)性（隸屬度的隨機(jī)性）。它將模糊性和隨機(jī)性有機(jī)地結(jié)合在起來(lái)，研究自然語(yǔ)言中最基本的語(yǔ)言值所蘊(yùn)含的不確定性的普遍規(guī)律，使得從語(yǔ)言值表達(dá)的定性信息中獲得定量數(shù)據(jù)的范圍和分布規(guī)律成為可能，也使得把精確數(shù)值有效轉(zhuǎn)換為恰當(dāng)?shù)亩ㄐ哉Z(yǔ)言值成為可能。近年來(lái)，云理論隨著云模型在不同領(lǐng)域的應(yīng)用而不斷完善［14-15］。

電磁懸浮系統(tǒng)作為磁浮列車的核心部件，是由懸浮控制器、斬波器、傳感器、電磁鐵等幾個(gè)部分組成的閉環(huán)控制回路［16-17］。其中，懸浮控制器和斬波器是構(gòu)成懸浮控制單元的主要部分。懸浮控制器根據(jù)懸浮間隙的給定值、懸浮間隙傳感器反饋的實(shí)際間隙值、加速度值以及電流傳感器反饋的經(jīng)過(guò)電磁鐵線圈的電流值，應(yīng)用控制策略計(jì)算輸出控制脈沖，控制斬波器開關(guān)管的通斷時(shí)間，從而調(diào)節(jié)懸浮電磁鐵的線圈電流大小，使得懸浮間隙能夠始終保持在額定值及其允許波動(dòng)范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)列車的穩(wěn)定懸?。?8-20］。在磁浮列車的運(yùn)行過(guò)程中，隨著時(shí)間的推移，由于外部擾動(dòng)、傳感器靈敏度下降等原因懸浮控制回路性能受到顯著影響。因此，電磁懸浮系統(tǒng)控制回路性能評(píng)估對(duì)保障磁浮列車安全、穩(wěn)定地運(yùn)行十分必要。

目前，針對(duì)電磁懸浮系統(tǒng)的性能分析，大量研究關(guān)注于系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性和運(yùn)行平穩(wěn)性。周又和等［21］根據(jù)磁浮車輛-軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，給出了采用Lyapunov特性指數(shù)判別動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)。洪華杰等［22］建立了簡(jiǎn)化的車-軌耦合系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，基于奈奎斯特穩(wěn)定性理論得到了車-軌耦合系統(tǒng)穩(wěn)定的充分性條件。黎松奇等［23］分析了常導(dǎo)電磁型磁浮車輛的動(dòng)力穩(wěn)定性，根據(jù)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定條件下模型系數(shù)之間的關(guān)系，給出了快速判斷穩(wěn)定性的判據(jù)。宋榮榮［24］利用模糊綜合評(píng)價(jià)方法建立懸浮控制器的評(píng)價(jià)模型，基于層次分析法將多指標(biāo)融合為一個(gè)單指標(biāo)形式。Sun等［25］提出了一種利用物聯(lián)網(wǎng)和自適應(yīng)模糊控制器實(shí)現(xiàn)中低速磁浮列車懸浮控制的新方法。上述研究?jī)?nèi)容著眼于特定干擾下能夠保障電磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的控制器設(shè)計(jì)，尚未涉及針對(duì)列車在運(yùn)行過(guò)程中控制回路工作性能的分析。Yu等［26］通過(guò)自定義指標(biāo)來(lái)量化懸浮系統(tǒng)在列車運(yùn)行過(guò)程中特征變量的波動(dòng)情況，從而反映懸浮品質(zhì)的變化，并利用支持向量機(jī)和聚類的方法評(píng)估不同工況下的系統(tǒng)性能，但該方法未考慮多變量之間的相關(guān)性，并且未提出一個(gè)整體的性能指標(biāo)。Song等［27］首次將控制回路性能評(píng)估領(lǐng)域2種常用經(jīng)典指標(biāo)體系引入電磁懸浮系統(tǒng)，并基于磁浮列車運(yùn)行的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)下的控制回路性能評(píng)估。

針對(duì)當(dāng)前電磁懸浮系統(tǒng)控制回路性能評(píng)估面臨的主要問題，采用隨機(jī)性性能指標(biāo)進(jìn)行控制回路的性能評(píng)估，根據(jù)運(yùn)行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征，分析控制回路的工作狀態(tài)，開展多變量控制系統(tǒng)的性能評(píng)估。

1 電磁懸浮系統(tǒng)

常導(dǎo)電磁型磁浮車輛由若干個(gè)懸浮點(diǎn)支撐，如圖1所示。每個(gè)懸浮點(diǎn)實(shí)質(zhì)為由懸浮架、軌道和懸浮控制器構(gòu)成的懸浮控制系統(tǒng)，直接影響著列車運(yùn)行的穩(wěn)定性和舒適性。

圖1 磁浮車輛懸浮系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of suspension system for maglev vehicles

電磁鐵與車輛上的懸浮架連通，通過(guò)輸入的勵(lì)磁電流或電壓與軌道產(chǎn)生電磁感應(yīng)，為車輛提供向上的懸浮力，從而使車輛與軌道之間保持一定的懸浮間隙。當(dāng)懸浮間隙變大時(shí)，電磁鐵所提供的電磁力減??；當(dāng)電磁力不足以支撐車輛重力時(shí)，將發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。因此，懸浮系統(tǒng)是開環(huán)非自穩(wěn)系統(tǒng)，需要由懸浮控制器構(gòu)成閉環(huán)控制回路加以調(diào)節(jié)，只有電磁力與重力的動(dòng)態(tài)平衡才能夠維持磁浮車輛的穩(wěn)定懸浮。

懸浮控制器通過(guò)傳感器反饋的間隙、電磁鐵電流、垂向加速度等信號(hào)對(duì)車輛和軌道之間的間隙進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，使其圍繞在期望間隙值附近，實(shí)現(xiàn)磁浮車輛穩(wěn)定懸浮。單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)控制回路示意圖如圖2所示，中低速磁浮車輛懸浮系統(tǒng)的典型配置結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖2 單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)控制回路示意圖Fig.2 Schematic diagram of control loop for singlepoint suspension system

圖3 中低速磁浮車輛懸浮系統(tǒng)典型配置結(jié)構(gòu)Fig.3 Typical configuration structure of suspension system for medium-low speed maglev vehicles

2 經(jīng)典性能評(píng)估指標(biāo)

2.1 行列式指標(biāo)

協(xié)方差矩陣作為多元隨機(jī)變量的關(guān)系度量之一，其對(duì)角線元素為每個(gè)隨機(jī)變量的方差，非對(duì)角線元素為2個(gè)變量的協(xié)方差，表征變量之間的相關(guān)性。文獻(xiàn)［7］提出一種行列式指標(biāo)，以監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)與基準(zhǔn)數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的行列式比值作為指標(biāo)來(lái)評(píng)估多變量控制回路性能。

基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段指一段控制性能良好的歷史階段，記為階段Ⅰ，將監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段記為階段Ⅱ。記Cov(yⅠ)和Cov(yⅡ)為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段和監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段的協(xié)方差矩陣。針對(duì)n元隨機(jī)變量，可得到n×n維協(xié)方差矩陣，分別對(duì)其進(jìn)行特征值分解，可得

式中：Q和U是n×n維的正交矩陣，分別包含矩陣Cov(yⅠ)和 Cov(yⅡ)的特征向量；ΛⅠ=(λ1，Ⅰ，λ2，Ⅰ，…，λn，Ⅰ)T和ΛⅡ=(λ1，Ⅱ，λ2，Ⅱ，…，λn，Ⅱ)T均為對(duì)角陣，其對(duì)角線元素為相應(yīng)的特征值。行列式指標(biāo)IV［10］如下所示：

式中：|·|表示行列式算子。從幾何意義上講，在假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的前提下，協(xié)方差矩陣可對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)空間中的超橢球體，其行列式的值表征超橢球體體積的大小。理想情況下，控制回路工作過(guò)程中各變量的穩(wěn)態(tài)值為常數(shù)，在數(shù)據(jù)空間中對(duì)應(yīng)n維空間中的一個(gè)點(diǎn)。實(shí)際工況中存在擾動(dòng)，變量值存在波動(dòng)，因此n維空間中的點(diǎn)擴(kuò)散為超橢球體，隨著超橢球體體積的增大，控制回路的性能逐步降低。

2.2 相似度指標(biāo)

文獻(xiàn)［8］針對(duì)行列式指標(biāo)的局限性，利用Karhunen-Loeve（KL）變換設(shè)計(jì)了基于協(xié)方差矩陣的相似度指標(biāo)ID，通過(guò)不同協(xié)方差矩陣所對(duì)應(yīng)的超橢球體之間的相似度來(lái)表示系統(tǒng)性能是否發(fā)生了變化，計(jì)算式如下所示：

式中：λi，I和λi，II分別為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段和監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段經(jīng)過(guò)KL變換的協(xié)方差矩陣所對(duì)應(yīng)的特征根，具有如下性質(zhì)：

式中：vi，Ⅰ和vi，Ⅱ分別為相應(yīng)的特征向量。式（4）表明2個(gè)階段KL轉(zhuǎn)換后的協(xié)方差矩陣具有相同的特征向量，若兩者的特征值也相近，即λi，Ⅰ和λi，Ⅱ的值都在0.5附近，則監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段的數(shù)據(jù)空間分布與基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段的數(shù)據(jù)空間分布相似，意味著監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段接近基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段的性能；若特征值的取值接近0或1，則意味著實(shí)際控制性能與基準(zhǔn)性能相比發(fā)生了顯著變化。

2.3 歐式距離指標(biāo)

對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行基于距離指標(biāo)的性能評(píng)估實(shí)質(zhì)為對(duì)系統(tǒng)變量所構(gòu)成的多維空間中數(shù)據(jù)分布進(jìn)行度量。系統(tǒng)性能良好時(shí)表現(xiàn)為一個(gè)包裹理想中心點(diǎn)的緊實(shí)體，隨著性能下降，數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離中心點(diǎn)的距離增大，呈現(xiàn)出數(shù)據(jù)分散的狀態(tài)。

歐式距離指標(biāo)是通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)空間中每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離加權(quán)平均值來(lái)比較不同控制階段的性能變化差異，定義如下所示：

式中：IW為歐式距離指標(biāo)；dⅠ和dⅡ分別為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段和監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段數(shù)據(jù)空間的平均歐式距離。平均歐式距離d的計(jì)算式如下所示：

式中：l為監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；xij為第i個(gè)變量第j個(gè)樣本點(diǎn)的取值；xi0為第i個(gè)變量的理想值。

3 云理論

3.1 基本概念

設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C是與U相關(guān)聯(lián)的定性概念，如果定量值x∈U，且x是定性概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，則x對(duì)C的隸屬度μ（x）∈［0，1］是具有一定規(guī)律的模糊數(shù)或隨機(jī)數(shù)，表達(dá)式如下所示：

那么，x在U上的分布稱為云，記為C（x）。x與隸屬度μ（x）的組合稱為云滴，記為drop（x，μ（x））。

云滴構(gòu)成云，云滴是定性概念在數(shù)量上的實(shí)現(xiàn)。云滴的數(shù)量越大，定性概念的整體特征就越能夠得到體現(xiàn)。云的數(shù)字特征可以反映概念的整體特征，常用期望Ex、熵En和超熵He這3個(gè)變量來(lái)表征，如圖4所示。

圖4 云模型及其數(shù)字特征Fig.4 Cloud model and its digital characteristics

云模型通過(guò)3個(gè)基本數(shù)字特征把概念的模糊性和隸屬度的隨機(jī)性完整地表現(xiàn)出來(lái)，實(shí)現(xiàn)了定性與定量的轉(zhuǎn)變，因此也記為C（Ex，En，He）。

（1）期望Ex表示云滴在論域空間分布的期望，它是論域空間的中心值，是最能夠代表定性概念的點(diǎn)，即概念量化最典型的樣本。

（2）熵En表示定性概念的模糊性和隨機(jī)性，可以反映此定性概念云滴的離散程度，以及在論域空間中可被定性概念接受的云滴的取值范圍。

（3）超熵He表示熵的不確定性度量，取決于熵的模糊性和隨機(jī)性。

3.2 云模型

模糊集合理論研究的是被控對(duì)象的模糊性，概率理論研究的是被控對(duì)象的隨機(jī)性，云模型重點(diǎn)考慮由模糊性和隨機(jī)性的關(guān)聯(lián)性建立起來(lái)的定性轉(zhuǎn)換模型。從中心極限理論角度，如果決定某一隨機(jī)變量結(jié)果的是大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素之和，并且每一因素的單獨(dú)作用相對(duì)均勻的小，沒有一種因素可起到壓倒性的主導(dǎo)作用，那么這個(gè)隨機(jī)變量一般近似于正態(tài)分布［28］。

正態(tài)云的普遍適用性是建立在鐘形隸屬函數(shù)和正態(tài)分布的普遍適應(yīng)性基礎(chǔ)上的，是最重要的一種云模型［13］。設(shè)U是一個(gè)定量論域，用精確數(shù)值表示，C是U上的定性概念，定量值x∈U，同時(shí)x是定性概念C的隨機(jī)實(shí)現(xiàn)。如果x～N(Ex，En′2)，其 中En′～N(En，He2)，同時(shí)x對(duì)C的隸屬度滿足下式：

那么，x在U上的分布稱為正態(tài)云。

根據(jù)正態(tài)云的“3En規(guī)則”，位于區(qū)間［Ex-0.67En，Ex+0.67En］的那些元素，占全部定量值的22.33%，它們對(duì)定性概念的貢獻(xiàn)占總貢獻(xiàn)的50%，這部分元素稱為“骨干元素”；位于區(qū)間［Ex-En，Ex+En］的那些元素，占全部元素的33.33%，它們對(duì)定性概念的貢獻(xiàn)占總貢獻(xiàn)的68.26%，這部分元素稱為“基本元素”；位于區(qū)間［Ex-2En，Ex-En］和［Ex+En，Ex+2En］的那些元素，占全部元素的33.33%，它們對(duì)定性概念的貢獻(xiàn)占總貢獻(xiàn)的27.18%，這部分元素稱為“外圍元素”；位于區(qū)間［Ex-3En，Ex-2En］和［Ex+3En，Ex+2En］的那些元素，占全部元素 的33.33%，它們對(duì)定性概念的貢獻(xiàn)占總貢獻(xiàn)的4.56%，這部分元素稱為“弱外圍元素”。

由正態(tài)云的數(shù)字特征產(chǎn)生云滴，即實(shí)現(xiàn)從定性到定量的轉(zhuǎn)換，稱為正向云發(fā)生器。與正向云生成算法相反，給定一組云滴作為標(biāo)本（xi，μi），產(chǎn)生定性概念的3個(gè)數(shù)字特征值（Ex，En，He），實(shí)現(xiàn)的是從定量到定性的轉(zhuǎn)換，稱為逆向云發(fā)生器。逆向云發(fā)生器算法是一種統(tǒng)計(jì)方法，得到的數(shù)字特征值是一種估計(jì)值。

3.3 云模型的相似度

目前，常用的相似度度量方法主要有云滴對(duì)比法、夾角余弦法、期望曲線法和最大邊界曲線法等［12］。云滴對(duì)比法需要對(duì)云滴進(jìn)行選取、排序、組合及逐個(gè)對(duì)比，當(dāng)云滴數(shù)較多時(shí)，計(jì)算量非常大。夾角余弦法將數(shù)字特征作為向量，然后利用夾角余弦來(lái)得到云模型的相似度，當(dāng)云模型的期望Ex遠(yuǎn)大于熵En和超熵He時(shí)，易忽略En和He2個(gè)數(shù)字特征的作用。期望曲線法和最大邊界曲線法利用不同云的相交面積進(jìn)行相似度計(jì)算，由于考慮了En和He的作用，因此在精度和計(jì)算時(shí)間上比前2種方法更有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于正態(tài)云，基于期望曲線（ECM）來(lái)計(jì)算相應(yīng)面積度量云之間的相似性，算法效果好，因此選取期望曲線法進(jìn)行綜合指標(biāo)云和評(píng)價(jià)云的相似度度量。

稱為U上正態(tài)云C（Ex，En，He）的期望曲線。由于所有的云滴都隨機(jī)地圍繞在正態(tài)云期望曲線這條“骨架”附近，期望曲線很好地反映了正態(tài)云的總體特征，因此可以通過(guò)求解2個(gè)云模型的期望曲線相交重疊部分的面積來(lái)表示2個(gè)云模型的相似程度。

假設(shè)2個(gè)正態(tài)云C1（Ex1，En1，He1）、C2（Ex2，En2，He2）的期望曲線為

若 兩 曲 線 相 交，且 交 點(diǎn) 為x1，0、x2，0，則z1(x1，0)=z2(x2，0)，那么可以計(jì)算得到

不妨設(shè)Ex1≤Ex2，則這2個(gè)云模型的期望曲線的空間關(guān)系有以下3種：

（1）若x1，0、x2，0同時(shí)落在區(qū)間［Ex2-3En2，Ex1+3En1］外，則2個(gè)交點(diǎn)之間的云滴可以忽略，即相交面積S=0。

（2）若x1，0、x2，0有一個(gè)點(diǎn)落在區(qū)間［Ex2-3En2，Ex1+3En1］中，則相交面積S由兩部分組成，即S=s1+s2。

（3）若x1，0、x2，0同時(shí)落在區(qū)間［Ex2-3En2，Ex1+3En1］中，則相交面積S由3部分組成，即S=s1+s2+s3。s1、s2、s3的計(jì)算式如下所示：

式中：f（x）為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。

在相交面積S的基礎(chǔ)上，最終可以得到基于期望曲線的云模型相似度，表達(dá)式如下所示：

基于正態(tài)云期望曲線的相似性計(jì)算方法考慮了云模型的前2個(gè)數(shù)字特征，從云模型的期望位置和跨度2個(gè)方面來(lái)比較不同正態(tài)云的相似性。

3.4 基于云理論的控制回路性能評(píng)估

與傳統(tǒng)的評(píng)估算法類似，基于云理論的控制回路性能評(píng)估的整體思路是：首先確立作為對(duì)照的標(biāo)準(zhǔn)，然后利用現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)變換處理與標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比，最后判斷當(dāng)前系統(tǒng)的運(yùn)行狀況。評(píng)估流程的主要步驟為：

步驟一建立標(biāo)準(zhǔn)云Cs（Exs，Ens，Hes）。

步驟二確定待測(cè)云Ct（Ext，Ent，Het）。

步驟三計(jì)算待測(cè)云與標(biāo)準(zhǔn)云的相似度ECM（Cs，Ct）。

步驟四根據(jù)相似度比較控制回路的性能IC=ECM（Cs，Ct）。

4 仿真與分析

為測(cè)試上述指標(biāo)對(duì)電磁懸浮系統(tǒng)控制回路性能評(píng)估的有效性，以單點(diǎn)懸浮系統(tǒng)為研究對(duì)象，選取懸浮間隙、垂向加速度、輸入電流進(jìn)行數(shù)值仿真與分析。

采用磁浮列車實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)，對(duì)電磁懸浮系統(tǒng)在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中的性能進(jìn)行評(píng)估。圖5為列車在某次運(yùn)行中懸浮系統(tǒng)1的懸浮間隙、輸入電流、垂向加速度的過(guò)程數(shù)據(jù)，作為待評(píng)估數(shù)據(jù)。將此次全程運(yùn)行數(shù)據(jù)以5 min為一個(gè)階段，劃分為9個(gè)階段（0～45 min）?？梢园l(fā)現(xiàn)，列車在5～10 min發(fā)生瞬時(shí)失穩(wěn)，在40～45 min發(fā)生持續(xù)失穩(wěn)，其他時(shí)刻表現(xiàn)為不等幅度的波動(dòng)。

4.1 性能評(píng)估基準(zhǔn)

對(duì)電磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行控制回路性能評(píng)估的首要任務(wù)是選取評(píng)估基準(zhǔn)。圖6為選取的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段歷史數(shù)據(jù)，包括懸浮間隙、輸入電流和垂向加速度，采樣間隔為0.1 s，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)2 400 s（40 min）。由圖6可見，最后8 min的記錄數(shù)據(jù)波動(dòng)相對(duì)較小，因此選取該階段數(shù)據(jù)為性能評(píng)估的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)。

采用逆向云發(fā)生器，還可以得到基準(zhǔn)數(shù)據(jù)的云模型，其數(shù)字特征如表1所示。

表1 懸浮系統(tǒng)在基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段的云模型數(shù)字特征Tab.1 Digital characteristics of cloud model for suspension system during baseline data phase

4.2 經(jīng)典指標(biāo)下的性能評(píng)估

基于如圖6所示的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，懸浮系統(tǒng)1在運(yùn)行全過(guò)程中各指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果如表2所示。由理論分析可知，行列式指標(biāo)與歐式距離指標(biāo)對(duì)性能評(píng)估的規(guī)則一致，均是當(dāng)指標(biāo)顯著小于1時(shí)，表示監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)階段性能比基準(zhǔn)差，而針對(duì)相似度指標(biāo)，其值趨于1時(shí)，表示監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)性能接近基準(zhǔn)，反之則監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)性能與基準(zhǔn)相比發(fā)生顯著變化。由于表2中3類指標(biāo)值均顯著小于1，說(shuō)明3類指標(biāo)所表征的性能評(píng)估結(jié)果是準(zhǔn)確的，與實(shí)際情況相符。

圖6 懸浮系統(tǒng)在基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.6 Measured data of suspension system during baseline data phase

表2 3類指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results of three types of indicators

為進(jìn)一步對(duì)比各指標(biāo)針對(duì)電磁懸浮系統(tǒng)控制回路性能評(píng)估的可行性，對(duì)磁浮列車在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中的性能進(jìn)行分段評(píng)估。以如圖6所示的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)階段為參照，各階段的性能評(píng)估結(jié)果如圖7所示?？傮w來(lái)看，相似度指標(biāo)ID的評(píng)估效果最差，各階段的指標(biāo)值基本在一條水平線上，無(wú)法有效區(qū)分控制回路的不同狀態(tài)。行列式指標(biāo)IV與歐式距離指標(biāo)IW均表現(xiàn)為階段5和階段8的控制性能較優(yōu)，其中階段8的控制性能最優(yōu)，與圖5中階段8的數(shù)據(jù)波動(dòng)最小相對(duì)應(yīng)，同時(shí)兩者均反映出發(fā)生持續(xù)失穩(wěn)的階段9的控制性能最差。然而，針對(duì)發(fā)生瞬時(shí)失穩(wěn)的階段2，IV與IW表現(xiàn)出優(yōu)越性，而指標(biāo)IW在階段2的值與鄰近階段在同一水平。

圖7 懸浮系統(tǒng)1在不同運(yùn)行階段的經(jīng)典性能評(píng)估Fig.7 Classical performance evaluation of suspension system 1 at different sections

綜上，3類指標(biāo)對(duì)電磁懸浮系統(tǒng)控制回路的性能評(píng)估效果參差不一，相似度指標(biāo)ID表現(xiàn)最差，無(wú)法區(qū)分控制性能的好壞，行列式指標(biāo)IV與歐式距離指標(biāo)IW稍好，能夠有效評(píng)估性能。然而，經(jīng)典指標(biāo)下的控制性能評(píng)估不能很好地區(qū)分回路中引起性能下降的因素，并且針對(duì)數(shù)據(jù)集99.74%之外的采樣點(diǎn)需要額外進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。為克服以上方法的不足，引入基于云理論的性能評(píng)估。

4.3 基于云理論的性能評(píng)估

4.3.1 單個(gè)懸浮控制回路在不同運(yùn)行階段的性能評(píng)估

基于如圖5所示的運(yùn)行過(guò)程數(shù)據(jù)，可得到如圖8～10所示的各運(yùn)行時(shí)段性能的可視化結(jié)果。為便于對(duì)比，對(duì)每個(gè)子圖進(jìn)行了統(tǒng)一坐標(biāo)處理。從圖8可以看出，階段8的云模型中云滴凝聚抱合程度最高，可以認(rèn)為表現(xiàn)最為出色，階段9最差，階段2次之。從圖9可以看出，階段8的云模型性能較好，階段2最差，階段9次之。從圖10可以看出，階段8的云模型性能最好，階段9最差，階段2次之。

圖9 懸浮系統(tǒng)1的垂向加速度在不同運(yùn)行階段的云模型Fig.9 Cloud model of suspension system 1 in terms of acceleration at different sections

圖10 懸浮系統(tǒng)1的輸入電流在不同運(yùn)行階段的云模型Fig.10 Cloud model of suspension system 1 in terms of input current at different sections

為便于定量研究基于云理論的評(píng)估性能指標(biāo)，表3～5分別列出了與圖8～10相對(duì)應(yīng)的云模型數(shù)字特征及與標(biāo)準(zhǔn)云模型的相似度。IC=ECM，那么IC的數(shù)值越大，則該運(yùn)行階段的系統(tǒng)狀況越接近基準(zhǔn)狀態(tài)，也即性能越優(yōu)。

綜上，從圖8～10和表3～5可以看出，云模型的可視化效果與基于數(shù)字特征的相似度指標(biāo)高度吻合，可以從2種角度來(lái)評(píng)價(jià)懸浮系統(tǒng)控制回路的性能。

表3 懸浮系統(tǒng)1的懸浮間隙在不同運(yùn)行階段的云模型數(shù)字特征Tab.3 Digital characteristics of cloud model for suspension system 1 in terms of air gap at different sections

4.3.2 不同懸浮控制回路在同一運(yùn)行階段的性能評(píng)估

為比較同一運(yùn)行階段不同懸浮系統(tǒng)控制回路的性能，提取列車運(yùn)行過(guò)程中所有懸浮系統(tǒng)在全程或不同運(yùn)行階段的過(guò)程數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行基于云模型的性能評(píng)估。以第1～4個(gè)懸浮控制回路的懸浮間隙為例，圖11展示了懸浮間隙在同一運(yùn)行階段（階段6）的云模型。

由圖11可見，第2、4懸浮系統(tǒng)的云滴凝聚抱合程度較高，說(shuō)明在階段6第2、4懸浮系統(tǒng)控制回路相比第1、3控制回路表現(xiàn)出了更好的性能。

5 結(jié)語(yǔ)

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的電磁懸浮系統(tǒng)控制回路性能評(píng)估方法，對(duì)磁浮列車運(yùn)行過(guò)程中的性能監(jiān)測(cè)、評(píng)估與診斷具有重要意義。借鑒控制回路性能評(píng)估領(lǐng)域的經(jīng)典性能評(píng)估指標(biāo)以及基于云模型的相似度指標(biāo)，采用實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行了仿真。結(jié)果表明，基于云模型的相似度指標(biāo)能夠有效評(píng)估控制回路的性能，并且與傳統(tǒng)評(píng)估指標(biāo)相比更具有優(yōu)勢(shì)。此外，基于多變量系統(tǒng)的特點(diǎn)，對(duì)同一懸浮系統(tǒng)在不同運(yùn)行階段和不同懸浮系統(tǒng)在同一運(yùn)行階段分別進(jìn)行了橫向和縱向的性能可視化評(píng)估，便于快速鎖定造成控制性能下降或提升的對(duì)象范圍。

選取多變量控制系統(tǒng)的多個(gè)特征變量構(gòu)成多維數(shù)據(jù)空間，基于多維空間數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征應(yīng)用云理論對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行了整體評(píng)估，并通過(guò)數(shù)值仿真證明了其有效性。下一步的研究工作可將多個(gè)低維云聚合成為一個(gè)多維云，從而將系統(tǒng)性能評(píng)估的問題轉(zhuǎn)化成高維云相似度比較的問題。