基于分形維數(shù)的自適應(yīng)窗口DAVAR改進(jìn)算法

王梓帥，劉 星，閆 曌，楊銀芳，喻 佩

(1 西安工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，西安 710021；2 西北工業(yè)集團(tuán)有限公司，西安 710043；3 西安北方光電科技防務(wù)有限公司，西安 710043)

0 引言

目前微機(jī)電(MEMS)陀螺傳感器多用于慣性導(dǎo)航技術(shù)中角速度的測(cè)量，在低精度軍用、民用領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。但相對(duì)光纖陀螺、激光陀螺精度較低，需要采用Allan方差[1-4]及其拓展動(dòng)態(tài)Allan方差[5-6]、交疊式Allan[7]方差等方法，對(duì)陀螺輸出信號(hào)進(jìn)行誤差辨識(shí)，為下一步濾波提供依據(jù)。

動(dòng)態(tài)Allan方差(DAVAR)最初是一種分析原子鐘時(shí)變穩(wěn)定性的工具，其本質(zhì)是通過(guò)使用窗函數(shù)在不同的時(shí)間間隔內(nèi)計(jì)算Allan方差，最終將得到的結(jié)果繪制在三維圖形內(nèi)進(jìn)行分析。但由于窗函數(shù)的長(zhǎng)度缺乏靈活性，在信號(hào)追蹤能力和方差置信度無(wú)法兼顧[8]，會(huì)對(duì)分析的結(jié)果產(chǎn)生諸多弊端。汪立新等引入截?cái)啻皟?nèi)峭度值，并建立以峭度為變量的自適應(yīng)窗函數(shù)[9]；楊浩天等提出了一種σ2作為判據(jù)動(dòng)態(tài)調(diào)整自適應(yīng)窗函數(shù)截取信號(hào)[10]；張娜等提出窗函數(shù)組合法和噪聲量值二維表示法對(duì)DAVAR進(jìn)行改進(jìn)[11]，但依然不能精確評(píng)估各噪聲的變化特征。

針對(duì)傳統(tǒng)DAVAR法存在的不足，文中提出一種基于分形維數(shù)調(diào)整窗長(zhǎng)的改進(jìn)DAVAR算法。

1 Allan方差理論及分形維數(shù)

1.1 Allan方差原理

(1)

取不同τ下的σ2(τ)繪制成Allan方差曲線。

1.2 誤差模型

如表1所示，不同功率譜密度分布的噪聲會(huì)在Allan方差中以不同分量形式體現(xiàn)，即可辨識(shí)隨機(jī)誤差的各類噪聲項(xiàng)。

表1 MEMS陀螺隨機(jī)誤差項(xiàng)Allan方差特性

假設(shè)各噪聲源統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則Allan方差擬合模型可表示為：

(2)

1.3 分形維數(shù)計(jì)算與判據(jù)

分形理論從時(shí)間序列數(shù)據(jù)中研究復(fù)雜非線性問(wèn)題，是描述信號(hào)無(wú)序程度和復(fù)雜度的無(wú)量綱指標(biāo)[12]。對(duì)于噪聲信號(hào)，分形維數(shù)越大表明該信號(hào)復(fù)雜度和非平穩(wěn)性高，越小表明信號(hào)越單一且具有規(guī)律性[13]。常見(jiàn)的分形維數(shù)計(jì)算方法有[14]：計(jì)盒維數(shù)法、關(guān)聯(lián)維數(shù)法、Hurst指數(shù)法、小島法、半方差法[15]等。

測(cè)量時(shí)間序列得到z(t)，其半方差為：

(3)

式中:j為測(cè)量時(shí)間序列號(hào);Δt為間距。對(duì)于分形曲線，存在Δt與r(Δt)的冪值關(guān)系r(Δt)∝Δtp，其中p為冪指數(shù)，將Δt與r(Δt)繪制到雙對(duì)數(shù)曲線中，回歸后，可以得到其斜率為p，則分形維數(shù)值為：

(4)

根據(jù)分形維數(shù)的定義，當(dāng)信號(hào)發(fā)生較大的波動(dòng)時(shí)，區(qū)間分形維數(shù)增大，D值不斷增加。因此可以將D值作為檢測(cè)突變信號(hào)的判據(jù)，根據(jù)D值的變化來(lái)實(shí)時(shí)表征信號(hào)突變特征。

2 DAVAR的窗函數(shù)設(shè)計(jì)

DAVAR是在Allan方差的基礎(chǔ)上，利用滑動(dòng)窗函數(shù)原理，在不同相關(guān)時(shí)間內(nèi)利用矩形窗函數(shù)截?cái)噍敵鰯?shù)據(jù)，重復(fù)估計(jì)Allan方差，將結(jié)果繪制在三維圖形中，對(duì)信號(hào)的評(píng)定不再局限于二維曲線中。

窗函數(shù)長(zhǎng)度的設(shè)計(jì)，影響算法跟蹤動(dòng)態(tài)噪聲的快慢。短窗口內(nèi)數(shù)據(jù)少，跟蹤及時(shí)，但會(huì)導(dǎo)致方差的置信度降低；長(zhǎng)窗口利于計(jì)算，估計(jì)置信度越高，但抗干擾能力弱，無(wú)法及時(shí)跟蹤突變。

以D值為判據(jù)設(shè)計(jì)改進(jìn)窗長(zhǎng)函數(shù)為：

(5)

(6)

通過(guò)改進(jìn)窗長(zhǎng)函數(shù)，能保證隨著信號(hào)的突變程度來(lái)實(shí)時(shí)改變窗口長(zhǎng)度。

3 D-DAVAR改進(jìn)算法設(shè)計(jì)

以分形維數(shù)為依據(jù)的D-DAVAR算法具體步驟如下：

1)對(duì)隨機(jī)信號(hào)z(t)，時(shí)間起始點(diǎn)設(shè)為t1。

2)z(t)被中心點(diǎn)t1、起始寬度為W(t1)的窗函數(shù)截?cái)?，獲得窗口截?cái)嘈盘?hào)yW(t1)，支撐變量t′描述窗內(nèi)漸逝的時(shí)間為：

(7)

長(zhǎng)度W(t)的矩形窗函數(shù)PW(t)定義為：

(8)

則截取信號(hào)為：

yW(t1,t′)=y(t′)PW(t1-t′)

(9)

3)根據(jù)式(4)計(jì)算截?cái)嘈盘?hào)yW(t1,t′)的D(t1)，按照式(5)確定下一時(shí)刻窗長(zhǎng)。

4)建立一個(gè)增量過(guò)程,Δ(t1,t′,τ)定義為截?cái)嘈盘?hào)yW(t1,t′)與Allan窗口hτ(t′)的卷積：

(10)

其中：

(11)

參數(shù)0<τ≤τmax,τmax是最大觀察間隔，通常取τmax=W/3，則可以定義為：

(12)

將t1時(shí)刻動(dòng)態(tài)Allan方差定義為總體平均值：

(13)

式中〈〉為求總體平均符號(hào)。

5)通過(guò)最小二乘法，即可擬合分離出當(dāng)前時(shí)刻陀螺的各項(xiàng)噪聲系數(shù)。

7)將結(jié)果繪制在三維圖中。

4 仿真及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證文中提出的改進(jìn)方法，采集某MEMS陀螺動(dòng)態(tài)輸出信號(hào)，預(yù)處理后采樣4 000個(gè)數(shù)據(jù)，采樣周期20 ms，輸出信號(hào)如圖1所示，圖中z(t)代表MEMS陀螺動(dòng)態(tài)輸出。

圖1 陀螺儀輸出信號(hào)

圖2 不同窗口長(zhǎng)度的DAVAR分析

由圖2可看出：改進(jìn)方法將長(zhǎng)短窗口的顯性優(yōu)勢(shì)結(jié)合，信號(hào)突變處較好的反映其特性，在平穩(wěn)處也表現(xiàn)較為平滑。

在改進(jìn)DAVAR算法中，D值與窗口長(zhǎng)度的變化過(guò)程如圖3、圖4所示。

圖3 D值變化過(guò)程

圖4 窗口長(zhǎng)度變化過(guò)程

不同窗口長(zhǎng)度下對(duì)突變信號(hào)的跟蹤能力如表2所示。

表2 突變位置比較表

由表2可以看出，自適應(yīng)窗長(zhǎng)的改進(jìn)方法在跟蹤信號(hào)突變能力上相比短窗口表現(xiàn)較好，且優(yōu)于長(zhǎng)窗口。

通過(guò)最小二乘擬合分辨出主要影響陀螺精度的噪聲系數(shù)。角度隨機(jī)游走N和零偏不穩(wěn)定性B在不同窗長(zhǎng)下隨時(shí)間變化的趨勢(shì)如圖5所示。

圖5 主要噪聲在不同窗口長(zhǎng)度的DAVAR分析

由5圖可看出：在突變處及時(shí)跟蹤到了信號(hào)的突變，并提高了信號(hào)置信水平。

各項(xiàng)噪聲系數(shù)均值表如表3所示，可以清晰地看出改進(jìn)的方法表現(xiàn)較好。

表3 噪聲系數(shù)估計(jì)均值

5 結(jié)論

在DAVAR算法基礎(chǔ)上提出一種基于分形維數(shù)調(diào)整窗長(zhǎng)的改進(jìn)算法，對(duì)陀螺輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法可較準(zhǔn)確的跟蹤和描述非平穩(wěn)信號(hào)，以較高的置信度對(duì)彈載環(huán)境下噪聲進(jìn)行辨識(shí)，有利于慣性器件誤差的建模與分析，為下一步濾波提供依據(jù)。