高斯矩陣測度集中不等式的相關(guān)證明

鄭 珂，宋儒瑛

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030619)

0 引言

證明高斯隨機(jī)測量矩陣滿足RIP性質(zhì)時(shí)，需要借助測度集中不等式的輔助.第一部分修正了高斯矩陣的測度集中不等式，在文獻(xiàn)[1]中，這類不等式如下：

本文對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行了修正，使得集中不等式的界改進(jìn)的更加具體.

在實(shí)際應(yīng)用中，測度集中不等式也有許多種，文獻(xiàn)[2]中介紹了集中測量，其中包括隨機(jī)矩陣的集中測量以及矩陣特征值的集中測量，文獻(xiàn)[3]也有對(duì)矩陣特征值集中測量的介紹，文獻(xiàn)[1]中第九章主要介紹了隨機(jī)矩陣奇異值的集中測量，其中定理9.26證明了高斯隨機(jī)測量矩陣奇異值的測度集中不等式，本文在這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對(duì)亞高斯隨機(jī)矩陣奇異值的測度集中不等式，以及復(fù)高斯隨機(jī)矩陣奇異值的測度集中不等式進(jìn)行了證明，將這部分內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充.

1 高斯矩陣測度集中不等式的修正

由于高斯隨機(jī)矩陣是屬于亞高斯隨機(jī)矩陣的，亞高斯隨機(jī)矩陣是屬于一大類隨機(jī)矩陣，其定義陳述如下：

定義1[1]設(shè)Y∈RN是一隨機(jī)向量.

(b)若對(duì)于?x∈RN并且‖x‖2=1，隨機(jī)變量〈Y,x〉是亞高斯的并且高斯參數(shù)為c且獨(dú)立于x，即，E[exp(θ〈Y,x〉)]≤exp(cθ2)，對(duì)于?θ∈R,‖x‖2=1,那么Y表示亞高斯隨機(jī)向量.

高斯矩陣的修正測度集中不等式陳述如下：

定理1設(shè)A∈Rm×N是高斯隨機(jī)矩陣.對(duì)于?x∈RN以及t∈(0,1)，

證明 設(shè)x∈RN.矩陣A∈Rm×N，不失一般性我們可以假設(shè)‖x‖2=1，我們用Y1,…,Ym∈RN表示矩陣A的列，并且考慮隨機(jī)變量

因?yàn)閅是各向同性的，我們可得EZ=0.再者，Z是次指數(shù)的由于〈Y,x〉是高斯的，即亞高斯的，對(duì)于?r>0，觀察得當(dāng)θ=1時(shí)，滿足以下等式

根據(jù)次指數(shù)推導(dǎo)公式P(|Z|≥r)≤βexp(-kr)可知β=1,k=1，所以

通過Y的獨(dú)立性，Z也是獨(dú)立的.因此，對(duì)于次指數(shù)隨機(jī)變量通過伯恩斯坦不等式[1][2][5]可以推導(dǎo)得

根據(jù)題設(shè)條件t∈(0,1)，與上述區(qū)間求交集可得當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，

結(jié)論顯然成立.

2 亞高斯隨機(jī)矩陣奇異值的測度集中不等式

在Simon Foucart和Holger Rauhut.研究的基礎(chǔ)上，本節(jié)重點(diǎn)證明亞高斯矩陣奇異值的測度集中不等式，以及復(fù)高斯矩陣奇異值的測度集中不等式.

證明 證明時(shí)我們可以借鑒文獻(xiàn)[1]中定理9.26的證明過程

首先引入亞高斯過程

文獻(xiàn)[5]有對(duì)亞高斯隨機(jī)過程的定義，其中g(shù)∈Rs,h∈Rm是兩個(gè)獨(dú)立亞高斯隨機(jī)向量.

|σmin(A)-σmin(B)|≤‖A-B‖2→2≤‖A-B‖F(xiàn).

見文獻(xiàn)[2]中4.2節(jié).根據(jù)文獻(xiàn)[1]中定理9.21可知集中測量如下：

由于g∈Rs是亞高斯隨機(jī)向量，那么向量中g(shù)=(g1,…,gs)∈Rs每個(gè)分量都服從亞高斯隨機(jī)分布，即，g～Sub(c2),∈[s].見文獻(xiàn)[6]中定理1.1以及[4]中(2.2)可得

由于h∈Rm是亞高斯隨機(jī)向量，那么向量中h=(h1,…,hm)∈Rm每個(gè)分量都服從亞高斯隨機(jī)分布，即，hi～Sub(1),i∈[m].

通過文獻(xiàn)[1]中命題8.1(b)以及引理C.4，我們進(jìn)一步可以得到

結(jié)果得證.

證明 對(duì)于復(fù)數(shù)矩陣這里我們需要對(duì)復(fù)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行一個(gè)簡單的羅列

其中pj,qj,αj,βj都是獨(dú)立零均值高斯隨機(jī)變量，并且方差為1.

我們借鑒文獻(xiàn)[1]中定理9.26的證明過程完成這個(gè)證明.

首先引入根據(jù)高斯過程

其中g(shù)∈Cs,h∈Cm都是兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)向量，g中每個(gè)元素為gj=pj+qji

g=p+qi,p=(p1,…,ps),q=(q1,…,qs),

h中每個(gè)元素為hi=αi+βii

h=α+βi,α=(α1,…,αm),β=(β1,…,βm),

pj(j=1,…,s),qj(j=1,…,s),αi(i=1,…,m),βj(j=1,…,m)

都是標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)變量.

接著根據(jù)文獻(xiàn)[1]中(9.43)可得

P(σmax(A)≥E[σmax(A)]+r)≤e-r2/2

其中

那么上式轉(zhuǎn)化為

同理，

P(σmin(A)≤E[σmin(A)]-r)≤e-r2/2

其中

由此帶入到概率不等式中，可得

結(jié)果得證.

3 結(jié)束語

本文在文獻(xiàn)[1]研究的基礎(chǔ)上，對(duì)高斯隨機(jī)矩陣測度集中不等式修正定理進(jìn)行了證明，并且類比高斯隨機(jī)矩陣測度集中不等式，補(bǔ)充并證明了亞高斯隨機(jī)矩陣奇異值以及復(fù)高斯隨機(jī)矩陣奇異值的測度集中不等式，使得壓縮感知中涉及的隨機(jī)矩陣測度集中不等式的研究更加完整.