論電路齊次定理和疊加定理的關(guān)系

田社平，陳希有，張 峰

(1.上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240；2.大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

0 引言

齊次性(homogeneity)和可加性(additivity)是線性系統(tǒng)所具有的兩個(gè)基本性質(zhì)。一切線性系統(tǒng)分析的理論和方法都是基于這兩個(gè)性質(zhì)。對(duì)于線性電路，也具有齊次性和可加性這兩個(gè)性質(zhì)，它們體現(xiàn)在齊次定理(對(duì)應(yīng)于齊次性)和疊加定理之中[1-2]。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，一般電路教材對(duì)齊次定理和疊加定理都進(jìn)行了表述[1-3]，盡管這些教材對(duì)齊次定理和疊加定理之間的關(guān)系(相互獨(dú)立性)沒(méi)有作明確的表述，但可以認(rèn)為，這些教材將這兩個(gè)定理看作兩個(gè)平級(jí)的定理，它們都來(lái)自線性電路本身，不是相互證明的定理。有的教材則僅介紹疊加定理而忽略齊次定理[4]。也有教材明確指出，齊次定理是疊加定理的推論[5-6]。還有作者給出了證明：在實(shí)數(shù)域內(nèi), 如果已知系統(tǒng)具有可加性, 那么它一定同時(shí)具有齊次性[7]。另有教材認(rèn)為，可加性是齊次性向多激勵(lì)源作用的線性系統(tǒng)引申的結(jié)果[8]。而一般線性系統(tǒng)理論教材則認(rèn)為系統(tǒng)的齊次性和可加性是兩個(gè)獨(dú)立的性質(zhì)[9-11]，認(rèn)為齊次性和可加性是兩個(gè)彼此不可互相替代的概念[11]。

線性電路的齊次性定理(齊次性)和疊加定理(可加性)之間是相互獨(dú)立的，還是疊加定理包含了齊次定理，抑或疊加定理是齊次定理的引申？現(xiàn)行教材對(duì)這一問(wèn)題存在不一致的觀點(diǎn)，應(yīng)該加以厘清。本文基于筆者的教學(xué)實(shí)踐與思考，試圖對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行分析，以就教于大家。

下面的討論僅限定于實(shí)的非時(shí)變靜態(tài)系統(tǒng)或電路，即：系統(tǒng)或電路參數(shù)及其輸入、輸出均為實(shí)數(shù)，且系統(tǒng)或電路的輸入輸出關(guān)系為代數(shù)關(guān)系，用L表示這種關(guān)系。

1 齊次性與可加性之間的關(guān)系

1.1 線性系統(tǒng)的定義與性質(zhì)

(1)

則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)[9-12]。

由上述定義，不難推出線性系統(tǒng)的兩個(gè)性質(zhì)：

(2)

(3)

由式(2)、(3)可得

亦即，由式(2)、(3)可推出式(1)，因此，齊次性和可加性合在一起與線性性是等價(jià)的。

顯而易見(jiàn)，線性電路滿足定義式(1)，亦具有齊次性和可加性的性質(zhì)。

1.2 單輸入系統(tǒng)的情況

定理1：對(duì)單輸入靜態(tài)系統(tǒng)，如果該系統(tǒng)滿足齊次性(可加性)，那么該系統(tǒng)一定滿足可加性(齊次性)。亦即系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

證明：由于系統(tǒng)是靜態(tài)的，因此輸入輸出關(guān)系可用某種函數(shù)L(·)來(lái)表示。

(1)假設(shè)系統(tǒng)滿足齊次性，則對(duì)任意實(shí)數(shù)c，系統(tǒng)在輸入cw下的輸出為

(4)

令c=0，可得L(0)=0。由式(4)兩邊對(duì)w求導(dǎo)可得

(5)

令w1=cw，有

(6)

(7)

這是正比關(guān)系，是最簡(jiǎn)單的線性關(guān)系?？梢?jiàn)，只要單輸入靜態(tài)系統(tǒng)滿足齊次性，那它就是線性系統(tǒng)，自然它也就滿足可加性。

(8)

對(duì)式(8)令w1或w2為0，可得L(0)=0。又由式(8)可得

(9)

由上式可得，

(10)

由定理1可知，對(duì)單輸入靜態(tài)系統(tǒng)，齊次性、可加性、線性性三者是等價(jià)的。

1.3 多輸入系統(tǒng)的情況

(11)

定理得證。

定理2表明，滿足齊次性的靜態(tài)系統(tǒng)，僅能保證系統(tǒng)在線性相關(guān)的輸入下是可加的，并不能保證系統(tǒng)在任意輸入下的可加性，亦即，由齊次性不能推導(dǎo)出可加性。下面舉例說(shuō)明。

例1：圖1所示電路，三個(gè)非線性電阻的特性分別滿足

圖1 電路示例1

(12)

(13)

(14)

定理3：對(duì)多輸入靜態(tài)系統(tǒng)，如果該系統(tǒng)滿足可加性，那么，該系統(tǒng)一定滿足齊次性，即系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

(15)

由上式可得

(16)

因此，有

(17)

(18)

(19)

上式表明L為線性系統(tǒng)。定理得證。

定理3表明，對(duì)多輸入靜態(tài)系統(tǒng)，無(wú)論輸入是否線性相關(guān)，由可加性即可推導(dǎo)出齊次性。

2 齊次定理與疊加定理之間的關(guān)系

電路理論中的齊次定理和疊加定理是線性系統(tǒng)的齊次性和可加性在電路中的應(yīng)用。齊次定理表達(dá)了單一激勵(lì)線性電路的齊次性性質(zhì)，而疊加定理則是可加性在多個(gè)激勵(lì)電路中的應(yīng)用。

2.1 單一激勵(lì)的電路情況

(20)

由定理1可以得出，對(duì)單一激勵(lì)的非時(shí)變電阻電路，只要電路滿足齊次性或可加性，電路就是線性的。或者說(shuō)，對(duì)單一激勵(lì)的線性非時(shí)變電阻電路，它的線性性質(zhì)只須用齊次性或者可加性來(lái)表達(dá)就足夠了。用齊次定理或疊加定理都可表達(dá)電路的線性性質(zhì)。因此，現(xiàn)有電路理論教材中對(duì)單一激勵(lì)的線性非時(shí)變電阻電路，僅采用齊次定理來(lái)表述電路的線性性質(zhì)是合理的，也是充分的。

2.2 多個(gè)激勵(lì)的電路情況

當(dāng)電路存在多個(gè)輸入(激勵(lì))時(shí)(在電路中使用疊加定理時(shí)，經(jīng)常是這種情況)，電路的輸入組成輸入向量。對(duì)于多個(gè)激勵(lì)的線性非時(shí)變電阻電路，同樣滿足齊次性和可加性這兩個(gè)性質(zhì)。由定理3可知，此時(shí)只須判斷電路的可加性是否滿足就可判斷電路是否是齊次的，是否是線性的。

(21)

例2：圖2所示電路，兩個(gè)非線性電阻的特性分別滿足

圖2 電路示例2

(22)

式中，f1()，f2()均為非線性函數(shù)。

(23)

(24)

(25)

可見(jiàn)

(26)

滿足式(21)，即該電路滿足疊加定理。

(27)

事實(shí)上，該電路也不滿足齊次性。因?yàn)?，?duì)非零常數(shù)c，有

(28)

(29)

因此，圖2電路是非線性電路。從這個(gè)例子可以看出，對(duì)一個(gè)電路，疊加定理與齊次性的因果關(guān)系和可加性與齊次性的因果關(guān)系是不同的：滿足可加性，則一定滿足齊次性，也滿足齊次定理；滿足疊加定理，不一定滿足齊次性或齊次定理。

3 結(jié)語(yǔ)

(1)對(duì)單一激勵(lì)的電路，如果該電路滿足齊次性或者可加性，那么，該電路一定是線性電路?，F(xiàn)行教材用齊次定理表達(dá)單一激勵(lì)線性電路的線性性質(zhì)是合理的。

(2)對(duì)多個(gè)激勵(lì)的電路，如果該電路滿足可加性，那么，該電路一定是線性電路。但是，如果電路僅滿足齊次性，則該電路不一定是線性電路。

(3)由于疊加定理和可加性的內(nèi)涵是有所區(qū)別的，疊加定理是可加性的必要條件，但不是充分條件，不能通過(guò)電路是否滿足疊加定理來(lái)判定電路的齊次性。