數(shù)字圖像處理技術(shù)在獲取表面分形維數(shù)中的應(yīng)用

李 鑫

(奇瑞汽車股份有限公司，安徽 蕪湖，241000)

為了研究表面形貌對(duì)摩擦學(xué)的影響，Archard[1]提出了多尺度接觸模型，將表面微凸體視作大小不等的半球體，通過(guò)給定半球體在表面上的分布密度構(gòu)造表面形貌，但是，分布密度往往不能直接測(cè)量獲得，所以，對(duì)表面構(gòu)造存在一定的假設(shè)成分。Majumdar等[2]提出了基于接觸表面分形幾何的接觸理論，接觸面表面形貌用Weierstrass[3]提出的分形函數(shù)模擬，分形函數(shù)中的特征參數(shù)可通過(guò)測(cè)量手段獲得，這樣就作到了表面形貌模型與實(shí)際的統(tǒng)一，排除了對(duì)表面形貌的假設(shè)成分。

分形理論應(yīng)用于生活中的許多領(lǐng)域[4]，分形維數(shù)是表面分形幾何中的重要參數(shù)，它的大小直接反映了表面的粗糙情況[5～9]。通常，如果獲得表面形貌輪廓曲線，可通過(guò)尺碼法獲得分形維數(shù)[10～13]。但是，實(shí)際測(cè)得的分形表面輪廓曲線往往致密繁亂，而尺碼法是通過(guò)操作員利用尺規(guī)作圖的方法進(jìn)行測(cè)量，致密的輪廓曲線在很大程度上會(huì)影響操作員對(duì)曲線的辨識(shí)[14～16]，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果隨機(jī)性大，直接影響其它涉及表面形貌的相關(guān)估算。

為了減少人為因素對(duì)表面形貌參數(shù)獲取過(guò)程的影響，筆者在此提出利用數(shù)字圖像處理技術(shù)對(duì)表面分形維數(shù)的獲取方法。該方法利用尺碼法測(cè)量分形維數(shù)的原理，對(duì)表面輪廓曲線進(jìn)行二值化處理，并給出基于邏輯像素的尋點(diǎn)算法，最終展示了利用數(shù)字圖像處理技術(shù)獲取分形維數(shù)的實(shí)現(xiàn)流程。

1 分形表面形貌

分形的概念首先得到了Benoit B. Mandelbrot的印證[2]。起初，Benoit B. Mandelbrot通過(guò)測(cè)量地圖上的海岸線長(zhǎng)度發(fā)現(xiàn)，以不同的長(zhǎng)度作為標(biāo)尺丈量海岸線的長(zhǎng)度，其結(jié)果是不同的，當(dāng)選擇的尺度越小，海岸線的細(xì)節(jié)特征(例如港口等)就會(huì)顯現(xiàn)的越多，測(cè)量所得的海岸線長(zhǎng)度就越準(zhǔn)確。分形表面也具有類似的特征，當(dāng)觀察一個(gè)表面的形貌時(shí)，如果選擇的觀察尺度不同，所觀察到的細(xì)節(jié)特征也不相同。譬如，當(dāng)在一個(gè)尺度下觀察到分形表面上的微凸體時(shí)，如果增大放大倍數(shù)重新觀察該微凸體，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，該微凸體內(nèi)分布著許多更小的微凸體(圖1)。

圖1 分形表面計(jì)算機(jī)模擬

Weierstrass[3]指出，具有分形特征的表面輪廓曲線可以用下列函數(shù)表示：

(1)

其中：G為特征尺度系數(shù)，D為分形維數(shù)，其范圍是1

圖2 分形表面輪廓曲線

Weierstrass[3]通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，雖然在不同尺度下觀察到的表面形貌不同，但是不同尺度下的表面形貌具有自相似性，即均可以通過(guò)統(tǒng)一的參數(shù)來(lái)表征不同尺度下的形貌，也就是說(shuō)，分形表面具有尺度獨(dú)立性，而分形維數(shù)就是具有尺度獨(dú)立性的形貌特征參數(shù)。

2 分形維數(shù)的提取

2.1 尺碼法提取分形維數(shù)

仿照Benoit B. Mandelbrot對(duì)海岸線長(zhǎng)度的測(cè)量方法，可以選用不同的長(zhǎng)度尺度ri對(duì)表面輪廓曲線長(zhǎng)度Li進(jìn)行測(cè)量(圖3)，根據(jù)分形理論，長(zhǎng)度與尺度之間的關(guān)系可以表示為：

圖3 尺碼法確定分形維數(shù)示意圖 圖4 表面輪廓曲線圖像二值化處理

(2)

其中：k為比例系數(shù)，α為特征指數(shù)。

對(duì)上式取對(duì)數(shù)得：

lnLi=αlnri+lnk

(3)

可見，lnLi與lnri之間呈線性變化關(guān)系，如果在坐標(biāo)系擬合出lnLi-lnri直線，即可得出直線斜率α，而α與分形維數(shù)D的關(guān)系是：

D=1-α

(4)

那么，就能根據(jù)擬合結(jié)果求出分形維數(shù)D。

2.2 數(shù)字圖像處理在尺碼法中的應(yīng)用

通過(guò)將圖2所示的輪廓曲線讀入計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)，該圖像在計(jì)算機(jī)中的表示是一個(gè)大型二維數(shù)組，數(shù)組中的元素是0～255范圍內(nèi)的數(shù)值(圖像默認(rèn)存儲(chǔ)為RGB色系)，有輪廓曲線的像素?cái)?shù)值偏低，背景的像素?cái)?shù)值偏高，盡管輪廓曲線和背景的像素?cái)?shù)值分化明顯，但是每一部分的像素?cái)?shù)值并不統(tǒng)一，輪廓曲線的像素?cái)?shù)值相對(duì)集中在0～15區(qū)間內(nèi)，背景的像素?cái)?shù)值相對(duì)集中在230～255區(qū)間內(nèi)。為了接下來(lái)使圖像處理技術(shù)能在尺碼法中得到應(yīng)用，需要將輪廓曲線從背景中剝離出來(lái)，而且還需保證輪廓曲線的像素?cái)?shù)值統(tǒng)一。于是，先對(duì)圖像進(jìn)行二值化處理，以RGB色系的中間數(shù)作為閾值，對(duì)圖像進(jìn)行判斷，凡低于閾值的像素均設(shè)為邏輯0，高于閾值的像素均設(shè)為邏輯1。這樣，一幅RGB色系的圖像便被轉(zhuǎn)化為僅由0和1組成的邏輯像素圖像，輪廓曲線也都被統(tǒng)一成一個(gè)邏輯像素值0(圖4)。

如果將邏輯像素圖像局部放大，其中黑色像素代表邏輯值為0的輪廓曲線，白色像素代表邏輯值為1的背景。用A表示二值化圖像后的數(shù)組，給定尺碼尺度r，可仿照如下流程對(duì)滿足尺碼尺度的輪廓曲線像素點(diǎn)進(jìn)行尋找(圖5)：

圖5 圖像處理技術(shù)提取分形維數(shù)示意圖

從輪廓曲線上某一個(gè)像素(i,j)向右出發(fā)((i,j)為像素坐標(biāo)，i代表第i列，j代表第j行)，搜索第i+1列，從(i+1,j)開始向上搜索至(i+1,1)，如果發(fā)現(xiàn)邏輯值為0的像素(假設(shè)其坐標(biāo)為(x,y))，然后進(jìn)行判斷；如果未發(fā)現(xiàn)邏輯值為0的像素，則開始向下搜索至(i+1,size(A(:,1)))，然后進(jìn)行判斷。判斷的條件是：(x-i)2+(y-j)2>r2?如果判斷結(jié)果為真，則存儲(chǔ)當(dāng)前像素坐標(biāo)，并將其作為新的起點(diǎn)開始下一輪搜索；如果判斷結(jié)果為假，則開始搜索第i+2列，搜索方法同上，直至到第i+r列。輪廓曲線的長(zhǎng)度即可表示為：

(5)

其中，N代表搜索到的符合條件的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2.3 數(shù)字圖像處理對(duì)分形維數(shù)的提取方法

通過(guò)上面的介紹，能夠得到圖像處理技術(shù)獲取分形維數(shù)的方法(圖6)。首先，將圖像做二值化處理，得到圖像的邏輯像素?cái)?shù)組，輸入尺碼r的值和初始節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值(i,j)，然后按照指定的搜索方向?qū)ふ蚁乱粋€(gè)滿足要求的節(jié)點(diǎn)。其中，滿足要求是指要滿足2個(gè)條件：(1)能夠找到邏輯像素為0的節(jié)點(diǎn)；(2)到(i,j)節(jié)點(diǎn)距離滿足(x-i)2+(y-j)2>r2的條件。如果找到這樣的節(jié)點(diǎn)，則保存其坐標(biāo)，并作為下一輪搜索的起始坐標(biāo)；如果沒找到這樣的節(jié)點(diǎn)，則代表對(duì)輪廓曲線的長(zhǎng)度測(cè)量工作已完成，那么輸出輪廓曲線長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果(式(5))，同時(shí)存儲(chǔ)此次測(cè)量的點(diǎn)對(duì)(L,r)。

圖6 圖像處理技術(shù)提取分形維數(shù)的流程

通常情況下，得到的分形表面輪廓曲線長(zhǎng)度都較長(zhǎng)，采用上述過(guò)程測(cè)量輪廓曲線長(zhǎng)度的計(jì)算量較大。然而，根據(jù)分形理論，分形參數(shù)是具有尺度獨(dú)立性的，所以，為減小計(jì)算量，可截取實(shí)際輪廓曲線的一部分進(jìn)行上述計(jì)算過(guò)程。

3 結(jié)果與分析

筆者開發(fā)了“數(shù)字圖像處理技術(shù)獲取分形維數(shù)”的計(jì)算界面(圖7)，界面包含初始節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)輸入、尺碼輸入，還包括擬合點(diǎn)對(duì)數(shù)量輸出、擬合分形維數(shù)輸出、原始圖像和擬合曲線顯示。“提交”按鈕根據(jù)輸入的初始節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和尺碼執(zhí)行一次計(jì)算過(guò)程，并記錄該次結(jié)果：(L,r)。同時(shí)，“點(diǎn)對(duì)數(shù)量”從零開始，每點(diǎn)擊1次“提交”按鈕就自動(dòng)加1。“擬合”按鈕將“提交”按鈕存儲(chǔ)的點(diǎn)對(duì)進(jìn)行雙對(duì)數(shù)線性擬合，得到的斜率按照式(4)計(jì)算得出分形維數(shù)，在“分形維數(shù)”項(xiàng)后顯示。

圖7 圖像處理技術(shù)提取分形維數(shù)的算例界面

本節(jié)首先根據(jù)已知的分形維數(shù)，按照式(1)在計(jì)算機(jī)上得到分形表面輪廓曲線，然后將其保存為圖片，再讀入到計(jì)算界面，通過(guò)相關(guān)計(jì)算得到擬合的分形維數(shù)，與已知的分形維數(shù)進(jìn)行比較(表1)。

對(duì)比結(jié)果表明，利用圖像處理技術(shù)提取分形維數(shù)能夠得到較準(zhǔn)確的結(jié)果，一般誤差都在10%左右。但是，隨著擬合點(diǎn)對(duì)數(shù)量的增加，所得到的擬合結(jié)果也越來(lái)越趨近于真實(shí)結(jié)果，誤差在10%以內(nèi)。如果有足夠多的點(diǎn)對(duì)進(jìn)行擬合，誤差會(huì)更小。

利用粗糙表面輪廓曲線的功率譜密度表征表面粗糙程度的方法稱為功率譜方法，該方法的提出解決了具有相同粗糙度值，但是卻明顯不同的兩個(gè)表面形貌表征問(wèn)題。《摩擦學(xué)的分形》[5]中作者展示了功率譜法測(cè)量分形維數(shù)的方法，通過(guò)對(duì)不同分形維數(shù)采用功率譜法和基于圖像處理的提取法得到的誤差分布可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于有些分形維數(shù)，功率譜法可能會(huì)獲得更理想的測(cè)量結(jié)果(圖8)。但是，功率譜法的測(cè)量結(jié)果變化范圍較寬，測(cè)量穩(wěn)定性稍顯波動(dòng)；相反地，如果選擇足夠多的測(cè)量點(diǎn)對(duì)，利用基于圖像處理技術(shù)的分形維數(shù)提取法可以獲得較穩(wěn)定的測(cè)量結(jié)果，而且誤差范圍也在可接受的范圍內(nèi)。

圖8 功率譜法和基于圖像處理的提取法測(cè)量結(jié)果對(duì)比

筆者提出的基于圖像處理的分形維數(shù)提取方法能夠獲得準(zhǔn)確度范圍可接受的分形維數(shù)測(cè)量結(jié)果。隨著準(zhǔn)確度的提升，需要采集的點(diǎn)對(duì)數(shù)量也會(huì)增加，在算法中所進(jìn)行的計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增加(計(jì)算量主要來(lái)源于對(duì)像素點(diǎn)的搜索和距離判斷)。計(jì)算結(jié)果表明，點(diǎn)對(duì)數(shù)不需要采集過(guò)多即可獲得滿足工程精度需要的分形維數(shù)(表1)，所以筆者提出的基于圖像處理的分形維數(shù)提取方法并不需要占用太多的計(jì)算機(jī)資源。

表1 不同分形維數(shù)提取結(jié)果比較

4 結(jié)論與討論

本次研究提出了利用數(shù)字圖像處理技術(shù)對(duì)表面分形維數(shù)的獲取方法。該方法利用尺碼法測(cè)量分形維數(shù)的原理，對(duì)表面輪廓曲線進(jìn)行二值化處理，并給出基于邏輯像素的尋點(diǎn)算法，最終展示了利用數(shù)字圖像處理技術(shù)獲取分形維數(shù)的實(shí)現(xiàn)流程。結(jié)果表明，利用圖像處理技術(shù)，可以保證獲取分形維數(shù)的準(zhǔn)確度在10%左右的誤差范圍內(nèi)，而且隨著擬合點(diǎn)數(shù)量的增加，準(zhǔn)確度增加。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，基于圖像處理的分形維數(shù)提取方法具有較好的測(cè)量穩(wěn)定性，而且無(wú)需占用太多的計(jì)算機(jī)資源即可獲得較高精度。該方法的提出，能夠很大程度上減少人為因素對(duì)獲取分形維數(shù)的影響。

致謝：本研究成果感謝“安徽高校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目”(編號(hào)：KJ2020A0359)和“安徽高校協(xié)同創(chuàng)新項(xiàng)目”(編號(hào)：GXXT-2019-048)的支持。