廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣的一組判別法

楊亞芳，梁茂林

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001)

廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣在數(shù)學(xué)、物理、控制論及經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等許多領(lǐng)域有著重要的研究價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣就是非奇異H-矩陣(記為A∈D)。如何在實(shí)際應(yīng)用中簡便的判別一個(gè)矩陣是否是非奇異H-矩陣，一直是人們關(guān)注的問題。近年來，國內(nèi)外許多作者做了大量的工作，給出了一些研究成果[1-8]。本文應(yīng)用不等式放縮原理和構(gòu)造正對角矩的方法，得到廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣的一種判別法，并用數(shù)值例子驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。

1 預(yù)備知識

N1={i|0<|aii|=Ei},N2={i|0<|aii|

N3={i||aii|>Ei|,

Ki=

i∈N1；

Mi=

i∈N3。

定義1.1[1]設(shè)A∈DT(α)，

1)若A不可約，且至少存在一個(gè)i使得

2)若對|aii|≥Ei式中每一個(gè)等號成立的i都存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk≠0，滿足

|ajkjk|≥αΛjk(A)+(1-α)Sjk(A)。

則稱A為具有非零元素鏈的α-對角占優(yōu)矩陣(A∈D0(α))。

引理1.2[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,α∈(0,1]，則

A∈D當(dāng)且僅當(dāng)A∈D*(α)。

2 主要結(jié)果

定理2.1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n，如果存在α∈(0,1]，使得I(A)=?，且?i∈N2，

(1)

則A∈D*(α)。

Pi=

?i∈N2。

(2)

注意到I1(A)=?及0

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

q|aii|=|bii|。

所以

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

從而

qEi=|bii|。

對于B=AD=(bij)，有

?i∈N1,由I(A)=?得

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(q-ε)(1-a)Si<

(1-a)Si)=(q-ε)Ei=(q-ε)|aii|=|bii|。

?i∈N2，由q

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(1-a)Si)=qEi=|bii|。

所以B∈D(α)，即A∈D*(α)。

定理2.2 設(shè)A=(aij)∈Cn×n且為不可約矩陣，

?i∈N2，

(3)

記I2(A)={i|i∈N2,且使以上(3)式中嚴(yán)格不等號成立}。

若滿足下列條件之一：

1)A為不可約矩陣且I2(A)≠?；

2)?i∈(N1I1(A))∪(N2I2(A))∪(N3I3(A))，存在非零元素鏈aij1，aj1j2，…，ajk-1,p，使得

p∈I1(A)∪I2(A)∪I3(A)。

則A∈D*(α)。

(4)

構(gòu)造正對角矩陣D=diag{d1,d2,…,dn}，其中

1)因?yàn)锳是不可約矩陣，所以Si≠0。

i)若I(A)=?，則?i∈N1,都?t∈N2∪N3，使得ait≠0，由此得到0

此時(shí)一定有0

B=AD=(bij)有

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

|bii|。

(5)

?i∈N2,由q≤Pi得

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(6)

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

qEi=|bii|。

(7)

若N2I2(A)≠?，則由(6)式知必存在k∈N2使得|bkk|>αΛk(B)+(1-α)Sk(B)，而AD不改變A的不可約性。

ii)若I(A)≠?，則u=1。從而可以取q<

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(1-a)Si)=qEi=q|aii|=|bii|。

(8)

?i∈N2，由q≤Pi得

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

|bii|。

(9)

由于N2I2(A)≠?，所以(9)式中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等號成立。

?i∈N3，由q≥1和Si>0得到

αΛi(B)+(1-α)Si(B)=

(1-a)Si)=qEi=|bii|。

2)類似上述(1)證明，對B=AD有

|bii|≥αΛi(B)+(1-α)Si(B),?i∈N，

且若i∈I1(A)∪I2(A)∪I3(A)時(shí)，

|bii|>αΛi(B)+(1-α)Si(B)。由條件

?i∈(N1I1(A)∪(N2I2(A))∪(N3I3(A))，

存在非零元素鏈aij1,aj1j2，…ajk-1,p，使得

p∈I1(A)∪I2(A)∪I3(A)，知B∈D0(α)，

從而A∈D*(α)。

3 數(shù)值例子

例考慮矩陣

取α=0.95，則N1=?，N2={2,3}，N3={1，4，5}。計(jì)算得

0.414 1，

故由本文定理2.1可判定A為廣義嚴(yán)格α-對角占優(yōu)矩陣。但

故不能由文獻(xiàn)[4]來判別。

經(jīng)計(jì)算得文獻(xiàn)[5]中的M2=2.92，M3=1.47，

故不能由文獻(xiàn)[5]來判別。

故不能由文獻(xiàn)[6]來判別。

故不能由文獻(xiàn)[7]來判別。

故不能由文獻(xiàn)[8]來判別。