基于向量式有限元法的磁浮列車磁力耦合系統(tǒng)建模與數(shù)值分析

孫友剛，徐俊起，王素梅，袁 野，倪一清

（1.同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804；2.同濟(jì)大學(xué)國家磁浮交通工程技術(shù)研究中心，上海201804；3.香港理工大學(xué)國家軌道交通電氣化與自動化工程技術(shù)研究中心香港分中心，香港999077；4.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212036）

電磁懸?。‥MS）型磁浮列車是一種新型軌道交通工具，具有無接觸、無摩擦、噪聲低、易維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)［1-3］。近年來，我國磁浮交通尤其是低速磁浮交通得到迅猛發(fā)展，但在大規(guī)模商業(yè)化前，磁浮交通技術(shù)仍存在諸多亟待解決的問題，如磁浮控制系統(tǒng)可靠性、磁浮車輛的承載力、車-軌耦合作用機(jī)理等［4-5］。其中，磁浮列車的車-軌耦合模型如何更加準(zhǔn)確地反映磁浮交通的特征和機(jī)理，一直困擾著磁浮技術(shù)專家和工程師。磁浮交通的軌道梁多為高架結(jié)構(gòu)，目前大部分磁浮車-軌耦合建模方法要么忽略或簡化非線性項(xiàng)，電磁力線性化后類似彈簧阻尼器（失去本質(zhì)特征），要么只建立在軌道梁某個位置的靜態(tài)懸?。ú荒芊从沉熊囁俣扔绊懀?。因此，亟需研究由可控電磁力無接觸耦合的車-軌動力學(xué)機(jī)理，建立反映不同速度下車輛和軌道垂向運(yùn)行動態(tài)特性的計(jì)算模型。

在早期磁浮列車動態(tài)特性研究中，將磁浮列車簡化為軌道上的一個移動力［6］或者移動質(zhì)量［7］，但是這樣的模型無法反映車輛的動力學(xué)行為。翟婉明等［8］和趙春發(fā)等［9］同時考慮車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)，提出了用彈簧阻尼器替代多電磁鐵磁浮的車-軌耦合模型。然而，將電磁力簡化為彈簧阻尼器雖然提高了計(jì)算效率，但是不能完全反映電磁力的非線性特征。Yau［10］考慮比例-積分（PI）控制器下的非線性電磁力，將磁浮列車簡化為一系列考慮二系懸掛系統(tǒng)的二自由振子模型，其中軌道被簡化為單跨的歐拉梁。每個振子間沒有任何連接，并且不能研究車輛的點(diǎn)頭等運(yùn)動狀態(tài)。Han等［11］提出了一種基于多體動力學(xué)的磁浮車輛動力學(xué)模型，該模型考慮了分段開關(guān)軌道的靈活性。利用所建立的分析模型，進(jìn)行了中低速下懸浮穩(wěn)定性和安全性的仿真研究。Han等［12］基于多體動力學(xué)開發(fā)了EMS型磁浮列車系統(tǒng)集成模型，分析了列車沿曲線運(yùn)行時側(cè)風(fēng)的影響和橫向阻尼器的影響。Zhang等［13］設(shè)計(jì)了低動力作用下的新型中低速磁浮列車懸浮架，并進(jìn)行了動力學(xué)數(shù)值仿真驗(yàn)證。對于電磁力控制環(huán)節(jié)仿真，采用了簡化的線性磁力控制模型。Sun等［14］建立了EMS型磁浮列車的車-軌耦合動力學(xué)模型，研究了車-軌耦合共振的發(fā)生機(jī)理，但是未考慮動態(tài)跑車過程。近些年，學(xué)者們［15-16］利用成熟的商業(yè)有限元軟件進(jìn)行軌道建模，再聯(lián)合其他軟件模塊組成聯(lián)合仿真模型，大大提高了精確度，但是大量的網(wǎng)格和多個軟件成本增大了計(jì)算負(fù)擔(dān)和花費(fèi)，并且無法提供數(shù)學(xué)模型給控制器設(shè)計(jì)使用。

綜上，EMS型磁浮列車系統(tǒng)的車-軌動力學(xué)耦合機(jī)理和模型研究已取得較大進(jìn)展，但是對不同速度和電磁力非線性共同作用下的動態(tài)跑車過程仍然研究不足。就磁浮車輛行駛在橋梁上的運(yùn)動而言，涉及到2個子系統(tǒng)的相互耦合問題，而且這種耦合行為會隨著時間的變化而改變。簡化的模型不能完全反映耦合特性，而傳統(tǒng)有限元在分析磁浮列車車-橋的動力耦合行為時計(jì)算又非常耗時。向量式有限元法是以向量式力學(xué)為基礎(chǔ)的新型有限元計(jì)算方法。該方法通過數(shù)值計(jì)算的方式來準(zhǔn)確預(yù)測和分析結(jié)構(gòu)的真實(shí)運(yùn)動行為，還可以用來分析大變形、大變位、斷裂、多體運(yùn)動等復(fù)雜行為。采用點(diǎn)值描述的方式，將連續(xù)結(jié)構(gòu)體以一組有限的質(zhì)點(diǎn)來描述，每個質(zhì)點(diǎn)可以獨(dú)立且并行計(jì)算，故該方法可以用來分析多個運(yùn)動變形體的相互作用?；诖耍瑢⑾蛄渴接邢拊ㄗ鳛橐环N更加簡單高效的計(jì)算方法進(jìn)行磁浮列車車-橋耦合作用分析。

針對上述問題，首先推導(dǎo)出磁浮列車的磁力耦合模型，其中高架軌道模型采用向量式有限元法。然后，以梁的跨中位移、梁端轉(zhuǎn)角、振動加速度以及懸浮間隙偏差為重要指標(biāo)，對不同車速下的磁浮列車動態(tài)通過軌道梁的過程進(jìn)行仿真分析。最后，利用上海臨港中低速磁浮基地的全尺寸試驗(yàn)樣車，對該建模方法的準(zhǔn)確性和有效性進(jìn)行初步驗(yàn)證。

1 磁浮列車磁力耦合模型

以向量式有限元法進(jìn)行車-橋動力學(xué)分析時，可采用點(diǎn)值描述法將車輛和橋梁用一組質(zhì)點(diǎn)表示，每個質(zhì)點(diǎn)均滿足牛頓第二定律。作用在車輛上的外力以及作用在橋梁上的外力為懸浮力的作用力和反作用力，施加在橋梁上每個質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力可以由梁單元的逆向運(yùn)動得到。

如圖1所示，一節(jié)磁浮列車以勻速v行駛在簡支梁上。車體由1個車廂、5個懸浮架組成。每個懸浮架有2個電磁鐵模塊（左右各1個），每個模塊由4個電磁鐵線圈構(gòu)成。左右模塊相同位置的每2個電磁鐵線圈的電磁力簡化為一個集中懸浮力。為了用向量式有限元法模擬車-橋系統(tǒng)，對于車輛模型采用多體車輛有限元模型，對于橋梁采用向量式有限元梁單元模擬。在建模前，作出如下合理假設(shè)：①只考慮二維的車-橋模型，忽略磁浮車輛的縱向運(yùn)動（縱向?yàn)榇怪庇谥亓蛙壍乐行木€的豎直平面方向）；②橋梁采用歐拉-伯努利梁來表示，橋梁的截面均勻。將橋梁離散成一組有質(zhì)量的點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間用無質(zhì)量的單元連接。

1.1 車體運(yùn)動方程

在如圖1所示的車-橋模型中，F(xiàn)ij（i=1，…，5，j=1，…，4）為電磁鐵產(chǎn)生的懸浮力，mc為車廂質(zhì)量，mbi(i=1，…，5)為懸浮架質(zhì)量，zbi為每個懸浮架質(zhì)心垂向位移，θbi為每個懸浮架轉(zhuǎn)動角度，zc為車廂質(zhì)心垂向位移，θc為車廂轉(zhuǎn)動角度，lm為2個懸浮架中心距離，lb為懸浮架質(zhì)心與空氣彈簧的距離，ln（n=1，…，10）為車廂質(zhì)心到每個空氣彈簧的距離，cc為空氣彈簧阻尼，kc為空氣彈簧剛度，Jc為車廂轉(zhuǎn)動慣量，Jbi為懸浮架轉(zhuǎn)動慣量。由上述模型可以得到車體的運(yùn)動方程，如下所示：

圖1 磁浮列車通過多跨簡支梁Fig.1 Maglev train passing through multi-span simply supported beam

1.2 可控電磁力模型

對于磁浮列車的懸浮控制，采用雙環(huán)控制，并取得了成功應(yīng)用［17］。因?yàn)閿夭ㄆ鞯某晒?yīng)用，所以這里只設(shè)計(jì)電流環(huán)。采用經(jīng)典的比例-微分（PD）控制器，懸浮力F計(jì)算式如下所示：

式中：Ke為電磁力常數(shù)；Kp為比例項(xiàng)系數(shù)；Kd為微分項(xiàng)系數(shù)；h為實(shí)時懸浮間隙；h0為理想懸浮間隙；I0為平衡電流。

1.3 軌道梁運(yùn)動方程

對軌道梁作以下假設(shè)：

（1）軌道梁看作是無限長的歐拉-伯努利梁。

（2）軌道扣件與橋梁之間采用剛性阻尼連接，如圖2所示。

圖2 軌-橋計(jì)算簡圖Fig.2 Schematic diagram of rail-bridge calculation

軌道和橋梁模型均采用向量式點(diǎn)值描述，每個點(diǎn)滿足牛頓第二定律，而作用在軌道和橋梁上的每個質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力可以采用向量式梁單元求得。依據(jù)向量式理論，橋梁可采用一組質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行模擬，相鄰質(zhì)點(diǎn)之間采用向量式梁單元連接，每個質(zhì)點(diǎn)均滿足牛頓第二定律，即：

對于作用在橋梁質(zhì)點(diǎn)上的內(nèi)力，可采用向量式梁單元理論中的逆向運(yùn)動進(jìn)行求解。向量式有限元法的梁理論是采用點(diǎn)值描述的方法來描述梁受力后其位置的變化，以途徑單元將梁的變形簡化成每個途徑單元內(nèi)的小變形，這樣梁的內(nèi)力就可采用材料力學(xué)的公式來計(jì)算；為了得到節(jié)點(diǎn)位移中連接單元的純變形，可將當(dāng)前時刻梁的構(gòu)型（1t-2t）做一個虛擬的逆向運(yùn)動（1d-2d），如圖3所示。此逆向運(yùn)動包括逆向平動位移（-u1）和逆向轉(zhuǎn)動位移-θ。通過梁的虛擬逆向運(yùn)動，將剛體運(yùn)動從全位移中分離，以便得到梁的純變形，即

圖3 梁單元的逆向運(yùn)動Fig.3 Reverse motion of beam element

式中：Δe、θ1、θ2分別為軸向純變形、梁單元節(jié)點(diǎn)1和2的純轉(zhuǎn)動位移；lt和la分別為梁單元的當(dāng)前時刻（1t-2t）和初始時刻（1a-2a）的單元長度；（β1t，β2t）和（β1a，β2a）分別為節(jié)點(diǎn)1和2在當(dāng)前時刻和初始時刻的轉(zhuǎn)動位移。

在得到梁單元的節(jié)點(diǎn)變形后，可采用一組內(nèi)插函數(shù)來計(jì)算梁單元上任一點(diǎn)的變形，此插值函數(shù)即變形函數(shù)。在求得梁單元上每一點(diǎn)的變形后，根據(jù)節(jié)點(diǎn)內(nèi)力平衡和節(jié)點(diǎn)變形所產(chǎn)生的虛功與梁單元的變形虛功相等的條件，即可求得梁單元的內(nèi)力。

軌道梁上列車范圍內(nèi)的外力P僅包括軌道與懸浮架之間的懸浮力，即：

式中：F懸為懸浮力?？梢岳弥行牟罘址ㄇ蠼廛囕v和橋梁的微分方程［18-19］，表達(dá)式如下所示：

式中：a0和a1為阻尼因子；C1=a0h+2和C2=a0h-2分別為與阻尼因子a0有關(guān)的阻尼系數(shù)；Xα，-1、Xα，0、Xα，n、Xα，n-1和Xα，n+1分別是-1時刻、初始時刻、n時刻、（n-1）時刻和（n+1）時刻的位移矩陣；Fα，0，ext和Fα，n，ext分別是初始時刻和n時刻的外力矩陣；Fα，0，int、Fα，n-1，int和Fα，n，int分別是初始時刻、（n-1）時刻和n時刻的內(nèi)力矩陣。

2 數(shù)值仿真與分析

根據(jù)所提出的磁浮列車磁力耦合模型，通過數(shù)值仿真來研究該方法的有效性和相關(guān)規(guī)律。工況為一節(jié)磁浮列車分別以60 km·h-1、80 km·h-1和100 km·h-1的速度通過五跨的簡支軌道梁。每跨軌道梁之間有簡支梁跨端結(jié)構(gòu)縫。磁浮系統(tǒng)相關(guān)仿真參數(shù)的取值如表1和表2所示。

表1 歐拉-伯努利梁參數(shù)Tab.1 Parameters of Euler-Bernolli beam

表2 磁浮車輛參數(shù)Tab.2 Parameters of maglev vehicle

對60、80、100 km·h-1車速下的磁浮列車動態(tài)通過軌道梁的過程進(jìn)行仿真，梁的跨中垂向位移、梁端轉(zhuǎn)角、梁的中點(diǎn)垂向加速度、車廂垂向加速度、懸浮間隙偏差和電磁力的仿真結(jié)果如圖4～9所示。

圖4 第3根軌道梁的跨中垂向位移Fig.4 Mid-span vertical displacement of the third track beam

從圖4～9可以看出，60、80、100 km·h-1車速下，梁的跨中垂向位移分別為2.012、2.014、2.015 mm，而梁端轉(zhuǎn)角分別為0.268 4‰、0.269 4‰和0.274 1‰。圖8、9的周期波動是由車輛通過多跨簡支梁時產(chǎn)生的，尖峰跳躍是由梁端邊界條件產(chǎn)生的。由圖4～9可以看出，在低速下軌道梁跨中垂向位移、梁端轉(zhuǎn)角和車廂垂向加速度隨速度變化的趨勢并不明顯，而軌道梁中點(diǎn)垂向加速度、懸浮間隙偏差以及電磁力的振動響應(yīng)有隨速度增大而增加的趨勢。

圖7 車廂垂向加速度Fig.7 Vertical acceleration of the carriage

圖8 懸浮間隙變化Fig.8 Change of airgap

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

在同濟(jì)大學(xué)國家磁浮交通工程技術(shù)研究中心的上海臨港磁浮試驗(yàn)基地進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)，對模型有效性進(jìn)行初步驗(yàn)證。如圖10a所示，上海臨港中低速磁浮試驗(yàn)列車為五懸浮架結(jié)構(gòu)［20］。每個懸浮架系統(tǒng)主要由懸浮架、空簧、懸浮電磁鐵和懸浮控制器組成?？刂扑惴ㄔ趹腋】刂破鲀?nèi)編程實(shí)現(xiàn)，可由上位機(jī)實(shí)時采集懸浮間隙和懸浮電流，在車廂里可以布置加速度傳感器。如圖10b所示，在磁浮軌道梁的中點(diǎn)位置布置傳感器（壓電式加速度傳感器、激光位移傳感器、拉線式位移傳感器、光纖光柵應(yīng)變傳感器），采樣頻率為5 000 Hz。磁浮列車分別以20、40、60 km·h-1的速度通過高架軌道梁，并通過電壓式數(shù)據(jù)采集儀以及光纖光柵數(shù)據(jù)解調(diào)儀采集相關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

圖9 電磁力變化Fig.9 Change of electromagnetic force

圖10 試驗(yàn)現(xiàn)場布置Fig.10 Test on site

選取工況為：磁浮列車以60 km·h-1的速度通過軌道梁時的實(shí)測數(shù)據(jù)作對比分析。軌道梁跨中垂向位移實(shí)測值和仿真值的對比如圖11所示。

圖11 跨中垂向位移的實(shí)測值和仿真值對比Fig.11 Comparison of mid-span displacement between measured data and simulation data

實(shí)測的最大跨中位移為2.013 mm，仿真的最大跨中位移為2.011 mm。實(shí)測數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)的曲線重合度較高。平均電流、懸浮間隙和軌道梁振動一階頻率如表3所示。通過數(shù)據(jù)對比，初步驗(yàn)證了所提出的向量式有限元磁浮列車磁力耦合系統(tǒng)建模方法的有效性。

表3 各物理量實(shí)測數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)對比（60 km·h-1）Tab.3 Comparison of various physical quantities between measured data and simulation data（60 km·h-1）

4 結(jié)語

提出了一種基于向量式有限元法的磁力耦合計(jì)算模型。分別對60、80、100 km·h-1車速下的磁浮列車動態(tài)通過軌道梁的過程進(jìn)行仿真，獲得了梁的跨中垂向位移、梁端轉(zhuǎn)角、軌道梁中點(diǎn)垂向加速度、車廂垂向加速度、懸浮間隙偏差和電磁力的仿真結(jié)果?？梢钥闯觯壍懒褐悬c(diǎn)垂向加速度、懸浮間隙偏差以及電磁力對速度的敏感性高于軌道梁跨中垂向位移、梁端轉(zhuǎn)角和車廂垂向加速度。因此，在控制器設(shè)計(jì)時可考慮引入軌道垂向加速度作為狀態(tài)反饋，為中低速磁浮的提速設(shè)計(jì)新的控制算法。最后，在同濟(jì)大學(xué)國家磁浮交通工程技術(shù)研究中心的上海臨港磁浮試驗(yàn)基地進(jìn)行整車試驗(yàn)，驗(yàn)證了所提出的基于向量式有限元法的磁浮列車磁力耦合模型的有效性。