深海起重機系統(tǒng)的實時軌跡規(guī)劃方法

王 岳 孫 寧 吳易鳴 梁 瀟 陳 鶴 方勇純

在21 世紀(jì),社會發(fā)展伴隨著快速增長的資源需求,為開采豐富的海洋資源,海洋工程領(lǐng)域日益受到全球各國關(guān)注.在這種情況下,積極發(fā)展海洋裝備設(shè)施技術(shù)至關(guān)重要.深海起重機在海洋工程中扮演著重要角色,例如海底隧道的搭建、跨海橋梁等項目中水下吊裝作業(yè)和水下補給等任務(wù).因此,針對深海起重機的研究具有非常重要的實際意義.

然而,由于起重機的固有結(jié)構(gòu),其所吊運負(fù)載的運動無法直接驅(qū)動,只能通過臺車運動間接控制,從而產(chǎn)生欠驅(qū)動自由度(即負(fù)載擺角).這種待控自由度多于控制輸入的系統(tǒng),被稱作欠驅(qū)動系統(tǒng)[1-4].欠驅(qū)動系統(tǒng)在工業(yè)生產(chǎn)中普遍存在,如欠驅(qū)動機械臂[5]、下肢外骨骼[6]、無人機系統(tǒng)[7]、欠驅(qū)動TORA(Translational oscillators with rotating actuator)系統(tǒng)[8]以及欠驅(qū)動起重機系統(tǒng)[9-10],其中欠驅(qū)動起重機系統(tǒng)又可細(xì)分為橋式起重機系統(tǒng)[11-13]、塔式起重機系統(tǒng)[14-15]、桅桿式起重機系統(tǒng)[16]、伴有雙擺特性的起重機系統(tǒng)[17-18]等.本文研究的深海起重機系統(tǒng)是一種在水下環(huán)境運輸負(fù)載的欠驅(qū)動橋式起重機系統(tǒng).一方面,系統(tǒng)本身存在復(fù)雜的欠驅(qū)動特性、非線性與耦合性;另一方面,在特殊的應(yīng)用環(huán)境下,負(fù)載運輸過程還會受到水流作用力的影響.海水作用力的存在也使系統(tǒng)各狀態(tài)量間耦合關(guān)系更為復(fù)雜.因此,深海起重機系統(tǒng)依然存在許多懸而未決的控制難題.

近年來,軌跡規(guī)劃[19-22]方法成為解決欠驅(qū)動系統(tǒng)控制問題的常用方法,用軌跡規(guī)劃解決起重機控制問題[23-24]也逐漸一般化,此類方法可看作從系統(tǒng)輸入到輸出的一種解,通過考慮具體的控制目標(biāo),將已知參數(shù)與期望軌跡作為系統(tǒng)輸入,并將可驅(qū)動狀態(tài)量(如橋式起重機的臺車位移、速度、加速度)的時間序列作為系統(tǒng)輸出.根據(jù)實際需求,規(guī)劃所得軌跡可對系統(tǒng)能耗、運輸效率等指標(biāo)進行優(yōu)化,同時還能夠保證吊運的平穩(wěn)性和準(zhǔn)確性.迄今為止,研究人員針對陸地起重機系統(tǒng)(陸地橋式起重機、塔式起重機)提出了基于軌跡規(guī)劃與跟蹤的控制方法.具體而言,對雙擺起重機系統(tǒng),陳鶴等[25]結(jié)合高斯偽譜法,將雙擺吊車的控制問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的優(yōu)化問題,提出了一種時間最優(yōu)的消擺軌跡規(guī)劃方法;Sun 等[26]設(shè)計了一種能量最優(yōu)的軌跡規(guī)劃方法,可在整個運輸過程中保證臺車精確定位,降低系統(tǒng)的能量能耗,并有效抑制負(fù)載的殘余擺動;Boscario等[27]提出了一種軌跡規(guī)劃算法,可增強軌跡對系統(tǒng)參數(shù)的魯棒性,有效抑制負(fù)載的殘余擺動;Zhang等[28]提出了一種適用于非零初始負(fù)載擺角的誤差跟蹤控制方法.對塔式起重機系統(tǒng),Liu 等[29]為起重臂和臺車規(guī)劃了一條軌跡,此軌跡不僅能實現(xiàn)有效載荷的運輸,還可改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能.

然而,上述現(xiàn)有的針對陸地起重機系統(tǒng)的軌跡規(guī)劃方法均需離線進行,無法很好地實現(xiàn)對系統(tǒng)的實時規(guī)劃/控制,因此,在一些對實時性要求較高的場合,現(xiàn)有離線規(guī)劃方法便不再適用.以橋式起重機系統(tǒng)為例,當(dāng)臺車目標(biāo)位置發(fā)生變化時,需重新離線計算軌跡,使作業(yè)效率受到影響.為滿足實時性要求,一些學(xué)者進一步針對陸地起重機系統(tǒng)提出了基于在線軌跡規(guī)劃的控制方法.具體而言,對橋式起重機系統(tǒng),Otto 等[30]提出了一種基于伺服約束的實時軌跡控制方法,并通過理論分析與實際實驗證明了該方法的實時性和魯棒性;通過對臺車運動過程離散化,Li 等[31]提出了一種基于載荷擺動能量的在線規(guī)劃方法,可最小化臺車的運行時間.

盡管如此,上述現(xiàn)有軌跡規(guī)劃方法均是針對陸地起重機系統(tǒng)設(shè)計的,在水下環(huán)境中(存在水流影響)往往難以直接適用.除此之外,大多現(xiàn)有的軌跡規(guī)劃方法均將復(fù)雜非線性系統(tǒng)的模型線性化,當(dāng)負(fù)載擺動較大導(dǎo)致線性化條件不成立時便無法保證控制性能.因此,本文在未對復(fù)雜非線性模型線性化的前提下,考慮水流作用,為深海起重機系統(tǒng)設(shè)計了一種結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)易于調(diào)整的新型軌跡.本文主要貢獻如下:1)針對深海起重機系統(tǒng),提出了一種新型實時軌跡規(guī)劃方法,該方法基于非線性系統(tǒng)模型,無需線性化近似;2)通過理論分析與仿真結(jié)果,均證明了所提方法可使臺車精確定位,有效抑制負(fù)載擺動,且對外部干擾有較強的魯棒性,同時也具有實時性,可根據(jù)不同目標(biāo)位置在線調(diào)整規(guī)劃軌跡;3)該方法結(jié)合深海起重機系統(tǒng)在水下的作業(yè)環(huán)境,考慮了在水流干擾下負(fù)載(如核燃料棒)呈現(xiàn)出的柔性特性.

本文結(jié)構(gòu)安排如下:第1 節(jié)介紹深海起重機系統(tǒng)的動力學(xué)模型,描述系統(tǒng)的控制目標(biāo).在第2 節(jié)中,提出一種實時軌跡規(guī)劃方法,并從理論上分析該軌跡的良好性能.接下來,第3 節(jié)對所提方法進行一系列仿真,以驗證其控制性能.最后,第4 節(jié)對本文所做工作進行總結(jié),并對今后的研究進行展望.

1 相關(guān)問題描述

本節(jié)將簡述深海起重機系統(tǒng)的動力學(xué)模型,并結(jié)合模型介紹相應(yīng)的控制任務(wù).

1.1 深海起重機系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1 是二維空間中深海起重機系統(tǒng)示意圖,其中在慣性坐標(biāo)系iOj中,x(t)表示臺車位移,u(t)表示驅(qū)動臺車的控制輸入.I表示截面慣性矩.定義柔性負(fù)載與臺車連接端在i方向上的位置為i=0,負(fù)載自然狀態(tài)下原長為l,w(y,t)表示在時刻t及i方向上i=y處負(fù)載元的橫向偏差(即負(fù)載擺動),fw(y,t)表示負(fù)載對應(yīng)位置受到的水作用力.系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示.

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

圖1 深海柔性起重機系統(tǒng)Fig.1 The flexible deep sea crane system

水作用力fw(y,t)表示為如下兩部分的和[32]:

fm(y,t)與fd(y,t)分別表示水作用力fw(y,t)中的慣性部分與阻力部分.

深海起重機系統(tǒng)的動力學(xué)方程為[32]

m表示單位長度負(fù)載質(zhì)量與被負(fù)載所排開流體質(zhì)量的和.記w′(y,t)表示w(y,t)對位置y的一階偏微分,相應(yīng)地,w′′′′(y,t)表示w(y,t)對位置y的四階偏微分.

1.2 控制目標(biāo)

針對深海起重機系統(tǒng),本文的控制目標(biāo)是利用可驅(qū)動與不可驅(qū)動狀態(tài)量之間的非線性耦合關(guān)系,為可驅(qū)動的臺車運動在線規(guī)劃一條軌跡,在實現(xiàn)臺車準(zhǔn)確快速定位的同時,還能夠在水下作業(yè)環(huán)境下充分抑制柔性負(fù)載的擺動.具體所要實現(xiàn)的控制任務(wù)概括如下:

實時軌跡規(guī)劃的過程如圖2 所示.

圖2 實時軌跡規(guī)劃示意圖Fig.2 Schematic diagram of real-time trajectory planning

2 軌跡規(guī)劃及分析

為實現(xiàn)上述控制目標(biāo),本節(jié)將提出具體的實時軌跡規(guī)劃方法,并給出相應(yīng)的理論分析.

2.1 軌跡規(guī)劃

基于式(2)所示的深海柔性起重機系統(tǒng)狀態(tài)變量間的耦合關(guān)系,首先考慮設(shè)計消擺軌跡(t).根據(jù)實際情況,負(fù)載末端點在所有點元中的擺動幅度最大,若末端點擺動范圍滿足要求,則其他點的擺動幅度也可保證在要求范圍內(nèi).本節(jié)中,僅考慮負(fù)載末端點位置(y=l處)的動力學(xué).相應(yīng)地,Ca(y),Cd(y)可簡記為Ca,Cd,w(y,t)可記為w(t),fd(y,t)記為fd(t).令r(t)=0,fd(t)作為w(t),(t)的高階項可忽略不計,那么式(2)可表示為

在式(4)的基礎(chǔ)上,為方便后續(xù)系統(tǒng)的有界性與收斂性分析,構(gòu)造李雅普諾夫候選函數(shù)如下:

對式(5)進行求導(dǎo),并將結(jié)果代入式(4),整理可得

其中,k∈R+為正增益.考慮設(shè)定條件(t)=0,即(t)=(t)+(t)=(t).將式(7)代入式(6)進行整理,得

根據(jù)拉塞爾不變性定理,可以得出如下結(jié)論:

考慮到僅有(t)不能實現(xiàn)臺車的精準(zhǔn)定位,還需要選擇定位參考軌跡(t),使其滿足如下條件:

1)為模擬實際情況下臺車的起始運動,設(shè)軌跡的初始條件為

2)考慮到深海起重機的實際工作需求,xr(t)要在有限時間tp內(nèi)收斂到目標(biāo)位置pd,且無超調(diào),即

其中,vm,am和jm分別代表所選參考軌跡的速度、加速度和加加速度的上界.

只需滿足式(9)～(12)所示的條件,定位參考軌跡xr(t)便可根據(jù)實際需要任意選擇,結(jié)合式(7),最終規(guī)劃軌跡可表示為

其中,增益k(k ∈R+)還應(yīng)滿足如下條件:

通過對式 (13)積分,可分別求得臺車速度與臺車位移的表達式為

其中,Q(k)為只關(guān)于k的函數(shù),相對時間t為常數(shù),因此,式(13),(15)和(16)中的等式關(guān)系成立.其中,關(guān)于Q(k)函數(shù)特性的證明過程將在第2.2 節(jié)中給出.

2.2 性能分析

為便于理論分析,本小節(jié)利用定理1 證明設(shè)計軌跡的良好性能.

定理1.如式(13)所示的軌跡x(t)及其導(dǎo)數(shù)光滑且一致連續(xù).在沿該軌跡運行時,深海起重機系統(tǒng)的各狀態(tài)量均能收斂,具體如下所示:

1)負(fù)載擺動及其前兩階導(dǎo)數(shù)均收斂至零,即

2)臺車速度、加速度收斂到零,且臺車準(zhǔn)確到達目標(biāo)位置pd,即

證明.為使證明過程更清晰,特分為兩個步驟證明定理1.其中,步驟1 將證明式(18),即負(fù)載擺動及其前兩階導(dǎo)數(shù)的收斂性,接著對應(yīng)式(19),步驟2 將證明臺車位移、速度、加速度的收斂性.

步驟1.將式(13)代入式(6),并整理可得

根據(jù)式(14),并借助均值不等式進行放縮,式(20)可整理為

式(21)對時間求積分,可以得到

由式(9)和式(11),通過分部積分,式(22)中的第1 項滿足如下不等式:

根據(jù)式(14),式(22)中第2 項非正,即

通過式(22)～(24),可以得到

再結(jié)合式(5),(11)和(20),可以推出如下結(jié)論:

根據(jù)式(22),(23)和(25),可推出

由(t),w′′′′(t),(t),(t)∈L∞可得

此外,還需對w(t),(t)進行證明.首先通過對式(27)進行整理,可以得到

將(t)寫為兩函數(shù)相加的形式(t)=φ1(t)+φ2(t),其中

利用式(12),(25)和(29),可推得

結(jié)合式(29)和式(30),應(yīng)用擴展芭芭拉定理[33],可推出

式(31)中,w′′′′(t)可看作w(t)的加減運算式,由此可以得到

至此,以上過程證明了本定理中的式(18).接下來,證明式(19).

步驟2.式(13)對時間t的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)式(13),(15)和(33),可知x(t),(t),(t)均連續(xù)可導(dǎo).根據(jù)式(11)的約束條件,可知

另外,考慮實際情況w(t)有界,再結(jié)合式(25)和式(28),可得

因此,根據(jù)式(13),(15)和(33),可推知

即x(t),(t),(t)均一致連續(xù).

接著,將式(13)代入式(27)可得

考慮式(12),(29)和(31),則式(35)關(guān)于時間的極限為

將式(12)和式(32)代入式(15),整理可得

接下來將證明x(t)的收斂性.通過對式(35)求積分,并代入式(15),計算得到

繼而對式(38)求關(guān)于時間的積分,當(dāng)t→+∞時,式(38)可寫為

再根據(jù)式(17)和式(32),整理式(39),可以得到

其中,記

對式(41)進行分部積分,計算可得

式(42)中,記

利用二重積分的區(qū)域可加性質(zhì)整理式(43),拆解過程如下:

當(dāng)τt＞tp時,(τt)≡0,故xr(τt)(τt)=0,即式(44)中后兩項均為0.而在式(44)第1項中,為關(guān)于時間t的確定函數(shù),此函數(shù)在有限區(qū)間[0,tp]上的積分值為常數(shù),故第1項為常值.因此,T為常值.將式(43)代入式(42)可得

根據(jù)對式(44)的分析以及式(45)可知,P為常值,故Q(k)與時間t無關(guān),僅為k的函數(shù).整理式(40),有

將式(46)代入式(16),整理得到

因此,由式(47)可知,x(t)最終收斂到pd,本定理的第2 部分證畢.綜合步驟1 與步驟2 的證明過程,可得所設(shè)計軌跡具有良好的定位和消擺性能.□

3 仿真結(jié)果與分析

為驗證所提軌跡規(guī)劃方法的有效性,本節(jié)使用MATLAB 進行數(shù)值仿真,首先說明了應(yīng)用本文所提方法前后負(fù)載振動幅度的變化,接著測試了在有外部擾動(初始擾動與中間擾動)、多次變換目標(biāo)位置pd、與已有軌跡規(guī)劃方法相比較三種設(shè)定情況下的軌跡跟蹤消擺性能.仿真參數(shù)及其取值如表2 所示.

表2 系統(tǒng)參數(shù)仿真值Table 2 Simulation values of system parameters

梯形速度軌跡是軌跡規(guī)劃方法中最基本、也是最常用的一種軌跡,對控制方法的好壞有一定標(biāo)稱作用,因此,本文選擇如下所示經(jīng)平滑處理的梯形速度軌跡作為定位參考軌跡:

設(shè)式(48)中目標(biāo)位置為pd=1.2 m,則定位參考軌跡的位移、速度、加速度軌跡如圖3 所示,由圖3可知,所選定位參考軌跡可滿足式(9)～(12)的全部條件.通過多次調(diào)試,式(14)中參數(shù)k取為1.

圖3 參考位移、速度、加速度軌跡Fig.3 The reference displacement,velocity,and acceleration trajectories

值得說明的是,圖4 中粗點線與點劃線分別代表設(shè)定的目標(biāo)位置與負(fù)載擺動進入相對穩(wěn)定狀態(tài)的設(shè)定邊界值.另外,結(jié)合仿真結(jié)果,考慮量化負(fù)載擺動幅度(負(fù)載在臺車運動方向反方向的最大擺動值)、反向擺動幅度(負(fù)載在臺車運動方向的最大擺動值)、進入相對穩(wěn)態(tài)時間(負(fù)載擺動值到達并保持在±0.024 m 內(nèi)所需的最短時間)三個指標(biāo)來定量分析比較,從而說明本文所提方法良好的控制性能.

圖4 仿真對比結(jié)果Fig.4 Comparison results

無外部擾動的仿真對比結(jié)果如圖4 所示,同時,表3 列出了量化指標(biāo)的具體數(shù)值.經(jīng)由表3 數(shù)據(jù)計算可得,相比未考慮消擺的定位參考軌跡,本文實時軌跡規(guī)劃方法使負(fù)載擺動幅度降低了48.92%,反向擺動幅度降低了25%,進入相對穩(wěn)態(tài)時間縮短了0.6 s,三個量化指標(biāo)均優(yōu)于對比情形;再結(jié)合圖4的直觀結(jié)果,本文所提方法可在實現(xiàn)臺車精準(zhǔn)定位的同時,快速有效地抑制負(fù)載的擺動幅度,具有良好的消擺控制性能.

表3 無外部擾動時量化指標(biāo)對比結(jié)果Table 3 Comparison results of quantitative indices without external disturbance

圖5 為無外部擾動時柔性負(fù)載擺動的三維仿真圖,表示負(fù)載橫向偏差w(y,t)隨位置y與時間t變化的三維曲線,直觀顯示了負(fù)載各位置擺動幅度隨時間的變化情況.同樣地,圖6～9 中粗點線代表設(shè)定的目標(biāo)位置;圖9 中點劃線代表負(fù)載擺動進入相對穩(wěn)定狀態(tài)的設(shè)定邊界值.

圖5 負(fù)載擺動三維仿真圖Fig.5 Three-dimensional diagram of the vibrationw(y,t)

圖6 含初始擾動的仿真對比結(jié)果Fig.6 Simulation results with initial disturbance

圖7 含中間擾動的仿真對比結(jié)果Fig.7 Simulation results with intermediate disturbance

圖8 驗證所提方法實時性的仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results to verify the real-time performance of the proposed method

圖9 與輸入整形方法的仿真對比結(jié)果Fig.9 Simulation results compared with input shaping method

為驗證所提消擺軌跡對外部擾動的魯棒性,并結(jié)合實際起重機的起重過程,本文設(shè)計了加入初始擾動(t=0 s 時,在負(fù)載末端加入幅度為-0.1 m 的擾動)與中間擾動(t=6.5 s 時,在負(fù)載末端加入幅度為-0.1 m 的擾動)的仿真測試(采用比例分配的方式將擾動施加在柔性負(fù)載上),仿真結(jié)果分別如圖6 和圖7 所示.由圖6 和圖7 可知,在外部擾動存在的情況下,相比未考慮消擺的參考軌跡,本文規(guī)劃軌跡可使系統(tǒng)更快穩(wěn)定,并快速有效地減小負(fù)載的擺動幅度,具有較強的魯棒性.

此外,為說明所提軌跡規(guī)劃方法的實時性(即規(guī)劃軌跡隨選擇目標(biāo)點的不同而不同,且無需離線計算),本文模擬在操作過程中目標(biāo)位置多次變化的情況,設(shè)計了一組驅(qū)動臺車依次到達三個目標(biāo)位置(分別為pd1=1.2 m,pd2=2.4 m,pd3=4 m)的仿真,仿真結(jié)果如圖8 所示.由圖8 可知,本文所提軌跡規(guī)劃方法可使臺車運行軌跡跟蹤到達設(shè)定目標(biāo)位置,且實時調(diào)整,不需離線計算;其次,負(fù)載擺動幅度明顯減小(雖目標(biāo)位置不同,但與定位參考軌跡相比,負(fù)載擺動幅度均降低了50%左右),系統(tǒng)更快穩(wěn)定,也驗證了所提方法良好的控制性能.

最后,為驗證方法的有效性,選擇改進的輸入整形方法[32]作為對比方法,設(shè)定目標(biāo)位置為pd=1.2 m,運送時間為 3s,得到如圖9 所示的仿真結(jié)果與表4 所列的量化指標(biāo)數(shù)值.由圖9 與表4可知,與輸入整形方法比較,本文所提軌跡規(guī)劃方法可有效抑制負(fù)載擺動(負(fù)載擺動幅度降低了22.4%),超調(diào)更小(反向擺動幅度降低了53.85%)且更快速平穩(wěn)地回到自然無擺狀態(tài)(進入相對穩(wěn)態(tài)時間縮短了1.2 s),具有較好的定位消擺性能,體現(xiàn)了所提方法的有效性.

表4 與輸入整形方法的量化指標(biāo)對比結(jié)果Table 4 Comparison results of quantitative indices with input shaping method

由上述一系列仿真結(jié)果可知,本文所提實時消擺軌跡可在使臺車快速、準(zhǔn)確到達目標(biāo)位置的同時,較好地抑制柔性負(fù)載擺動.

4 總結(jié)

基于深海柔性起重機系統(tǒng)可驅(qū)變量與不可驅(qū)變量間的非線性耦合關(guān)系,本文提出一種實時軌跡規(guī)劃方法,該方法不僅能實現(xiàn)臺車精確定位,有效抑制負(fù)載擺動,而且對外部干擾有較強的魯棒性,同時也可根據(jù)不同目標(biāo)位置實時調(diào)整規(guī)劃軌跡,具有實時性.經(jīng)過理論分析,證明了系統(tǒng)各變量的收斂性,且仿真結(jié)果也驗證了所設(shè)計軌跡良好的消擺控制性能.在今后的研究中,將進一步縮小定位參考軌跡的選擇范圍(例如可以優(yōu)先選擇結(jié)構(gòu)形式簡單、參數(shù)數(shù)量少、階次低的表達式作為定位參考軌跡),并將實時規(guī)劃方法推廣到其他欠驅(qū)動系統(tǒng).