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    一類凸多目標半無限規(guī)劃的Mond-Weir型對偶

    2022-01-11 05:10:52簡相棟王文東甄艷秋
    關(guān)鍵詞:實值對偶廣義

    簡相棟,王文東,甄艷秋

    (延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

    利用廣義凸函數(shù)研究數(shù)學(xué)規(guī)劃中的對偶問題一直是凸規(guī)劃中一個非常重要的研究內(nèi)容。文獻[1,2]提出了一類新的廣義凸函數(shù)即G-不變凸,同時在這些新的廣義凸性條件下研究了一類多目標規(guī)劃問題的最優(yōu)性與對偶性,隨后趙潔等在文獻[3-7]中研究了一類帶有支撐函數(shù)的多目標規(guī)劃問題的對偶性。本文在以上文獻的基礎(chǔ)上,借助次線性泛函的性質(zhì)[8]和Minch對稱梯度[9]將廣義凸性進行推廣,建立研究了一類帶有支撐函數(shù)的多目標規(guī)劃問題的Mond-Weir型對偶問題,結(jié)合K-T最優(yōu)性必要條件證明得到了一些弱對偶定理、強對偶定理以及嚴格逆對偶定理,改進和推廣了文獻[3-7]的結(jié)果。

    1 基本定義

    定義1[8](次線性函數(shù))設(shè)F:X×X×Rn→R是關(guān)于第三變元的次線性函數(shù),如果滿足對于?x1,?x2∈X,有

    F(x1,x2;α1+α2)≤F(x1,x2;α1)+(x1,x2;α2),

    ?α1,α2∈Rn;

    F(x1,x2;rα)=rF(x1,x2;α),?r∈R+,α∈Rn。

    定義2[10]如果有f(x+h)-f(x-h)=2hTfs(x)+o(‖h‖),稱函數(shù)f(x)在x是對稱梯度,并記作

    fs(x)。

    定義3[11]設(shè)x0∈X,如果不存在x∈X,使得

    f(x)

    定義4 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k,?εi>0,使得對于x∈X,i=1,…,k有

    則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù)。

    定義5 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k,?εi>0,使得對于x∈X,i=1,…,k有

    則稱(fi(x)+xTwi)在x∈X處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù)。

    定義6 如果存在α:Rn×Rn→R+{0},i=1,…,k,?εi>0,使得對于x∈X,i=1,…,k有

    則稱(fi(x)+xTwi)在x∈K處是廣義對稱G-(F,α,ε)-偽凸函數(shù)。

    2 Mond-Weir對偶性條件

    考慮下面多目標半無限規(guī)劃

    其中f=(f1,f2,…,fk):X→Rk以及g:X×U→Rm對于?u∈U是定義在X上的對稱函數(shù),X?Rn是一非空開子集,U?Rm是一個無限參數(shù)集。令K={1,2,3,…,k},M={1,2,3,…,m},Ifi(x),i=1,…,k表示fi的值,Ci是Rn中對于每一個i∈K,j∈M的緊凸集,記X0={X∈X|g(x,uj)0,X?Rm}為(MP)的可行解集,U*={uj|j∈△,J(x0)?△是相應(yīng)指標集}是U的任意可數(shù)子集,△={j|g(x,u)0,x∈X0,uj∈U},J(x0)={j|g(x0,uj)=0},函數(shù)G=(G1,…,Gk):R→RK,每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1,…,k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù)。s(x|Ci)表示X上的支撐函數(shù),其定義如下:

    s(x|Ci)=max{〈wi,x〉|wi∈Ci},i∈K。

    對于(MP)問題,其Mond-Weir型對偶規(guī)劃如下:

    K-T-(必要條件):

    定理1 (弱對偶)假設(shè)x,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解,如果滿足下列條件:

    (i)fi在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù);

    (ii)g(x,uj)在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù);

    (iv)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K,

    s(y|Ci)=yTwi,wi∈Ci,i∈K。

    則F(x)≮G(y)。

    證明反證法。假設(shè)

    F(x)

    fi(x)+s(x|Ci),

    由條件(iv)得fi(x)+xTwi

    又因為函數(shù)G=(G1,…,Gk):R→Rk,每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1,…,k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù),則有

    G(fi(x)+xTwi)

    由條件(i)結(jié)合上式可知

    上式兩邊同乘以λi再求和得

    (1)

    又因為條件(ii)可得

    Gj(g(x,uj))-Gj(g(y,uj))

    (2)

    給(2)式兩邊同時乘以β1并且求和可得

    (3)

    因為設(shè)x是規(guī)劃(MP)的任一可行解,(y,λ,β)是規(guī)劃(DMP)的可行解,則

    g(x,uj)g(y,uj),j∈△。

    由于每一個Gi,j∈△是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù),所以有

    Gj(g(x,uj))Gj(g(y,uj)),j∈△。

    由條件(ii)中bj>0和條件(iv)知

    j∈△。

    結(jié)合(3)式知

    (4)

    將(1)式和(2)式相加結(jié)合條件(iii)整理得

    (5)

    由F的性質(zhì)以及K-T條件知

    這與(5)式矛盾,故F(x)≮G(y)。

    定理2 (弱對偶)假設(shè)x,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解,如果滿足下列條件:

    (i)fi在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-偽凸函數(shù);

    (ii)g(x,uj)在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù);

    (iv)s(x|Ci)=xTwi,wi∈Ci,i∈K,

    s(y|Ci)=yTwi,wi∈Ci,i∈K。

    則F(x)≮G(y)。

    證明反證法。假設(shè)

    F(x)

    fi(x)+s(x|Ci),

    由條件(iv)得fi(x)+xTwi

    又因為函數(shù)G=(G1,…,Gk)R→Rk,每一個Gi:Ifi(x)→R,i=1,…,k是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù),則有

    Gi(fi(x)+xTwi)

    由條件(i)結(jié)合上式可知

    上式兩邊同乘以λi再求和得

    (6)

    因為設(shè)x是規(guī)劃(MP)的任一可行解,(y,λ,β)是規(guī)劃(DMP)的可行解,則

    g(x,uj)g(y,uj),j∈△。

    由于每一個Gi,j∈△是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù),所以有

    Gj(g(x,uj))Gj(g(y,uj)),j∈△。

    結(jié)合條件(ii)知

    εj0,j∈△,

    (7)

    給(7)式兩邊同時乘以βj并且求和可得

    (8)

    將(6)式和(8)式相加結(jié)合條件(iii)整理得

    (9)

    由F的性質(zhì)以及K-T條件知:

    這與(9)式矛盾,故F(x)≮G(y)。

    證明因為x是規(guī)劃(MP)的一個有效解,并且在x處K-T條件滿足,則

    βjg(y,uj)0,j∈△,

    f(x)

    也就是F(x)

    定理4 (嚴格逆對偶)假設(shè)x0,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解且f(x0)=f(y),如果滿足下列條件:

    (i)fi在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-凸函數(shù);

    (ii)g(x,uj)在y處是廣義對稱G-(F,α,ε)-擬凸函數(shù);

    則x0=y。

    證明反證法。假設(shè)x0≠y,因為x0,(y,λ,β)分別是問題(MP)和問題(DMP)的可行解,所以

    βjg(x0,uj)0βjg(y,uj),j∈△,

    也就是

    βjg(x0,uj)-βjg(y,uj)0,j∈△。

    由于βj0,則g(x0,uj)g(y,uj),j∈△,

    根據(jù)每一個Gi,j∈△是嚴格單調(diào)遞增的可微實值函數(shù),結(jié)合上式整理知

    βj(Gj(g(x,uj))-Gj(g(y,uj)))0,j∈△。

    又根據(jù)條件(ii)知

    βjεj0,

    (10)

    對(10)式兩邊求和得

    又因為f(x0)=f(y),

    而且根據(jù)條件(i)可知

    上式兩邊同乘以λi再求和得

    (11)

    由(DMP)的約束條件可得

    (12)

    將(10)式和(11)式相加結(jié)合條件(iii)整理得

    (13)

    由F的性質(zhì)以及K-T條件知

    gs(x0,uj)),

    gs(x0,uj))≥0,

    這與(13)式矛盾,故x0=y。

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