飛輪儲(chǔ)能裝置建模與振動(dòng)仿真分析

朱由鋒，劉新華，王 良，王 強(qiáng)

（1.山東科技大學(xué)交通學(xué)院，山東 青島 266590；2.山東國(guó)金新能源汽車工程研究院，山東 淄博 255000）

1 引言

地鐵軌道交通系統(tǒng)具有站點(diǎn)多，間隔小，頻繁啟停的特點(diǎn)，容易造成電能利用率低的問題。主流地鐵機(jī)車采用電制動(dòng)為主，空氣制動(dòng)為輔的聯(lián)合制動(dòng)策略，在高速行駛制動(dòng)時(shí)，具有機(jī)械制動(dòng)頻度高、閘瓦及車輪使用年限短的問題[1]。飛輪儲(chǔ)能地鐵再生制動(dòng)能量回收裝置能減少能源消耗、穩(wěn)定線網(wǎng)電壓、推進(jìn)國(guó)家環(huán)境友好型社會(huì)的建立。目前四類地鐵再生制動(dòng)能量方案中，飛輪儲(chǔ)能在功率密度、能量回收效果和使用壽命等方面都優(yōu)于其它三類（電阻能耗型、逆變回饋型和超級(jí)電容）。

飛輪電池不同于化學(xué)燃料電池，用傳統(tǒng)的物理方法進(jìn)行儲(chǔ)能。它通過真空室內(nèi)轉(zhuǎn)子的高速旋轉(zhuǎn)來儲(chǔ)存機(jī)械能量，并由電子電力轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)置實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能的互相轉(zhuǎn)化[2]。主要由轉(zhuǎn)子、軸、支撐軸承、電動(dòng)機(jī)/發(fā)電機(jī)、真空室和電力電子變換器等組成[3]。其中，支撐軸承采用磁懸浮軸承，發(fā)動(dòng)機(jī)/電動(dòng)機(jī)為復(fù)合電機(jī)，采用軸向氣隙永磁無刷電機(jī)作為飛輪電池的副動(dòng)力結(jié)構(gòu)，為飛輪轉(zhuǎn)子提供直接動(dòng)力。電子電力轉(zhuǎn)換裝置采用雙向儲(chǔ)能變流器[4]。這里只對(duì)飛輪電池磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)做深入分析和研究。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)飛輪儲(chǔ)能磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了深入分析研究。文獻(xiàn)[5]在有限元模型的基礎(chǔ)上，拋卻以往的剛性轉(zhuǎn)子模型，對(duì)轉(zhuǎn)子作為柔性轉(zhuǎn)子進(jìn)行了研究。得出了控制器抑制與彎曲模式相關(guān)的臨界振動(dòng)有關(guān)的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]采用Prohl-Myklestad方法對(duì)飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)轉(zhuǎn)子進(jìn)行了轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析，得到了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)。文獻(xiàn)[7]通過線圈組的環(huán)形結(jié)構(gòu)和差動(dòng)繞組方案得到PMB和HMB的線性磁力模型，在所建立的磁力模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了徑向穩(wěn)定轉(zhuǎn)子懸浮的積分滑?？刂破?。文獻(xiàn)[8]借助Poincare影射和Lyapunov指數(shù)發(fā)現(xiàn)，在某些特定的參數(shù)下，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、Hopf分叉、概周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)分叉、混沌現(xiàn)象。

目前關(guān)于飛輪儲(chǔ)能裝置磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究大都是五自由度剛性模型，取轉(zhuǎn)子的自激振動(dòng)為激勵(lì)源，忽略了定子基礎(chǔ)振動(dòng)對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的磁懸浮轉(zhuǎn)子振動(dòng)行為的影響?；诖?，在飛輪電池磁懸浮轉(zhuǎn)子五自由度模型的基礎(chǔ)上，增加了與轉(zhuǎn)子支撐軸承固定連接的定子三自由度模型，旨在形成飛輪電池模型標(biāo)準(zhǔn)件，為飛輪電池的工程應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。

2 模型建立

2.1 飛輪電池及磁軸承模型的建立

飛輪電池定子受到外部激勵(lì)，產(chǎn)生基礎(chǔ)振動(dòng)，與其固定連接的磁懸浮軸承與轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生相對(duì)位移。根據(jù)電磁力公式，電磁力作用到轉(zhuǎn)子上，重新調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的位置。將飛輪電池豎直放置，來抑制和減小磁懸浮轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng)[9]，利用整體法和能量法建立了系統(tǒng)的八自由度模型，即定子的側(cè)傾、俯仰和豎直方向的自由度，磁懸浮轉(zhuǎn)子在磁軸承A和B處的x和y方向的位移以及豎直方向的位移。將磁懸浮轉(zhuǎn)子放置在定子的質(zhì)心處，系統(tǒng)模型，如圖1、圖2所示。

圖1 飛輪電池系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure of Flywheel Battery System Model

圖2 磁懸浮轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Magnetic Suspension Rotor Structure

圖中：M—飛輪電池系統(tǒng)的總質(zhì)量；θ—系統(tǒng)在yz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角；φs—系統(tǒng)在xz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角；Jxs—繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jys—繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；q1，q2，q3，q4—基礎(chǔ)激勵(lì)；k1，k2，k3，k4-定子支撐彈簧剛度系數(shù)；c1，c2，c3，c4—定子支撐阻尼系數(shù)；l—飛輪電池長(zhǎng)度；b—飛輪電池寬度；h—飛輪電池高度。

圖中：ω—轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；Mr—轉(zhuǎn)子質(zhì)量；m—轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量；e—偏心距；θr—轉(zhuǎn)子yz平面內(nèi)轉(zhuǎn)角；φr—轉(zhuǎn)子xz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角；Jxr—轉(zhuǎn)子繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jyr—轉(zhuǎn)子繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jzr—轉(zhuǎn)子的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；A和B—磁懸浮軸承；LA—轉(zhuǎn)子質(zhì)心到A軸承質(zhì)心的距離；LB—轉(zhuǎn)子質(zhì)心到B軸承質(zhì)心的距離；xA—轉(zhuǎn)子在磁軸承A處沿x方向的距離；xB—轉(zhuǎn)子在磁軸承B處沿x方向的距離；yA—轉(zhuǎn)子在磁軸承A處沿y方向的距離；y—轉(zhuǎn)子在磁軸承B處沿y方向的距離；zr—豎直方向位移。

式中：μ0—真空磁導(dǎo)率；Ar—磁懸浮軸承的有效磁極面積；N—線圈匝數(shù)；C—轉(zhuǎn)子和磁懸浮軸承之間的初始位置氣隙；I—通過磁懸浮軸承線圈的偏置電流；ic—通過線圈的控制電流，△δ—定子相對(duì)于轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的位移。將上式在平衡處（ic=0，△δ=0）一階泰勒公式展開，忽略式中非線性項(xiàng)的影響，線性化可得：

ic是關(guān)于位移△δ的函數(shù)，由具體的控制方式來決定。交叉反饋控制是在PD控制的基礎(chǔ)上，提取徑向位移差分信號(hào)，將交叉反饋項(xiàng)加入到PD控制中。具有調(diào)節(jié)迅速，穩(wěn)定性好的特點(diǎn)，且能很好消除轉(zhuǎn)子陀螺效應(yīng)影響。則控制電流與改變位移的關(guān)系為：

式中：kp—比例增益；kd—微分增益；kv—交叉反饋增益系數(shù)。

通過計(jì)算，交叉反饋增益系數(shù)表達(dá)式為：

用偏頻方法設(shè)計(jì)定子懸置彈簧剛度系數(shù)，用最佳阻尼比方法，取懸置阻尼系數(shù)。定子受到四角激勵(lì)，產(chǎn)生微小運(yùn)動(dòng)的過程中與轉(zhuǎn)子產(chǎn)生間隙，繼而產(chǎn)生激擾力，其表達(dá)式與電磁力表達(dá)式相同，如下：

2.2 定子激勵(lì)的選取

將飛輪儲(chǔ)能裝置與機(jī)車看作整體，忽略鐵軌和地鐵車輪的影響。地鐵加速過程中，地面振動(dòng)會(huì)激勵(lì)定子，定子發(fā)生微小運(yùn)動(dòng)，磁懸浮軸承與轉(zhuǎn)子之間會(huì)有位移的改變。根據(jù)電磁力公式，產(chǎn)生的電磁力會(huì)重新調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子位置。文獻(xiàn)[11]研究表明，地鐵地面振動(dòng)的主要頻率成分主要在（50～80）Hz之間。在MATLAB中用eig 函數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子模型方程進(jìn)行模態(tài)分析，其四階固有頻率為49.7Hz。采用50Hz的正弦激勵(lì)作為飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)的外部激勵(lì)。

3 數(shù)值仿真

采用數(shù)值積分方法，對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行求解。飛輪儲(chǔ)能裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)參考文獻(xiàn)[12]中一款飛輪電池的實(shí)際數(shù)據(jù)。

用閃頻法得到飛輪電池轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度參數(shù)的分岔圖，如圖3、圖4所示。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角速度處于（0～3980）rad/s區(qū)間時(shí)，系統(tǒng)收斂為直線，磁懸浮轉(zhuǎn)子處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度超過3980rad/s時(shí)，分岔圖是離散排布無規(guī)律的點(diǎn)集，系統(tǒng)進(jìn)入失穩(wěn)混沌區(qū)間。此區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)容易出現(xiàn)碰摩故障，嚴(yán)重影響著飛輪電池的使用壽命和安全性。

圖3 轉(zhuǎn)子質(zhì)心X方向分岔圖Fig.3 Rotor Centroid X Direction Bifurcation Diagram

圖4 轉(zhuǎn)子質(zhì)心Y方向分岔圖Fig.4 Rotor Centroid Y Direction Bifurcation Diagram

選取飛輪電池轉(zhuǎn)子運(yùn)行周期內(nèi)臨界轉(zhuǎn)速（3980rad/s）和失穩(wěn)轉(zhuǎn)速（4093rad/s）進(jìn)行分析。PSP圖是由文獻(xiàn)[12]提出，經(jīng)過驗(yàn)證的振動(dòng)分析工具。它是用激擾力周期內(nèi)的峰—峰值和對(duì)應(yīng)的采樣周期數(shù)在二維平面圖內(nèi)確定的一系列點(diǎn)構(gòu)成的圖形，可以清楚的分辨系統(tǒng)的周期、概周期和混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速上升到3980rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心Y方向的幅值變得參差不齊，相圖也變?yōu)槎鄠€(gè)不同心的圓，峰值圖的直線部分逐漸開始發(fā)散，龐加萊截面圖變?yōu)樵S多點(diǎn)組成的類圓形，可知，當(dāng)磁懸浮轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速ω=3980rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子處于概周期運(yùn)動(dòng)，如圖5所示。

圖5 ω=3980rad/s時(shí)轉(zhuǎn)子響應(yīng)曲線Fig.5 Rotor Response Curve at ω=3980rad/s

轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速增加到4093rad/s時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)不斷加劇，轉(zhuǎn)子質(zhì)心Y方向的時(shí)間歷程圖出現(xiàn)“拍振”現(xiàn)象，峰值圖和龐加萊截面變?yōu)樯y的點(diǎn)集，可知此時(shí)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)極不穩(wěn)定，處于混沌狀態(tài)，如圖6所示。

圖6 ω=4093rad/s轉(zhuǎn)子響應(yīng)曲線Fig.6 Rotor Response Curve at ω=4093rad/s

將地鐵運(yùn)行過程中，飛輪電池磁懸浮轉(zhuǎn)子質(zhì)心Y方向的關(guān)于時(shí)間序列的數(shù)據(jù)通過傅里葉變換，得到不同控制參數(shù)下的幅頻特性曲線，如圖7所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)動(dòng)角速度下磁懸浮轉(zhuǎn)子幅頻特性曲線Fig.7 Amplitude-Frequency Characteristic Curve of Magnetic Suspension Rotor Under Different Rotational Angular Velocities

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為3000rad/s時(shí)，共振頻率分別為0.05Hz和3.8Hz，無控制器作用時(shí)，對(duì)應(yīng)的幅值分別為23.4μm和5.0μm，交叉反饋控制對(duì)應(yīng)的幅值分別為1.01μm和4.50μm。轉(zhuǎn)速為3980rad/s時(shí)，共振頻率分別為0.1Hz和5.0Hz，無控制器作用時(shí)，對(duì)應(yīng)的幅值分別為60.7μm和4.29μm，交叉反饋控制對(duì)應(yīng)幅值分別為1.3μm和4.28μm。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為4093rad/s 時(shí)，共振頻率分別為0.2Hz 和5.1Hz，無控制器作用時(shí)，對(duì)應(yīng)的幅值分別為98.6μm和5.3μm，交叉反饋控制對(duì)應(yīng)幅值分別為1.29μm和3.68μm。

4 結(jié)論

建立了飛輪儲(chǔ)能八自由度模型，以地鐵加速工況造成的地面振動(dòng)為外界激勵(lì)，對(duì)飛輪電池磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了深入分析。

（1）地鐵運(yùn)行過程中，磁懸浮轉(zhuǎn)子穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)區(qū)間（0～3980）rad/s，超過臨界轉(zhuǎn)速之后，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)“拍振”現(xiàn)象，非線性振動(dòng)明顯加劇。飛輪儲(chǔ)能裝置進(jìn)行動(dòng)能回收時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行轉(zhuǎn)速約束，防止因轉(zhuǎn)子失穩(wěn)而降低飛輪儲(chǔ)能裝置效率。

（2）交叉反饋控制能夠明顯減小轉(zhuǎn)子質(zhì)心處的位移。在高速下，質(zhì)心處幅值降幅更加明顯。采用交叉反饋控制來穩(wěn)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，可靠性高，穩(wěn)定性好。