基于編碼電磁超表面的Bessel 波束設(shè)計(jì)

馮強(qiáng) 林屹峰 單明明 李龍

（1. 西安電子科技大學(xué) 超高速電路設(shè)計(jì)與電磁兼容教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071；2. 人工智能與數(shù)字經(jīng)濟(jì)廣東省實(shí)驗(yàn)室 智能超材料中心，廣州 510330）

引 言

電磁超材料理論和技術(shù)的發(fā)展從最初的等效媒質(zhì)理論設(shè)計(jì)發(fā)展到現(xiàn)在的信息超材料[1-9]，經(jīng)歷了從模擬時(shí)代到數(shù)字時(shí)代的轉(zhuǎn)變[3]. 從最初基于等效媒質(zhì)理論進(jìn)行的單負(fù)(介電常數(shù)為負(fù)或磁導(dǎo)率為負(fù))和雙負(fù)(介電常數(shù)和磁導(dǎo)率均為負(fù))材料設(shè)計(jì)[1-2]，然后又經(jīng)歷了編碼超材料、數(shù)字超材料和基于數(shù)字可編程器件的可編程超材料[4-5,10]，之后電磁超材料又進(jìn)一步結(jié)合了信息科學(xué)中的信息論和智能調(diào)控算法[11-13].目前電磁超材料的概念和理論已延伸至信息超材料[6-9].

電磁超表面是電磁超材料的一種二維實(shí)現(xiàn)形式，而目前大多數(shù)的電磁超材料對于電磁波的調(diào)控是通過電磁超表面的形式來實(shí)現(xiàn)的[6,14]. 鑒于電磁超表面對于電磁波的靈活調(diào)控能力，其可以用于Bessel波束的產(chǎn)生與調(diào)控設(shè)計(jì)[15-22]. Bessel 波束最早是由Durnin J. 在1987 年提出的，它是滿足波動(dòng)方程在自由空間中的一個(gè)解[23-24]. 早期關(guān)于Bessel 波束的研究主要在光學(xué)領(lǐng)域，后來逐漸發(fā)展到了電磁領(lǐng)域[25-26]，而Bessel 波束在近場探測成像[27-29]以及近場無線功率/信息傳輸?shù)确矫婢兄匾獞?yīng)用[17,30-33].

本文以編碼電磁超材料作為切入點(diǎn)，基于編碼電磁超表面的設(shè)計(jì)理論與設(shè)計(jì)方法，為Bessel 波束的數(shù)字化產(chǎn)生與調(diào)控提供新的設(shè)計(jì)思路. 同時(shí)，Bessel波束在面向信息超材料平臺(tái)/系統(tǒng)開展有關(guān)的應(yīng)用研究時(shí)，也可以進(jìn)一步促進(jìn)其在雷達(dá)探測與成像以及無線通信等領(lǐng)域中的應(yīng)用. 文獻(xiàn)[34] 中構(gòu)建的可編程編碼超表面平臺(tái)，在進(jìn)行軌道角動(dòng)量(orbital angular momentum, OAM)渦旋波通信傳輸實(shí)驗(yàn)時(shí)就采用了渦旋波束聚焦的設(shè)計(jì)方法以提高平臺(tái)的通信性能. 由于都是采用了數(shù)字化編碼設(shè)計(jì)方案，基于編碼電磁超表面的Bessel-OAM 波束設(shè)計(jì)方案也可以較為直接地應(yīng)用到該可編程超表面平臺(tái)上來進(jìn)行具有波束匯聚能力的Bessel-OAM 渦旋波束傳輸與設(shè)計(jì)，以起到提升渦旋波束通信傳輸性能的作用.

本文的主要內(nèi)容如下：首先對Bessel 波束的基本理論和設(shè)計(jì)方法進(jìn)行介紹，并以反射型人工電磁表面產(chǎn)生Bessel 波束的設(shè)計(jì)為例進(jìn)行較為詳細(xì)的舉例說明. 接著，設(shè)計(jì)了一款反射型電磁超表面單元并對其進(jìn)行編碼設(shè)計(jì)，以用于能夠產(chǎn)生Bessel 波束的編碼電磁超表面設(shè)計(jì)，并給出了典型的反射型電磁超表面的全波電磁仿真模型. 然后基于基本的Bessel波束設(shè)計(jì)理論和構(gòu)建的編碼電磁超表面模型分別設(shè)計(jì)產(chǎn)生了多種不同類型的Bessel 波束，包括單波束零階Bessel 波束、雙波束零階Bessel 波束、單波束高階Bessel 波束以及雙波束高階Bessel 波束. 在設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)這些不同類型Bessel 波束的同時(shí)，分別給出對應(yīng)有關(guān)波束的具體設(shè)計(jì)方法和與之相對應(yīng)的波束仿真結(jié)果. 最后是本文的總結(jié)部分.

1 Bessel 波束基本理論

首先，我們從最基本的波動(dòng)方程出發(fā)來探討B(tài)essel 波束的基本理論[23-24,35]. 在柱坐標(biāo)系中，自由空間中電場的波動(dòng)方程可以表示如下：

式(2)對應(yīng)波動(dòng)方程的解是在沒有任何邊界條件約束下所對應(yīng)的波動(dòng)方程的一個(gè)解，而實(shí)際的電磁波輻射問題還需要考慮到其中的一個(gè)邊界條件，即索末菲爾德輻射邊界條件(Sommerfeld radiation condition)[35]，然后通過分離變量法，可以得到對應(yīng)于波動(dòng)方程(1)的一個(gè)解，形式如下[35]：

式中，Eout(r,φ,z)、Ein(r,φ,z)分別表示關(guān)于柱坐標(biāo)系中Z軸的外行和內(nèi)行錐形波束，當(dāng)內(nèi)行錐形波束經(jīng)過坐標(biāo)系Z軸后便轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的外行錐形波束. 兩種波束交匯的坐標(biāo)系Z軸附近，二者進(jìn)行疊加之后便形成了式(4)中的Bessel 波束，由于其只在有限的區(qū)域內(nèi)保持，故將其稱為準(zhǔn)Bessel 波束，并非嚴(yán)格意義上的理想Bessel 波束. 詳盡的推導(dǎo)和解釋可以參考文獻(xiàn)[35].

以反射型電磁超表面模型為例，對上述產(chǎn)生Bessel波束的基本原理與方法作進(jìn)一步介紹. 圖1 所示為一個(gè)經(jīng)由反射型電磁超表面產(chǎn)生偏轉(zhuǎn)的Bessel 波束原理示意圖，u?0表示波束偏轉(zhuǎn)指向. 經(jīng)由電磁超表面調(diào)控之后的內(nèi)行錐形電磁波束經(jīng)過坐標(biāo)系的Z′軸之后變成外行的錐形波束，而內(nèi)行的錐形波束和外行的錐形波束在Z′軸附近交匯疊加形成了相應(yīng)的Bessel 波束區(qū)域. 其中，tan α=kr/kz， α表示對應(yīng)錐形波束的錐角大小. 這一電磁波束調(diào)控過程構(gòu)成了產(chǎn)生Bessel 波束的基本原理.

圖1 基于反射型電磁超表面產(chǎn)生Bessel 波束的原理示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the reflective metasurface for Bessel beams generation

2 Bessel 波束產(chǎn)生設(shè)計(jì)

基于第1 節(jié)的Bessel 波束基本理論，以反射型編碼電磁超表面為模型，分別對不同形式的Bessel波束進(jìn)行設(shè)計(jì)和仿真實(shí)現(xiàn). 先給出Bessel 波束設(shè)計(jì)時(shí)所采用的反射型電磁超表面單元及其有關(guān)的仿真參數(shù)與電磁響應(yīng)特性，以及反射型電磁表面模型；然后針對不同類型Bessel 波束設(shè)計(jì)給出具體與之相對應(yīng)的設(shè)計(jì)方法以及仿真結(jié)果，并作簡要分析.

2.1 反射型編碼電磁超表面設(shè)計(jì)

本小節(jié)主要對反射型編碼電磁超表面的單元形式與設(shè)計(jì)參數(shù)、電磁超表面單元的電磁響應(yīng)特性、反射型編碼電磁超表面的編碼方式以及超表面的陣列形式等有關(guān)設(shè)計(jì)方案與設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行介紹.

2.1.1 反射型編碼電磁超表面單元設(shè)計(jì)

對于反射型編碼電磁超表面的單元設(shè)計(jì)形式，選取經(jīng)典的“耶路撒冷(Jerusalem)”方環(huán)結(jié)構(gòu)[36]. 圖2所示為我們設(shè)計(jì)的反射型電磁超表面單元結(jié)構(gòu)形式，表1 為該單元結(jié)構(gòu)的具體設(shè)計(jì)參數(shù)，中心工作頻率為10 GHz. 編碼電磁超表面主要通過對超表面單元進(jìn)行離散比特化設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn).

圖2 反射型電磁超表面單元結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 2 Geometry structure diagram of the designed reflective metasurface unit cell

表1 反射型電磁超表面單元結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab. 1 Geometry structure parameters of the designed reflective metasurface unit cellmm

圖3 為反射型電磁超表面單元的反射相位特性及相應(yīng)的超表面單元編碼狀態(tài)選取示意圖. 可以看出，通過改變超表面單元的長度參數(shù)Ly，可以實(shí)現(xiàn)超表面單元從0°～360°的任意反射相位響應(yīng). 編碼超表面進(jìn)行編碼設(shè)計(jì)的基本思路為：通過選取超表面單元的特定幾個(gè)反射相位狀態(tài)響應(yīng)來進(jìn)行超表面陣列的編碼設(shè)計(jì)，而不是選取連續(xù)的相位變化狀態(tài)；通過對電磁超表面的離散化和比特化設(shè)計(jì)，結(jié)合PIN二極管加載和后端的數(shù)字電路控制，便可以方便地實(shí)現(xiàn)電磁超表面的可編程設(shè)計(jì)和數(shù)字化設(shè)計(jì)[4,37-38].

圖3 反射型電磁超表面單元的反射相位隨單元尺寸Ly 變化曲線及編碼狀態(tài)選取Fig. 3 Reflection phase curve vs. the length of the reflective metasurface unit cell, and the schematic diagram of the coding statements

從圖3 連續(xù)變化的相位曲線中選取4 種不同的狀態(tài)來實(shí)現(xiàn)超表面單元的2 比特編碼設(shè)計(jì)，分別選取超表面單元反射相位為 0°、-90°、180°和+90°這4 種離散狀態(tài)作為“00”、“01”、“10”和“11”這4 種不同的編碼狀態(tài). 在后續(xù)的編碼電磁超表面陣列設(shè)計(jì)過程中，采用這4 種編碼狀態(tài)的超表面單元進(jìn)行有關(guān)Bessel 波束的產(chǎn)生與調(diào)控設(shè)計(jì).

為進(jìn)一步說明電磁超表面單元的電磁響應(yīng)特性，圖4 給出了反射型電磁超表面單元反射幅度特性隨單元尺寸參數(shù)Ly的變化曲線. 可以看出，該反射型超表面單元具有良好的反射特性，在設(shè)計(jì)的變化尺寸范圍內(nèi)該單元基本可以保持大于-0.15 dB 的反射效果，在實(shí)際陣列設(shè)計(jì)過程中近似認(rèn)為其與全反射的效果等同.

圖4 反射型電磁超表面單元的反射幅度隨單元尺寸Ly 變化曲線Fig. 4 Reflection amplitude curve vs. the length of the reflective metasurface unit cell

2.1.2 反射型編碼電磁超表面陣列設(shè)計(jì)

編碼電磁超表面陣列的設(shè)計(jì)與連續(xù)型電磁超表面的設(shè)計(jì)以及傳統(tǒng)反射陣列天線的設(shè)計(jì)流程基本一致. 相比于傳統(tǒng)連續(xù)型電磁超表面的設(shè)計(jì)，在計(jì)算得到編碼超表面口徑面所需的口徑場相位分布之后，還需對該口徑場相位分布進(jìn)行離散化處理，即需要將口徑面上的相位分布值近似地對應(yīng)到相應(yīng)超表面單元的離散狀態(tài)所具有的那個(gè)相位值.

圖5 所示為一個(gè)典型的單饋源反射型電磁超表面設(shè)計(jì)模型. 其中饋源喇叭的位置為(fx,fy,fz)，超表面產(chǎn)生的其中一個(gè)波束指向?yàn)閡?0=(θ0,φ0). 將超表面上任意位置處的超表面單元所在位置記為(xmn,ymn)，m和n分別表示超表面單元位于超表面陣列的行數(shù)和列數(shù).

圖5 單饋源反射型電磁超表面設(shè)計(jì)仿真模型Fig. 5 Simulation model of the designed single feed reflective metasurface

超表面陣列的設(shè)計(jì)關(guān)鍵在于對波束在超表面陣列口徑上所需要的口徑場相位分布的計(jì)算. 下面以零階單波束Bessel 波束的設(shè)計(jì)過程為例進(jìn)行說明.反射型電磁超表面陣列口徑面上的切向電場分布可以表示為

式中：k表示對應(yīng)的波數(shù)；dmn表示饋源喇叭的相位中心和(xmn,ymn)位置處超表面單元的距離； λ表示波長；α對應(yīng)于圖1 中用于產(chǎn)生Bessel 波束的錐角大小. 由此，根據(jù)方程式(5)～(8)便可以由具體要設(shè)計(jì)的波束計(jì)算得到相應(yīng)的口徑面相位分布，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)電磁超表面的波束調(diào)控功能設(shè)計(jì). 一般對于反射型電磁超表面的設(shè)計(jì)，對應(yīng)各超表面單元的幅度響應(yīng)是相同的，即對A(xmn,ymn)這一項(xiàng)取常數(shù)值.

對零階Bessel 波束的設(shè)計(jì)，需先對反射型編碼電磁超表面有關(guān)的參數(shù)進(jìn)行確定. 饋源喇叭口面到超表面的距離為(fx,fy,fz) = (0, 0, 300) mm，超表面的陣列規(guī)模為40×40，對應(yīng)選取一個(gè)半徑為200 mm 的圓形區(qū)域作為實(shí)際設(shè)計(jì)的超表面區(qū)域，它也同時(shí)對應(yīng)著20 個(gè)超表面陣元的排布數(shù)量. 整體超表面陣列大小為420 mm×420 mm，超表面所采用的介質(zhì)基板類型是相對介電常數(shù)為 εr=2.65 的F4B、厚度為3 mm.單波束零階Bessel 波束指向u?0=(θ0,φ0) = (30°，0°)，圓錐角α=10°.

根據(jù)以上參數(shù)及方程式(5)～(8)對該超表面設(shè)計(jì)所需要的口徑場補(bǔ)償相位分布進(jìn)行計(jì)算，如圖6所示. 圖6(a)為連續(xù)型口徑相位分布，編碼超表面設(shè)計(jì)的關(guān)鍵步驟在于對連續(xù)型相位的離散化和狀態(tài)編碼；而圖6(b) 為對應(yīng)于圖6(a) 且經(jīng)過2 比特離散量化之后的編碼相位分布，4 種不同的相位狀態(tài)0°、-90°、180°以及+90°分別對應(yīng)“00”、“01”、“10”和“11”這4 種不同的編碼狀態(tài). 基于圖6(b)中的離散相位分布及其與圖3 中編碼超表面單元的對應(yīng)關(guān)系，可以對應(yīng)得到圖7 所示的反射型編碼電磁超表面陣列設(shè)計(jì)及其對應(yīng)模型.

圖6 反射型電磁超表面口徑相位分布Fig. 6 Phase distributions on the reflective metasurface array aperture

圖7 反射型編碼電磁超表面陣列模型Fig. 7 Layout model of the designed reflective coding metasurface

以上即是編碼電磁超表面的基本設(shè)計(jì)過程. 在文章的后續(xù)部分，基于此設(shè)計(jì)過程分別對不同類型的Bessel 波束進(jìn)行設(shè)計(jì)和仿真，且主要給出對應(yīng)不同類型Bessel 波束的產(chǎn)生設(shè)計(jì)方法以及對應(yīng)得到的仿真結(jié)果，而與之相對應(yīng)的中間設(shè)計(jì)過程將不再詳述.

2.2 不同類型Bessel 波束設(shè)計(jì)與仿真

首先對零階Bessel 波束分別進(jìn)行單波束和多波束的設(shè)計(jì)，并給出與之對應(yīng)的仿真結(jié)果；然后對高階Bessel 波束進(jìn)行設(shè)計(jì)仿真，并給出不同階Bessel波束的單波束和多波束設(shè)計(jì)方法. 對高階Bessel 波束來講，其自身具有OAM 特性[18,20,35,39-41]，而Bessel波束自身的階數(shù)也與相應(yīng)的OAM 模態(tài)階數(shù)對應(yīng)，在對應(yīng)的設(shè)計(jì)部分將進(jìn)行詳細(xì)介紹.

2.2.1 單波束零階Bessel 波束設(shè)計(jì)與仿真

基于2.1 節(jié)中對單波束零階Bessel 波束設(shè)計(jì)所得到的反射型編碼電磁超表面電磁仿真模型，通過電磁仿真計(jì)算得到其所對應(yīng)的空間電場分布結(jié)果，如圖8 所示. 圖8(a)中，Z′軸對應(yīng)于偏轉(zhuǎn)的Bessel 波束傳播軸，場觀察面與波束傳播軸垂直，且位于Z′=600 mm 處. 圖8(b)為與Bessel 波束傳播軸平行的軸截面內(nèi)的電場強(qiáng)度分布仿真結(jié)果. 可以看出，反射型編碼電磁超表面設(shè)計(jì)確實(shí)產(chǎn)生了預(yù)期的偏轉(zhuǎn)零階Bessel 波束，說明了設(shè)計(jì)方案的有效性.

圖8 單波束零階Bessel 波束在觀察面內(nèi)的電場強(qiáng)度分布Fig. 8 Electric field intensity distribution of the single beam Bessel beam of the zero order in the observation plane

2.2.2 雙波束零階Bessel 波束設(shè)計(jì)與仿真

基于2.1 節(jié)中的方程式(5)，多波束零階Bessel波束對應(yīng)的反射型電磁超表面陣列口徑面上的切向電場分布可以表示為

雙波束零階Bessel 波束兩個(gè)波束指向分別為u?1=(θ1,φ1)=(30°，0°)和u?2=(θ2,φ2) =(-30°，0°). 圖9 為雙波束零階Bessel 波束仿真模型和對應(yīng)的空間電場仿真觀察面設(shè)置及觀察面內(nèi)的電場分布仿真結(jié)果.觀察面的大小和位置參數(shù)與圖8 中均相同，后邊所有仿真模型的場觀察面的參數(shù)設(shè)置也均與此相同.

圖9 雙波束零階Bessel 波束在觀察面內(nèi)的電場強(qiáng)度分布Fig. 9 Electric field intensity distributions of the dual beams Bessel beam of the zero order in the observation planes

2.2.3 單/雙波束高階Bessel 波束設(shè)計(jì)與仿真

零階Bessel 波束對應(yīng)于方程式(4) 中的? = 0，而高階Bessel 波束對應(yīng)的?取值為非零整數(shù)，因此高階Bessel 波束的電場表達(dá)式中比零階Bessel 波束多了exp(j?φ)，與電磁波的OAM 相對應(yīng)[39,41]，說明高階Bessel 波束本身就具有OAM 屬性. 同時(shí)，鑒于電磁超表面具有的對于渦旋電磁波束的產(chǎn)生與調(diào)控能力[42-45]，基于反射型編碼電磁超表面對高階Bessel 渦旋波束進(jìn)行設(shè)計(jì)，并對其OAM 渦旋場分布進(jìn)行分析.

用于產(chǎn)生高階Bessel 波束所需要的超表面口徑相位分布計(jì)算公式為

相比于式(5)，式(10)中對于口徑場相位分布的計(jì)算增加了φOAM這一項(xiàng)，φOAM=arg{exp(j?φ)}，產(chǎn)生對應(yīng)的OAM，對應(yīng)的階數(shù)?即高階Bessel 波束的階數(shù)，通過式(10)即可實(shí)現(xiàn)單波束高階Bessel 波束的設(shè)計(jì).多波束高階Bessel 波束的設(shè)計(jì)參照式(9)，可以寫成如下形式：

式中：i表示不同的波束類型；φf,i、φd,i、φcone,i、φOAM,i分別對應(yīng)不同類型波束的具體參數(shù)設(shè)置. 口徑場幅度項(xiàng)A(xmn,ymn)同樣近似為等幅均勻分布，這樣的近似處理會(huì)給設(shè)計(jì)尤其是多波束的設(shè)計(jì)引入誤差. 其雖可以通過一些陣列優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法進(jìn)行較為準(zhǔn)確的設(shè)計(jì)[46]，但一般在進(jìn)行原理方法驗(yàn)證和說明的設(shè)計(jì)中不作為主要矛盾，因此通過等幅度均勻分布的近似處理可以帶來設(shè)計(jì)上的簡便.

圖10 和圖11 分別為建模仿真得到的單波束2 階Bessel 波束在對應(yīng)的場觀察平面內(nèi)的電場分布仿真結(jié)果，波束偏轉(zhuǎn)方向?yàn)閡?0=(θ0,φ0) =(30°，0°). 通過渦旋場典型的環(huán)形電場強(qiáng)度分布(圖11(a))和螺旋相位分布(圖11(b)) 說明高階Bessel 波束與渦旋波束具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性.

圖10 單波束2 階Bessel 波束在與波束傳播軸平行的觀察面內(nèi)的電場強(qiáng)度分布Fig. 10 Electric field intensity distribution of the single beam Bessel beam of the second order in the observation plane

圖11 單波束2 階Bessel 波束在與波束傳播軸垂直的觀察面內(nèi)的渦旋電場強(qiáng)度分布與相位分布Fig. 11 Electric field intensity and phase distribution of the single beam Bessel beam of the second order in the observation plane

基于式(11) 給出了一個(gè)雙波束高階Bessel 波束的設(shè)計(jì)，可以同時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)指向不同階數(shù)?也不同的Bessel 波束. 設(shè)計(jì)參數(shù)為：波束1 指向?yàn)閡?1=(θ1,φ1)=(30°，0°)， ?1= 1；波束2 指向?yàn)閡?2= (θ2,φ2) =(-30°，0°)， ?2= -1. 圖12 和圖13 分別為雙波束高階Bessel 波束在給定的空間觀察面內(nèi)的電場分布仿真結(jié)果. 可以看出，預(yù)期的波束方向產(chǎn)生了所要設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的高階Bessel 波束，證明了設(shè)計(jì)的有效性.

圖12 雙波束高階Bessel 波束在與波束傳播軸平行的觀察面內(nèi)的電場強(qiáng)度分布Fig. 12 Electric field intensity distributions of the dual Bessel beams of the first order in the observation planes

3 結(jié) 論

本文主要對多種不同類型Bessel 波束的產(chǎn)生設(shè)計(jì)原理和設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了介紹和梳理，并以反射型編碼電磁超表面作為具體的實(shí)現(xiàn)方式，分別設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了零階/高階的單波束/雙波束Bessel 波束，通過全波電磁仿真的方法分別仿真計(jì)算了對應(yīng)不同類型Bessel 波束的空間電場分布特性，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性. 編碼電磁超表面作為信息超材料的一個(gè)重要研究分支，通過編碼電磁超表面設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)Bessel波束調(diào)控的方法可以進(jìn)一步應(yīng)用到有關(guān)的信息超材料系統(tǒng)的設(shè)計(jì)當(dāng)中，有效促進(jìn)Bessel 波束將來在近場無線能量/信息傳輸以及雷達(dá)探測與成像中的應(yīng)用.