非線性均勻傳輸線的暫態(tài)響應(yīng)

曹 磊，夏慧婷

(華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

在“電路理論”的教學(xué)內(nèi)容中，線性均勻傳輸線的典型代表是傳輸?shù)皖l信號(hào)的電力傳輸線和傳輸高頻信號(hào)的同軸線。已知源端正弦激勵(lì)信號(hào)以及終端負(fù)載時(shí)，線上任意位置處的電壓和電流的分布規(guī)律均可以通過求解偏微分方程組獲得解析公式，即利用相量法獲得穩(wěn)態(tài)解，利用拉氏變換法獲得暫態(tài)解[1-3]，或者利用電路軟件進(jìn)行仿真分析[4-5]。在無損耗的情況下，線上電壓(電流)行波幅值保持不變，沿時(shí)間和空間位置的變化滿足正弦函數(shù)關(guān)系。然而，實(shí)際均勻傳輸線往往同時(shí)表現(xiàn)出非線性和有耗特性，其電壓和電流對(duì)應(yīng)的偏微分方程相互耦合，通常無法通過解析法獲得線上準(zhǔn)確的電壓和電流分布。在這種情況下，該如何求解其暫態(tài)響應(yīng)？與線性均勻傳輸線相比，其響應(yīng)有什么特點(diǎn)？這是筆者教學(xué)過程中學(xué)生經(jīng)常提出的問題。本文結(jié)合實(shí)際的科研經(jīng)歷，以用于高頻信號(hào)檢測(cè)的場(chǎng)效應(yīng)晶體管的導(dǎo)電溝道為例，使用數(shù)值計(jì)算方法研究其暫態(tài)響應(yīng)(輸出電壓)特性，并進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開分析，以拓展學(xué)生在均勻傳輸線分析過程中的知識(shí)面，加強(qiáng)綜合運(yùn)用電路知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

1 理論模型

對(duì)于場(chǎng)效應(yīng)晶體管，假設(shè)導(dǎo)電溝道長(zhǎng)度為l(在x方向，x=0對(duì)應(yīng)源極，x=l對(duì)應(yīng)漏極)，如圖1所示。

圖1 非線性均勻傳輸線電路

當(dāng)傳輸高頻信號(hào)時(shí)，其溝道可以借助于一維均勻傳輸線進(jìn)行等效。依據(jù)流體動(dòng)力學(xué)理論，柵極下導(dǎo)電溝道內(nèi)電壓U和電子速度v均是時(shí)間t以及空間位置x的函數(shù)(忽略y以及z方向的不均勻性)，其約束關(guān)系由兩個(gè)耦合的非線性偏微分方程決定：

(1)

(2)

其中:自變量U(x,t)為柵極-溝道之間的有效電壓;v(x,t)為電子的漂移速度；常系數(shù)C=e/m由電子電荷e和有效質(zhì)量m確定；常系數(shù)Γ=1/τ由電子的動(dòng)量彌弛時(shí)間τ確定，與傳輸線中損耗大小有關(guān)。

不妨假設(shè)電路正常工作需要的直流偏置電壓為U0，輸入的正弦電壓信號(hào)幅值為Ua，角頻率為ω，則電路的電源側(cè)的等效電壓源為Us(t)=U0+Uasinωt，在實(shí)際的工作模式下，源極接地，漏極開路，因此邊界條件為U(x+0,t)=U1(t)=Us(t)，v(x=l,t)=0。初始條件為U(x,t=0)=U0，v(x,t=0)=0，輸出電壓信號(hào)為U0(t)=U2(t)-U1(t)。當(dāng)只有直流電源作用時(shí)，輸出電壓為零。

上述描述導(dǎo)電溝道內(nèi)電壓和電子速度的方程組為非線性偏微分方程組(PDEs)，構(gòu)成的傳輸線電路屬于非線性電路，因此適用于線性電路的疊加定理無法使用，不能通過電源分解的方法求解。非線性偏微分方程組的求解方法可以分為兩大類，即解析近似求解法和數(shù)值迭代求解法[6]，其中解析法通?；谛⌒盘?hào)近似，采用諧波平衡的方法能夠求解出特定條件下的近似解，其應(yīng)用范圍和精確性有限。隨著數(shù)值計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，其在復(fù)雜PDEs的精確求解中發(fā)揮了重要作用。最常用的是有限差分法，主要思想是通過對(duì)待求解空間區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將連續(xù)求解域替換成離散的有限網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，以差商代替偏導(dǎo)，將偏微分方程組化為以網(wǎng)格上的值為未知數(shù)的差分代數(shù)方程，通過數(shù)值迭代或直接求解得到數(shù)值解。

2 數(shù)值計(jì)算方法

由于描述溝道中電子運(yùn)動(dòng)的方程組為非線性耦合偏微分方程組，無法得到精確的解析解，因此本文基于有限差分法對(duì)待求解問題進(jìn)行數(shù)值模擬，借助Matlab編程計(jì)算方程(1)和(2)的數(shù)值解(精確解)。

首先對(duì)時(shí)間t和一維溝道空間位置x進(jìn)行網(wǎng)格離散，把偏導(dǎo)替換成差商，從而得到原方程組的差分形式，其中時(shí)間偏導(dǎo)采用前向差分方式，根據(jù)邊界條件，式(1)的位置偏導(dǎo)采用前向差分，式(2)位置偏導(dǎo)采用后向差分，即：

前向差分形式：

(3)

后向差分形式：

(4)

其中,下標(biāo)i,j分別代表U，v空間位置網(wǎng)格編號(hào)，上標(biāo)n代表時(shí)間網(wǎng)格編號(hào)。時(shí)間步長(zhǎng)Δt與空間步長(zhǎng)Δx滿足如下關(guān)系：c>c·Δt，其中c為真空光速，將上述差分公式代入待求方程組得到電壓和漂移速度的迭代關(guān)系分別為：

(5)

(6)

根據(jù)上述迭代關(guān)系，通過編寫Matlab計(jì)算程序，可以得到任意時(shí)刻任意空間位置的U，v值，從而計(jì)算出暫態(tài)響應(yīng)電壓U0(t)。

3 計(jì)算結(jié)果

圖2示出非線性傳輸線在電壓源Us(t)=5+0.5sinωtV作用下，電壓U在兩個(gè)相鄰時(shí)刻(t0,t1)沿整個(gè)空間位置(x=0～l=150 nm)的分布情況，其中t0=0.03 ps，t1=0.05 ps，ω=2π×1012rad/s，τ=1 ps?？梢悦黠@觀察到從源端向負(fù)載端傳輸?shù)男胁úㄇ拔恢米兓?，?.02 ps的時(shí)間差內(nèi)，行波波前向負(fù)載端移動(dòng)了約41.38 nm，且行波還未行進(jìn)至負(fù)載端，傳輸線上不存在反射波，據(jù)此計(jì)算出傳輸線上行波相速度約為vp=41.38nm/0.02ps=2.07×106 m/s。電子速度v也具有類似的分布特征，在波前未到達(dá)的空間位置處，電壓和速度均保持為初始狀態(tài)值，即U=5 V，v=0。

圖2 電壓行波在兩個(gè)相鄰時(shí)刻t0=0.03 ps和t1=0.05 ps沿傳輸線空間位置的分布

保持直流電壓U0=5 V值不變，通過改變電壓源正弦信號(hào)的幅值Ua(0.1，0.5和1 V)，圖3為計(jì)算得到的空載電壓暫態(tài)響應(yīng)U0(t)的波形?？梢钥闯?，隨著Ua的增大，穩(wěn)態(tài)波形幅值也越大，且輸出電壓在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的波形發(fā)生畸變，偏離標(biāo)準(zhǔn)的正弦波形，表明響應(yīng)電壓的非線性程度越高，含有的頻率分量越豐富。依據(jù)非正弦周期信號(hào)的分析方法[2]，可以取穩(wěn)態(tài)波形的一個(gè)周期信號(hào)，進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，從而定量分析直流、基波以及各次諧波的幅值大小。

為了進(jìn)一步研究響應(yīng)電壓的非線性特性，本文以圖3的暫態(tài)仿真結(jié)果為基礎(chǔ)，在其穩(wěn)態(tài)部分提取一個(gè)周期(T=2π/ω=1 ps)的波形，進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開，從而得到各次諧波的幅值，列于表1，其中諧波數(shù)k=0～5,0代表直流分量，1代表與正弦電源同頻率的基波分量，以此類推，5代表五次諧波分量。

(a)Ua=0.1 V

從表1可以看出，隨著正弦電源幅值的增加，直流、基波及高次諧波的幅值均相應(yīng)地增加，但與正弦電源的幅值不成比例，同時(shí)，輸出電壓中含有較強(qiáng)的二次諧波和三次諧波分量(表1只列出最高5次諧波的幅值，實(shí)際計(jì)算結(jié)果含有更高的諧波分量，尤其是在正弦電壓幅值較高的情況下)，表明該傳輸線電路具有強(qiáng)的非線性特征。保持正弦電壓幅值不變，基波分量具有最大的幅值，高次諧波分量幅值隨著諧波數(shù)的增加而減小，因此當(dāng)正弦電壓幅值比較小的時(shí)候，可以將輸出電壓中的二次及以上諧波分量忽略，僅考慮直流和基波分量，這就是所謂的小信號(hào)近似，可以獲得輸出電壓的近似解析表達(dá)式。

表1 不同幅值正弦電源作用下的輸出電壓諧波分量

4 結(jié)語(yǔ)

(1)以場(chǎng)效應(yīng)晶體管的導(dǎo)電溝道為原型，采用非線性均勻傳輸線理論進(jìn)行分析，利用有限差分方法數(shù)值計(jì)算了其在正弦電源作用下的暫態(tài)響應(yīng)。該方法同樣適用于有耗/無耗線性均勻傳輸線暫態(tài)響應(yīng)的計(jì)算，拓展加深了電路理論中線性均勻傳輸線的知識(shí)范圍及求解方法。

(2)利用傅里葉級(jí)數(shù)展開對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)部分進(jìn)行分析，獲取了直流、基波及各次諧波對(duì)應(yīng)的幅值。在正弦電源作用下，非線性均勻傳輸線的響應(yīng)包含豐富的諧波分量，這是由于偏微分方程中非線性項(xiàng)引起的自混頻效應(yīng)。

(3)在該非線性傳輸線的求解過程中，綜合利用了均勻傳輸線基本理論、微分方程的數(shù)值分析法以及非正弦周期信號(hào)的諧波分析法，能夠有效訓(xùn)練學(xué)生綜合運(yùn)用電路理論知識(shí)解決復(fù)雜不熟悉的電路問題。