組合荷載作用下基樁水平承載特性的簡(jiǎn)化半解析解

饒文昌， 竺明星

(1.江蘇開放大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 江蘇 南京 210019； 2.江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院)

1 前言

隨著工程需求的變化以及基樁承載特性理論研究的逐步深入，現(xiàn)實(shí)工程中的樁基通常不但承擔(dān)樁頂豎向荷載作用，還同時(shí)受到水平荷載作用，即組合荷載的作用，如橋梁樁基礎(chǔ)，海上風(fēng)機(jī)單樁基礎(chǔ)等。當(dāng)樁身產(chǎn)生水平撓曲變形時(shí)，由于豎向荷載的存在會(huì)對(duì)樁身產(chǎn)生不利影響的附加彎矩，即p-Δ效應(yīng)，這類問題引起了越來(lái)越多的學(xué)者關(guān)注。

對(duì)于組合作用下基樁承載機(jī)理，目前已有許多學(xué)者開展了相關(guān)的試驗(yàn)研究、數(shù)值分析和理論研究工作。Anagnostopoulos與Georgiadis、皇甫明等、梁發(fā)云等均開展了豎向荷載對(duì)水平受荷樁影響的室內(nèi)模型試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果均表明：豎向荷載的存在對(duì)水平受荷樁的樁身彎矩有一定的影響，但不大；趙明華與吳鳴等開展了軸、橫向荷載下橋梁基樁的試驗(yàn)研究，結(jié)果表明：在基樁自由長(zhǎng)度和軸向荷載較大時(shí)，由于p-Δ效應(yīng)，樁身最大彎矩和樁頂位移提高很大，在設(shè)計(jì)計(jì)算中不容忽視；Achmus等采用三維有限元分析了組合荷載作用單樁承載特性，研究結(jié)果表明：豎向荷載對(duì)水平受荷樁影響很小；Poulos、梁發(fā)云等根據(jù)彈性地基梁模型建立了組合受荷樁承載特性的解析模型并采用有限單元法進(jìn)行求解，計(jì)算表明：軸向荷載的存在對(duì)于柔性樁上部的內(nèi)力和側(cè)向撓曲影響比較顯著，而對(duì)其深部的影響相對(duì)較小，且認(rèn)為軸向力作為常量的假設(shè)一般可以滿足工程實(shí)際要求；趙明華等采用有限層單元法和改進(jìn)有限桿單元法分析了傾斜荷載作用下基樁受力特性并指出p-Δ效應(yīng)受多種因素影響且不容忽略；Zhu等根據(jù)傳遞矩陣法求得組合荷載作用下基樁樁身響應(yīng)半解析解并得出p-Δ效應(yīng)受樁的嵌入比影響顯著的結(jié)論。

該文基于傳遞矩陣原理，采用Laplace正逆變換方法推導(dǎo)出簡(jiǎn)化的組合荷載作用下樁身傳遞矩陣系數(shù)，并通過迭代求解得出樁身響應(yīng)。通過案例對(duì)比分析驗(yàn)證該文方法和解的正確性。最后開展豎向荷載對(duì)水平受荷樁承載特性影響分析。

2 樁身響應(yīng)模型建立與求解

2.1 樁身受力模型

如圖1所示，總樁長(zhǎng)為L(zhǎng)的基樁垂直嵌入到成層地基土中。地面上樁長(zhǎng)為L(zhǎng)a，地面下樁長(zhǎng)為L(zhǎng)b。地面上樁因等直變截面被等分為na段，則等分后每段樁的長(zhǎng)度、樁徑和抗彎剛度分別為Hai、dai和EIai。地面下的樁被成層地基土和等直變截面分成nb層，則每段樁的樁長(zhǎng)、樁徑和抗彎剛度分別為Hbi、dbi和EIbi；樁頂分別作用豎向荷載Vt、水平荷載Ft和彎矩荷載Mt；樁側(cè)受到分布荷載qa的作用。推導(dǎo)過程中樁身變形y以向右為正，轉(zhuǎn)角θ以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；樁頂水平力Ft與樁身截面剪力Q以繞研究對(duì)象順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；樁頂彎矩Mt與樁身截面彎矩M以研究對(duì)象右側(cè)受壓為正；地面上樁側(cè)分布荷載qa以向右作用為正；樁側(cè)土抗力以向左為正。

圖1 成層地基土中樁身受力分析

2.2 地面上樁身傳遞矩陣系數(shù)求解

2.2.1 地面上任意截面處樁身受力模型

取地面上樁任意深度處微單元進(jìn)行受力分析，如圖2所示，圖中所有物理量的符號(hào)均為正。

圖2 地面上樁微單元受力分析

根據(jù)圖2中樁身微單元水平方向受力平衡得：

(1)

根據(jù)樁身微單元彎矩平衡可得：

(2)

從圖2可知：樁身軸力荷載會(huì)產(chǎn)生一個(gè)附加彎矩Vdy作用；同時(shí)由于θ=dy/dz，因此令：

Mva=Vθ

(3)

式中：Mva定義為豎向荷載引起的附加彎矩，單位量綱為[力×長(zhǎng)度/長(zhǎng)度]，其物理含義為沿樁身深度分布的單位長(zhǎng)度附加彎矩作用。

將式(3)代入式(2)可得：

(4)

2.2.2 地面上任意深度處樁身傳遞矩陣系數(shù)求解

如圖3所示為地面上自由段樁離散示意圖。

圖3 地面上樁離散示意圖

采用Laplace正逆變換方法推導(dǎo)地面上樁身傳遞矩陣系數(shù)，根據(jù)圖3建立如下微分方程組：

(5)

式中：ya(i,j)、θa(i,j)、Ma(i,j)和Qa(i,j)分別為第i層樁(根據(jù)直徑進(jìn)行分層)中第j小段樁(等分?jǐn)?shù)量為mai)的樁端位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，如圖3所示。

(6)

式中：qa(i,j-1)和qa(i,j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處分布荷載。

(7)

式中：Mva(i,j-1)和Mva(i,j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處附加彎矩。

Mva(i,j)采用下式進(jìn)行計(jì)算：

(8)

式中：Va(i,j)為第i層樁中第j小段樁的底部位置處樁身軸向荷載。趙明華、文獻(xiàn)[13,15]均假定地面上樁身軸力因樁體自重隨深度呈線性變化，則得：

(9)

式中：za(i,j)為從第i層樁頂至第j小段樁段的深度；ψai(=γaiAsai)為地面上第i層樁的樁身軸力增長(zhǎng)系數(shù)，γai和Asai分別為地面上第i層樁的樁有效重度與橫截面面積；ψak為地面上第k層(k=1，…，i-1)樁的樁身軸力增長(zhǎng)系數(shù)；Hak為等分后地面上第k層(k=1,…，i-1)樁的長(zhǎng)度。

根據(jù)文獻(xiàn)[13,15]對(duì)公式(5)進(jìn)行Laplace正逆變換后可得：

Sa(i,j)=Ua(i,j)Sa(i,j-1)

(10)

式中：Ua(i,j)為地面上第i層樁中第j小段樁的樁身傳遞矩陣系數(shù)，如式(11)所示：

Ua(i,j)=

(11)

式中：hai(=Hai/mai)為地面上長(zhǎng)度為Hai的第i層樁經(jīng)過等分?jǐn)?shù)量為mai等分后每小段長(zhǎng)度；Sa(i,j)和Sa(i,j-1)分別為：

(12a)

Sa(i,j-1)=[ya(i,j-1)θa(i,j-1)Ma(i,j-1)Qa(i,j-1)1]T

(12b)

通過與文獻(xiàn)[13,15]對(duì)比發(fā)現(xiàn)：該文式(11)的形式非常簡(jiǎn)潔；更重要的是該文解克服了文獻(xiàn)[13,15]中自由段樁身傳遞矩陣系數(shù)軸力不能為0的局限性。因此，該文式(11)的解更具有實(shí)用性。

2.3 地面下彈性段樁身傳遞矩陣系數(shù)求解

2.3.1 彈性段范圍內(nèi)任意截面處樁身受力模型

取地面下樁土相互作用處于彈性階段范圍內(nèi)的樁任意深度處一微單元進(jìn)行受力分析，如圖4所示，圖中所有物理量的符號(hào)均為正。

根據(jù)圖4中樁身微單元水平方向受力平衡得：

圖4 彈性段樁微單元受力分析

(13)

根據(jù)樁身微單元彎矩平衡可得：

(14)

式中：Mve為豎向荷載引起的彈性范圍內(nèi)樁身附加彎矩作用。

2.3.2 彈性段樁身傳遞矩陣系數(shù)求解

如圖5所示為地面下彈性段樁離散示意圖。

圖5 地面下彈性階段樁離散示意圖

為采用Laplace正逆變換方法推導(dǎo)彈性段樁身傳遞矩陣系數(shù)，建立如下微分方程組：

(15)

式中：ye(i,j)、θe(i,j)、Me(i,j)和Qe(i,j)分別為處于彈性階段的第i層樁中第j小段樁(等分?jǐn)?shù)量為mbi)的樁端位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力(圖5)。

(16)

式中：k(i,j-1)和k(i,j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處土抗力模量。

(17)

式中：Vb(i,j)為第i層樁中第j小段樁的底部位置處樁身軸向荷載。文獻(xiàn)[13,15,17]均假定地面上樁身軸力因樁體自重和樁側(cè)摩阻力隨深度呈線性變化，則得：

(18)

式中：ze(i,j)為從第i層樁頂至第j小段樁段的深度；ψbi為地面下第i層樁的樁身軸力增長(zhǎng)系數(shù)，采用如下公式計(jì)算：

ψbi=γbiAsbi-μτmax/2

(19)

式中：γbi和Asbi分別為地面下第i層樁的有效重度與橫截面面積；μ為樁身橫截面周長(zhǎng)；τmax為第i層樁-土極限側(cè)摩阻力。需要注意的是：如果式(17)計(jì)算所得樁身軸力Vb(i,j)小于0，則取Vb(i,j)=0。

Se(i,j)=Ue(i,j)Se(i,j-1)

(20)

式中:Ue(i,j)為地面下第i層樁中第j小段樁(處于彈性階段)的樁身傳遞矩陣系數(shù)，如下式所示：

(21)

其中χ1(i,j)、χ2(i,j)、χ3(i,j)和χ4(i,j)分別為：

(22)

上述兩式中：φ1(i,j)、φ2(i,j)、φ3(i,j)以及φ4(i,j)分別為：

(23)

其中：t(i,j)=β(i,j)hbi；hbi(=Hbi/mbi)為地面下第i層長(zhǎng)度為Hbi的樁經(jīng)過mbi數(shù)量等分后每小段長(zhǎng)度。Se(i,j)和Se(i,j-1)擴(kuò)充為5階向量后如下所示：

(24a)

Se(i,j-1)=

[ye(i,j-1)θe(i,j-1)Me(i,j-1)Qe(i,j-1)1]T

(24b)

通過與文獻(xiàn)[13,15]對(duì)比發(fā)現(xiàn)：該文式(21)～(23)極大地簡(jiǎn)化了考慮軸力作用時(shí)彈性段傳遞矩陣系數(shù)解的形式；更克服了文獻(xiàn)[13,15]中彈性段傳遞矩陣系數(shù)軸力不能等于0的局限性。因此，該文式(21)、(22)的解更具有通用性。

2.4 地面下塑性段樁身傳遞矩陣系數(shù)求解

2.4.1 塑性段范圍內(nèi)任意截面處樁身受力模型

取地面下樁土相互作用處于塑性階段范圍內(nèi)的樁任意深度處一微單元進(jìn)行受力分析，如圖6所示，圖中所有物理量的符號(hào)均為正。

圖6 塑性段樁微單元受力分析

根據(jù)圖6中樁身微單元水平方向受力平衡得：

(25)

根據(jù)樁身微單元彎矩平衡可得：

(26)

式中：Mvp為豎向荷載引起的塑性范圍內(nèi)樁身附加彎矩作用。

2.4.2 塑性段樁身傳遞矩陣系數(shù)求解

如圖7所示為地面下塑性段樁離散示意圖。

根據(jù)圖7建立如下微分方程組：

圖7 地面下塑性階段樁離散示意圖

(27)

式中：yp(i,j)、θp(i,j)、Mp(i,j)和Qp(i,j)分別為處于塑性階段的第i層樁中第j小段樁(等分?jǐn)?shù)量為mbi)的樁端位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力。

(28)

式中：pu(i,j-1)和pu(i,j)分別為第i層樁中第j小段樁的頂部與底部位置處極限土抗力值。

根據(jù)文獻(xiàn)[13、15]對(duì)公式(27)進(jìn)行Laplace正逆變換后可得：

Sp(i,j)=Up(i,j)Sp(i,j-1)

(29)

式中：Up(i,j)為地面下第i層樁中第j小段樁(處于塑性階段)的樁身傳遞矩陣系數(shù)，如下式所示：

Up(i,j)=

(30)

Sp(i,j)和Sp(i,j-1)為擴(kuò)充為5階向量后如下所示：

(31a)

Sp(i,j-1)=

[yp(i,j-1)θp(i,j-1)Mp(i,j-1)Qp(i,j-1)1]T

(31b)

通過與文獻(xiàn)[13,15]對(duì)比發(fā)現(xiàn)：該文式(30)不但表達(dá)方式簡(jiǎn)潔，更克服了文獻(xiàn)[13,15]中塑性段傳遞矩陣系數(shù)軸力不能等于0的局限性。因此，該文式(30)所示塑性階段傳遞矩陣系數(shù)更具有通用性。

2.5 組合荷載作用下樁身響應(yīng)求解

在傳遞矩陣法原理的基礎(chǔ)上，根據(jù)該文所求解的傳遞矩陣系數(shù)[式(11)、(21)以及(30)]可得整個(gè)樁身的傳遞矩陣方程：

Sb=Ub(nb,mbn)Ub(nb,mbn-1)…Ub(i,j)…Ub(1,1)×Ua(na,man)Ua(na,man-1)…Ua(i,j)…Ua(1,1)S0=US0

(32)

式中：Sb=[ybθbMbQb1]T和S0=[y0θ0M0Q01]T分別為樁端和樁頂處的變形、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的狀態(tài)矩陣向量。Ub(i,j)為地面下第i層地基土中第j小段樁的傳遞矩陣系數(shù)，當(dāng)該段樁土相互作用為彈性階段時(shí)則采用式(21)計(jì)算，當(dāng)該段樁土相互作用為塑性階段時(shí)則采用式(30)計(jì)算；Ua(i,j)為地面上第i層樁中第j小段樁的傳遞矩陣系數(shù)，采用式(11)進(jìn)行計(jì)算。Ub稱為地面下樁的總傳遞矩陣系數(shù)，其值為從樁端至地面處的每小段樁身傳遞矩陣系數(shù)連續(xù)乘積；Ua稱為地面上樁的總傳遞矩陣系數(shù)，其值為從地面處至樁頂?shù)拿啃《螛渡韨鬟f矩陣系數(shù)連續(xù)乘積；U(=UbUa)稱為樁身總傳遞矩陣系數(shù)，其值為從樁端至樁頂?shù)拿啃《螛渡韨鬟f矩陣系數(shù)連續(xù)乘積。

方程(32)本質(zhì)上是一個(gè)含有8個(gè)未知量(樁頂和樁端的變形、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力)的方程組。為解得方程(32)，需引入樁頂、樁端的邊界條件。常見的邊界約束條件主要有自由、鉸接和嵌固，因此可得如下樁頂和樁端初始邊界條件：

(33)

(34)

根據(jù)樁頂、樁端邊界條件情況，將式(33)和(34)中對(duì)應(yīng)的值代入方程(32)即可解得樁頂處的變形、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力的狀態(tài)矩陣向量S0，則地面上任意位置處的樁身響應(yīng)為：

Sa(i,j)=Ua(i,j)Ua(i,j-1)…Ua(1,1)S0

(35)

地面下任意位置處的樁身變形、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力值為：

Sb(i,j)=Ub(i,j)Ub(i,j-1)…Ub(1,1)UaS0

(36)

3 案例驗(yàn)證與軸力影響分析

3.1 案例驗(yàn)證

吳鳴與趙明華開展了組合荷載作用下模型樁承載特性試驗(yàn)。樁長(zhǎng)L=0.8 m，樁外徑d=0.016 m，壁厚t=0.002 m，抗彎剛度EI=0.189 kN·m2。文獻(xiàn)[13]采用如下樁土相互作用p-y曲線模型進(jìn)行分析：

(37)

式中：nhs(=5.84×103kN/m3)為土抗力系數(shù)值；z0(=0.3 m)為等效深度；m(=0.8)為指數(shù)系數(shù)；yu(=3d/80=6×10-4m)為塑性位移。樁頂、樁端均為自由邊界。該文取樁身軸力為等于樁頂豎向荷載的一個(gè)常量值，則地面下樁身彎矩理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比如圖8所示。

由圖8可知：該文方法所得解與文獻(xiàn)[13]所得解完全一致，證明了該文簡(jiǎn)化思路和推導(dǎo)過程的正確性；同時(shí)，該文解與文獻(xiàn)[7]中的有限層單元解和實(shí)測(cè)值結(jié)果均非常接近，說明了該文解的合理性和有效性。

圖8 樁身彎矩計(jì)算值與實(shí)測(cè)值對(duì)比

3.2 樁身軸力對(duì)水平承載力影響的參數(shù)分析

Han認(rèn)為地面上自由段樁長(zhǎng)對(duì)組合荷載作用下基樁水平承載特性有顯著的影響，并引入嵌入比概念開展樁身軸力對(duì)水平承載力的影響分析。嵌入比，即嵌入地基土中的樁長(zhǎng)(Lb)與整個(gè)樁長(zhǎng)(L)的比值(Lb/L)。該文以上述案例驗(yàn)證中的樁為模型，假定嵌入比Lb/L分別為0.6、0.7、0.8、0.9、1.0。樁頂水平荷載為Ft=0.15 kN，樁頂豎向荷載Vt分別為0Ft、0.5Ft、1.0Ft、1.5Ft和2.0Ft。則樁頂最大變形計(jì)算結(jié)果如圖9所示。從圖9可知：不同樁頂豎向荷載作用下，樁頂最大變形隨嵌入比Lb/L的變化規(guī)律相同，即樁頂變形均隨著嵌入比的增加而減小。相同嵌入比情況下，樁頂變形隨著樁頂豎向荷載的增加而增加；但是當(dāng)嵌入比Lb/L為0.9～1.0時(shí)，樁頂水平變形非常接近，幾乎不受樁頂豎向荷載作用的影響。

圖9 樁頂豎向荷載及嵌入比對(duì)樁頂變形的影響

嵌入比Lb/L對(duì)樁身附加彎矩的影響如圖10所示。如果附加彎矩為負(fù)值，則表明該附加彎矩的作用方向與樁身截面彎矩正方向一致，對(duì)樁受力而言是不利的；如果附加彎矩為正值，則對(duì)樁受力是有利的。從圖10可明顯得出：在恒定樁頂豎向荷載作用時(shí)(Vt=1.0Ft)，樁身附加彎矩隨著嵌入比Lb/L的減小而顯著增加，這說明p-Δ效應(yīng)隨著地面上自由段樁長(zhǎng)增加而逐漸明顯。盡管在接近樁端處附加彎矩為正值，但與負(fù)值的附加彎矩相比可以忽略。

圖10 嵌入比對(duì)附加彎矩的影響(Vt=1.0Ft)

圖11為樁身軸力對(duì)附加彎矩的影響(Lb/L=0.7)。從圖11可知：在恒定嵌入比時(shí)，樁身附加彎矩值隨著樁頂豎向荷載的增加而顯著增加。綜合圖9～11可知：當(dāng)嵌入比Lb/L較小時(shí)，如果樁頂存在豎向荷載作用，則需要考慮p-Δ效應(yīng)對(duì)樁水平承載力的影響。

圖11 軸力對(duì)附加彎矩的影響(Lb/L=0.7)

4 結(jié)論

為研究豎向荷載對(duì)水平受荷樁承載特性的影響，引入附加彎矩概念并建立任意截面處樁身軸力作用引起的附加彎矩計(jì)算表達(dá)式。在傳遞矩陣法原理的基礎(chǔ)上，通過Laplace正逆變換解得地面上自由段樁、地面下彈性段以及塑性段樁的傳遞矩陣系數(shù)解析解，并通過迭代求解得出樁身響應(yīng)。通過案例對(duì)比分析驗(yàn)證了該文方法和解的正確性。與既有文獻(xiàn)半解析解相比，該文解的形式更加簡(jiǎn)潔，且克服了既有文獻(xiàn)方法中傳遞矩陣系數(shù)軸力不能為0的缺陷。最后該文開展了豎向荷載對(duì)水平受荷樁承載特性參數(shù)影響分析，得出以下結(jié)論：

(1) 樁頂變形隨著嵌入比的增加而減?。幌嗤度氡惹闆r下，樁頂變形隨著樁頂豎向荷載的增加而增加；但當(dāng)嵌入比Lb/L為0.9～1.0時(shí)，樁頂水平變形幾乎不受樁頂豎向荷載作用的影響。

(2) 在恒定樁頂豎向荷載作用時(shí)，樁身附加彎矩隨著嵌入比Lb/L的減小而顯著增加，這說明p-Δ效應(yīng)隨著地面上自由段樁長(zhǎng)增加而逐漸明顯。

(3) 在恒定嵌入比時(shí)，樁身附加彎矩值隨著樁頂豎向荷載的增加而顯著增加。

(4) 當(dāng)嵌入比Lb/L較小時(shí)，如果樁頂存在豎向荷載作用，則需要考慮p-Δ效應(yīng)對(duì)樁水平承載力的不利影響。