用Matlab實(shí)現(xiàn)恒定電場(chǎng)的可視化

衛(wèi) 延，胡治煒，徐海林，黃郁盈

(1.北京交通大學(xué) 全光網(wǎng)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100044；2.北京交通大學(xué)，北京100044)

0 引言

“電磁場(chǎng)與電磁波”課程內(nèi)容抽象，理論性強(qiáng)，難度大?？梢暬侄文軒?lái)極大的直觀性，清晰美觀的場(chǎng)分布圖形和生動(dòng)形象的場(chǎng)演化動(dòng)畫(huà)有助于學(xué)生理解抽象的電磁場(chǎng)內(nèi)容[1-4]。有不少軟件被應(yīng)用于電磁場(chǎng)可視化教學(xué)，如Matlab[2-4]、Mathmatica[5]、ComsolMultiphysics[6]，HFSS[7]等，其中Matlab應(yīng)用最廣泛。利用Matlab的命令contour,streamline,quiver等，可以繪制等位面、電場(chǎng)線(xiàn)、磁力線(xiàn)等，清楚地表示詳盡的場(chǎng)分布形態(tài)[2,4,8]。由于Matlab操作簡(jiǎn)單，學(xué)生易用Matlab來(lái)做電磁場(chǎng)圖形和動(dòng)畫(huà)，從而促進(jìn)其深入理解電磁場(chǎng)的理論和方法。

“電磁場(chǎng)與電磁波”課程內(nèi)容涵蓋場(chǎng)論、靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)、時(shí)變電磁場(chǎng)、平面電磁波、波導(dǎo)和天線(xiàn)基礎(chǔ)等，但現(xiàn)有的電磁場(chǎng)可視化成果，并沒(méi)有涵蓋課程的全部重要知識(shí)點(diǎn)，在有些章節(jié)，缺少足夠的可視化成果，尤其是時(shí)變電磁場(chǎng)和恒定電場(chǎng)兩章。恒定電場(chǎng)是電磁場(chǎng)理論的重要組成部分，對(duì)其中的電磁模型進(jìn)行可視化是必要的。

用Matlab可實(shí)現(xiàn)恒定電場(chǎng)的可視化。描繪電場(chǎng)矢量、電流密度矢量等矢量場(chǎng)的分布，既可以用quiver命令繪制點(diǎn)矢量圖，即在區(qū)域均勻選擇散點(diǎn)并附加箭頭，也可用streamline命令繪制流型的場(chǎng)圖[2，8]。相比quiver點(diǎn)矢量圖，用streamline命令繪制流線(xiàn)型場(chǎng)圖就會(huì)更加清楚美觀，能夠更加直觀地顯示恒定電場(chǎng)的全局概況和細(xì)節(jié)變化，具有清晰的物理含義。本文通過(guò)實(shí)例詳細(xì)論述用Matlab實(shí)現(xiàn)恒定電場(chǎng)可視化的方法，詳盡介紹流線(xiàn)型矢量場(chǎng)圖的繪制技巧，并用數(shù)字圖像處理技術(shù)對(duì)圖形進(jìn)行美化處理，以求獲得良好的可視化效果。

1 恒定電場(chǎng)可視化方法

相比恒定電場(chǎng)，靜電場(chǎng)的計(jì)算方法和可視化手段要更為豐富，且兩種場(chǎng)之間存在靜電比擬，所以在計(jì)算恒定電場(chǎng)物理量以及制作可視化圖形和動(dòng)畫(huà)時(shí)，自然可采用靜電比擬方法，將恒定電場(chǎng)的模型轉(zhuǎn)化為比擬的靜電場(chǎng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。

表1 恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)可比擬的物理量

將恒定電場(chǎng)模型轉(zhuǎn)化為可比擬的靜電場(chǎng)模型后，用靜電場(chǎng)的計(jì)算方法和可視化手段，容易求出恒定電場(chǎng)物理量，繪制恒定電場(chǎng)的，φ，的分布圖形。從表1可知，恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的和φ的表達(dá)式和分布圖形將會(huì)完全一樣。

亮度差分近似值在視覺(jué)上表現(xiàn)為圖片中線(xiàn)條的邊緣信息，將圖片線(xiàn)條的邊緣信息與原圖片的灰度級(jí)進(jìn)行相加，即可實(shí)現(xiàn)圖像的銳化，使繪制的等位線(xiàn)、電力線(xiàn)等更加清晰。下面以實(shí)例說(shuō)明用Matlab實(shí)現(xiàn)恒定電場(chǎng)的可視化的方法，其中所有的場(chǎng)分布圖形都采用上述方法進(jìn)行了圖像處理。

2 淺埋導(dǎo)體球的恒定電場(chǎng)分布

淺埋導(dǎo)體球是恒定電場(chǎng)的基本模型。設(shè)有一個(gè)半徑為α的淺埋導(dǎo)體球接地器[1]，球心距離地面h=0.9 m,h?α，導(dǎo)體球電位V=100 V，土壤電導(dǎo)率為σ=0.025 S/m。建立直角坐標(biāo)系，地面為xOy平面，導(dǎo)體球的球心位于(0,0,-h)處，怎么確定土壤中的和φ呢？

(1)

(2)

圖1 淺埋導(dǎo)體球附近電位和電力線(xiàn)分布圖

只有選擇合適的起點(diǎn)，才能繪制正確的電力線(xiàn)分布圖。對(duì)靜電比擬后的靜電場(chǎng)問(wèn)題，討論電力線(xiàn)起點(diǎn)的選擇。對(duì)某個(gè)半徑很小的孤立帶電導(dǎo)體球，當(dāng)距離它非常近時(shí)，遠(yuǎn)處其它電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)都可以忽略不計(jì)，同時(shí)，由于導(dǎo)體球的電荷均勻分布在導(dǎo)體球表面，所以導(dǎo)體球附近的電場(chǎng)是自身電荷產(chǎn)生的球?qū)ΨQ(chēng)場(chǎng)，因此用streamline 命令繪制電力線(xiàn)時(shí)，起點(diǎn)可以選擇為均勻分布在一個(gè)代表導(dǎo)體球表面的小圓周上的一系列點(diǎn)，該圓周以導(dǎo)體球中心點(diǎn)所在的位置為圓心。繪制圖1的Matlab代碼如下：

clear;

V=100;%V,導(dǎo)體球電壓

b=2.5;%m, 繪圖區(qū)域半寬度

h=0.9;%m, 導(dǎo)體球埋深

height=2.5;%m, 繪圖區(qū)域高度

a=0.01;%m, 導(dǎo)體球半徑

M=101;

[x,z]=meshgrid(-b:2*b/(M-1):b,

-height:2*height/(M-1):0);%設(shè)置網(wǎng)格點(diǎn)

phi=V*a*(1./sqrt(x.^2+(z-h).^2)+1./sqrt(x.^2+(z+h).^2));%電位

figure;contour(x,z,phi,61);%繪制等位面

hold on;%固定當(dāng)前圖形

axis equal;%設(shè)置x，z方向單位長(zhǎng)度相等

[Ex,Ez]=gradient(-phi);%電場(chǎng)

KK=1:18;

Max=max(KK);

aa=20*a;%電力線(xiàn)起點(diǎn)所在圓的半徑

x1=[aa*cos(2*pi/Max*KK+pi/2)];

z1=[-h+aa*sin(2*pi/Max*KK+pi/2)];%起點(diǎn)坐標(biāo)

streamline(x,z,Ex,Ez,x1,z1);%繪制電力線(xiàn)

3 多個(gè)導(dǎo)體球在漏電介質(zhì)中的恒定電場(chǎng)

設(shè)電導(dǎo)率為σ的無(wú)限大均勻漏電媒質(zhì)里有兩個(gè)導(dǎo)體小球[1]，半徑分別為r1和r2，中心距d=18 m，且d?r1，d?r2，小球之間的電壓V=5 V，計(jì)算和φ并制作可視化圖形。

以?xún)蓚€(gè)導(dǎo)體球中心點(diǎn)連線(xiàn)的中垂面為yOz平面，建立直角坐標(biāo)系。兩個(gè)導(dǎo)體球的中心點(diǎn)分別位于(-d/2,0,0)和(d/2,0,0)坐標(biāo)點(diǎn)上。用靜電比擬方法，轉(zhuǎn)化為靜電場(chǎng)問(wèn)題。此時(shí)兩個(gè)導(dǎo)體球帶等量異號(hào)電荷Q和-Q，小球間電壓為V=5 V，媒質(zhì)介電常數(shù)為ε，可用靜電場(chǎng)的相關(guān)計(jì)算方法求解電位φ：

(3)

計(jì)算出電位φ，用contour命令繪制等位面，如圖2中虛線(xiàn)所示；用[Ex,Ez]=gradient(φ)命令求得電場(chǎng)分量Ex和Ez，再用streamline繪制出電力線(xiàn)，如圖2中帶箭頭線(xiàn)實(shí)線(xiàn)所示。電力線(xiàn)起點(diǎn)選擇為導(dǎo)體球圓周上的一系列均布點(diǎn)。為避免streamline命令執(zhí)行時(shí)所電力線(xiàn)發(fā)生交疊和缺失現(xiàn)象，需要將圖2分成左右兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)域分別繪制。

圖2 無(wú)限大漏電媒質(zhì)中的等位面和電力線(xiàn)分布圖

4 無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線(xiàn)的電場(chǎng)分布

設(shè)很深的湖底上方高h(yuǎn)=0.5 m處懸浮著一根半徑為α的長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)[1]，α?h，導(dǎo)線(xiàn)平行于湖底。設(shè)湖底為良導(dǎo)體平面，電位為0，湖水電導(dǎo)率為σ，導(dǎo)線(xiàn)電位為V=5 V，求和φ并繪制場(chǎng)圖。通過(guò)靜電比擬方法找到對(duì)應(yīng)的靜電場(chǎng)問(wèn)題，即求無(wú)限大導(dǎo)體平面上方h=0.5 m處平行線(xiàn)電荷的場(chǎng)，可用鏡像法來(lái)求解，相當(dāng)于帶等值異號(hào)線(xiàn)電荷(單位長(zhǎng)度帶電量為ρL)的一對(duì)平行雙線(xiàn)產(chǎn)生的場(chǎng)。以導(dǎo)線(xiàn)中心線(xiàn)方向?yàn)閦軸，以湖底為xOz平面建立直角坐標(biāo)系。利用平行雙線(xiàn)電位公式導(dǎo)出電位：

(4)

其中：

計(jì)算出電位φ，再用contour命令繪制等位面，如圖3中虛線(xiàn)所示；然后用[Ex,Ey]=gradient(-φ)命令求得電場(chǎng)分量Ex和Ey，最后用streamline繪制出電力線(xiàn)，如圖3中帶箭頭線(xiàn)實(shí)線(xiàn)所示，起點(diǎn)可以選擇為均勻分布在一個(gè)代表導(dǎo)線(xiàn)表面的小圓周上的一系列點(diǎn)。

圖3 湖底上方載流直導(dǎo)線(xiàn)的等位面和電力線(xiàn)分布圖

5 管形接地器的電場(chǎng)分布

半徑為α=0.05 m的的管形接地器直立于電導(dǎo)率為σ的土壤中[1]，接地器與地面接觸點(diǎn)電位為V=5 V，埋入土壤部分長(zhǎng)為l=1 m，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電位為0，求土壤中的求和φ并繪制場(chǎng)分布圖。

(5)

使用contour命令可繪制出導(dǎo)體管的等位面，如圖4中虛線(xiàn)所示。用[Ex,Ez]=gradient(-φ)命令求得電場(chǎng)分量Ex和Ez，再用streamline繪制出電力線(xiàn)，如圖4中帶箭頭線(xiàn)實(shí)線(xiàn)所示。

圖4 直管接地體附近的等位面和電力線(xiàn)分布圖

圖4中電力線(xiàn)起點(diǎn)坐標(biāo)需要根據(jù)電場(chǎng)公式計(jì)算確定。根據(jù)電位V=5 V反算出接地導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的帶電量為：

(6)

總帶電量Q=1ρL，電位公式重寫(xiě)為：

(7)

土壤中的電場(chǎng)強(qiáng)度公式為：

(8)

(9)

(10)

其中E0=Q/(4π2εl2)，Ex，Ez和E都是x，z的函數(shù)。電力線(xiàn)的疏密程度反映電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，即電力線(xiàn)的間距與電場(chǎng)強(qiáng)度成反比。據(jù)此確定電力線(xiàn)起點(diǎn)相對(duì)位置，用到公式(8～10)，且需要進(jìn)行迭代計(jì)算。電力線(xiàn)起點(diǎn)在圖4中接地圓管表面x=±α處和Z=-l處，現(xiàn)討論右邊x=α上的電力線(xiàn)起點(diǎn)。設(shè)從上往下第k(k=0,1,2,3,…)條電力線(xiàn)的坐標(biāo)為(α，zk)，其中，z0=0和z1已知，則第2條電力線(xiàn)起點(diǎn)的z坐標(biāo)z2由下式確定：

(11)

此式含義是電力線(xiàn)的間距與電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)值的大小成反比，即電力線(xiàn)的疏密反映電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。公式(11)中z2是未知量，所以E(α,z2)也是未知量，化簡(jiǎn)后的方程不能求得解析解，可以用迭代法求解，易用Matlab編程實(shí)現(xiàn)。用同樣的方法可求解第k(k≥2)條電力線(xiàn)起點(diǎn)的z坐標(biāo)zk，對(duì)應(yīng)的公式為：

(12)

通過(guò)迭代計(jì)算可確定所有電力線(xiàn)的起點(diǎn)坐標(biāo)。

6 結(jié)語(yǔ)

用靜電比擬方法，將恒定電場(chǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜電場(chǎng)問(wèn)題。利用Matlab編程實(shí)現(xiàn)恒定電場(chǎng)的可視化教學(xué)，為抽象理論帶來(lái)直觀性，可加強(qiáng)學(xué)生參與感，能夠激發(fā)學(xué)生的積極性和創(chuàng)造性，同時(shí)能提高學(xué)生的建模能力，公式推演能力，編程能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)。