基于SQP算法的銀行貸款組合優(yōu)化

顧安琪劉文鼎劉培江王浩華,4,

(1.海南大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,海口,570228?2.海南大學(xué)計算機與網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院,?？?570228?3.廣東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院,廣州,510320?4.海南大學(xué)海南省工程建模與統(tǒng)計計算重點實驗室,?？?570228)

1 引言

貸款作為商業(yè)銀行主要的盈利手段,對銀行的生存與發(fā)展具有十分重要的意義,而貸款配置的合理性作為貸款收入的決定性因素,引發(fā)了大量的研究[1].Bodnar等在利率服從正態(tài)分布的情況下使用貝葉斯估計法,計算了最小標準差貸款組合的權(quán)重.但在實際情況中,貸款收益率更多地呈現(xiàn)出不符合正態(tài)分布的特性[2].徐緒松等在非正態(tài)穩(wěn)定分布的條件下建立了均值 尺度參數(shù)投資組合模型,更加嚴格地控制了資產(chǎn)配置的風(fēng)險[3].遲國泰等以穩(wěn)定分布為基礎(chǔ),提出了考慮存量貸款的多目標優(yōu)化模型,不僅降低了模型的評估風(fēng)險,而且實現(xiàn)了對偏度的控制,增加了收益[1].顯然,存量貸款的比重對實際投資決策具有直接影響.

本文引入風(fēng)險集中度,以此控制存量貸款的集中程度,降低貸款組合因過度集中而導(dǎo)致的額外風(fēng)險,構(gòu)建基于存量貸款分配比例下的銀行貸款組合優(yōu)化模型.在此基礎(chǔ)上,通過對目標函數(shù)的改進,使目標函數(shù)在兼顧收益、偏度、尺度的同時,考慮銀行自身的偏好,并減少變量的個數(shù),最終轉(zhuǎn)化為求解一個非線性規(guī)劃問題.為了簡化計算,得到收斂性更高的結(jié)果,本文使用SQP算法來求得最終的分配比例.實證研究表明,此模型具有可行性與合理性,符合銀行對高利潤與低風(fēng)險的預(yù)期,且便于理解與操作.

2 基于穩(wěn)定分布的全部貸款目標分析

在實際市場中,貸款收益率往往無法通過正態(tài)檢驗,其經(jīng)驗分布明顯不具有穩(wěn)態(tài)、峰度等正態(tài)特征[3].此時使用正態(tài)分布模擬收益率的分布,會導(dǎo)致模型誤差較大.徐緒松等的研究表明貸款收益率服從非正態(tài)穩(wěn)定分布.

設(shè)rit(i=1,2,···,N;t=1,2,···,T)為第i筆貸款第t個月的收益率?RN為貸款組合收益率,ai為常數(shù),bi為中國債券指數(shù)被第i筆貸款的影響程度?rMt(t=1,2,···,T)為中國債券指數(shù)在第t個月的收益率,εit為第i筆貸款在第t個月收益率的隨機誤差,RN為投資組合收益率,N為總貸款數(shù)量?wi為關(guān)于第i筆貸款總額的份額.參考文獻[3]中給出了如下的市場經(jīng)濟模型

其中,第i筆投資服從穩(wěn)定分布,即ri～S(αi,βi,γi,δi),αi∈[0,2]為特征指數(shù),用以描述投資收益率尖峰度和厚尾度,αi越大尾部越薄、峰度越小?βi∈[?1,1]為偏斜程度指數(shù),用以表現(xiàn)投資利率相較于均值的偏離狀態(tài),βi＞0時分布向右移動,βi＜0時分布向左移動?γi＞0為尺度參數(shù),表示分布偏離其均值的離散狀態(tài)?位置參數(shù)δi∈R表示平均值所在的方位.

每筆貸款的收益率受中國債券指數(shù)和隨機因素擾動的影響.由于第i筆貸款的收益率ri服從穩(wěn)定分布,因此,根據(jù)市場經(jīng)濟模型（2.2）計算出的投資組合回報率也服從穩(wěn)定分布,從而得出貸款組合尺度參數(shù)如下[3]:

其中,γw為貸款組合尺度參數(shù)?γw為投資組合的尺度參數(shù)?α為中國債券指數(shù)的特征指數(shù)?γM為中國債券指數(shù)的尺度參數(shù)?γiε為第i筆貸款隨機誤差的尺度參數(shù).

貸款組合的尺度參數(shù)γw顯示了貸款組合收益率與均值的擬合程度.γw越大則投資組合回報率分布與均值離散程度越高,投資組合風(fēng)險也越大.因此,定義投資組合的偏斜指數(shù)

其中,βM為中國債券指數(shù)的偏斜指數(shù)?βiε為第i筆貸款隨機誤差的偏斜指數(shù).

3 全部貸款的組合優(yōu)化模型

現(xiàn)有的多目標全部投資組合優(yōu)化模型兼顧貸款組合的回報、尺度參數(shù)與偏斜參數(shù),具有多個目標函數(shù),求解困難.改進后的全部貸款組合優(yōu)化模型將多個目標轉(zhuǎn)化為單目標,在實現(xiàn)收益最大化,風(fēng)險最小化的同時考慮到了銀行自身的風(fēng)險偏好.所建立的單目標函數(shù)如下:

其中,Rn+m為全部貸款組合的收益率?n為存量貸款的筆數(shù)?m為増量貸款的筆數(shù)?wi第i筆貸款全部貸款總額的份額?為第i筆投資收益率的均值?γn+m為全部貸款組合的尺度參數(shù)?βn+m為全部貸款組合偏斜指數(shù).

在實際市場中,收益率服從非正態(tài)穩(wěn)定分布,能夠很好地描述收益率的經(jīng)驗分布所具有的差異性和不足性特征,可以更高效地管控投資組合的風(fēng)險[1].偏斜指數(shù)代表分布偏離均值的離散程度,βn+m越大,超額收益越多?λ1越小,則代表銀行對投資組合回報率的偏好越大?λ2越大,則銀行對投資組合尺度參數(shù)的偏好越大?λ3越小,表明銀行對投資組合偏度的偏好越大（βn+m＜0時,λ3應(yīng)取負數(shù),βn+m＞0時λ3取正數(shù)）.銀行可根據(jù)自身風(fēng)險偏好與承受能力自行調(diào)節(jié)比例.本模型綜合貸款組合收益率、尺度參數(shù)與偏斜指數(shù)作為目標函數(shù),實現(xiàn)了多個目標向單一目標的變換,克服了多目標函數(shù)難以求解的問題,同時考慮了投資方對風(fēng)險與收益的偏好程度,相較于現(xiàn)有模型的目標函數(shù),形式更加簡潔,計算更加簡便,也便于理解,且在穩(wěn)定分布的基礎(chǔ)上,考慮通過最大化貸款系數(shù)來檢驗貸款組合方案的正確配置,從而可增加高于平均收益率的可能性,提高貸款的剩余收益率,彌補現(xiàn)有穩(wěn)定利率研究中忽視潛在收益的資產(chǎn)分配.

對所有權(quán)重wi進行歸一化后,我們有

由于單項投資占總投資的比能反映投資的集中度大小,因此引入風(fēng)險集中度L,令

若增量貸款的分配過于集中,則會導(dǎo)致企業(yè)風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁至銀行,因此引入風(fēng)險集中度控制各筆增量貸款在總增量貸款中所占的比例來分散風(fēng)險,保證貸款收益的穩(wěn)定性.

以式(3.1 )為目標函數(shù),(3.2 ),(3.3 ),(3.4 )為約束條件,建立如下的新的全部貸款組合優(yōu)化模型:

其中wi,i=n,...,n+m為待定的決策變量,si為剩余變量.

上述模型對貸款收益率、貸款尺度參數(shù)以及偏斜指數(shù)的計算分為存量貸款與增量貸款兩個部分,考慮到了現(xiàn)有貸款對貸款組合收益與風(fēng)險的影響,防止了n筆存量貸款可能引發(fā)巨大損失.目標函數(shù)由貸款收益率、尺度參數(shù)、偏度參數(shù)組成,保證了在貸款收益率最大的情況下,偏斜指數(shù)最大的同時,尺度參數(shù)最小,即收益最大的同時,風(fēng)險最小.該模型相較于現(xiàn)有模型,變量個數(shù)大幅減少,易于后期計算與求解,同時權(quán)重指數(shù)的添加避免了在現(xiàn)有的投資組合優(yōu)化研究中缺乏主觀收益的問題[3?7].

4 基于SQP技術(shù)的算法框架

SQP算法優(yōu)點在于具有超線性收斂速度并且函數(shù)求值、梯度求值的次數(shù)少.因此這里采用matlab中的序列二次規(guī)劃算法（SQP）求解:將最優(yōu)解問題轉(zhuǎn)化為一系列的二次規(guī)劃子問題,對拉格朗日函數(shù)進行兩次逼近,提高二次規(guī)劃子問題的逼近性?用擬牛頓法求出Hessian矩陣,給出Hessian矩陣（或其逆矩陣）的兩個迭代公式:BFS公式和DFP公式[8].步驟如下:

Step1更新拉格朗日函數(shù)的Hessian矩陣.在每次迭代中,使用BFGS法求解Lagrange函數(shù)的Hessian矩陣的正定近似值H.在此過程中需保持Hessian矩陣正定.

Step2二次規(guī)劃子問題求解.求解過程分為兩個階段:首先計算解的可行點?然后生成與問題解相吻合的可行點的迭代序列,由這個序列收斂得到問題的解.

Step3一維搜索和目標函數(shù)計算.通過求解子集問題得到向量,并由此得到一個新的迭代(迭代過程中應(yīng)充分減小目標函數(shù)的值).

在實際求解的時候,將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為其相反數(shù)并求最小值,將SQP方法中的l1罰函數(shù)推廣為lp罰函數(shù)[9],該搜索方向是lp罰函數(shù)在原問題的解的迭代的下降方向.

假設(shè):

（A1）目標函數(shù)f(w),約束條件ci(w),i∈I0是二階連續(xù)可微函數(shù)?

（A2）Lagrange函數(shù)的Hessian矩陣的近似矩陣Hk是正定的,并且存在兩個正數(shù)m和M使得

對一切的k≥1和d∈Rn都成立.

引理1([9])設(shè)w?∈S為(NLP)問題的局部極小點,f(w),ci(w)(i=1,2,···,m)在w?處連續(xù)可微,且?ci(w)(i∈A(w?))線性無關(guān),則存在實數(shù)λi(i∈I),uj(j∈E),使得

注(4.2 )與(4.3 )稱為Kuhn Tucker條件,簡稱K T條件,滿足(4.2 )與(4.3 )的點稱為K T點.

定義函數(shù)θ(w,r)=g(w)T d+r?(w).如果w是非線性規(guī)劃問題的一個K T點,則對任意的r∈R,有θ(w,r)=0,其中g(shù)(w)T為目標函數(shù)f(w)的拉格朗日算子矩陣轉(zhuǎn)的置陣,d為Hk的過渡矩陣,r為任意實數(shù),?(w)為K T條件中的下降方向指示函數(shù),當且僅當w為可行點時,?(w)=0.

定理1在假設(shè)（A1）和（A2）下,若f(w)在Rn中有界,{wk}是SQP算法產(chǎn)生的無限序列,且罰函數(shù){rk}有界,則{wk}的任意聚點都是此問題的K T點.

證明不失一般性,假設(shè)對所有的k,rk=r,且w?是{wk}的一個聚點,則存在一個子集K,使得當k→∝(k∈K)時,wk→w?.如果θ(w?,r)=0,則由定理可知w?是此問題的K T點.如果θ(w?,r)＜0.則存在?k,使得對一切k≥?k(k∈K),都有

由引理1 可知

dk→0,k→∝(k∈K).

所以

θ(wk,r)→0,k→∝(k∈K),

與(4.4 )式矛盾,因此θ(w?,r)=0,即w?是此問題的K T點.

計算時,目標函數(shù)滿足假設(shè)(A1),(A2),且在Rn內(nèi)有界.又因為罰函數(shù)lp有界,解序列{wk}是無限的,故{wk}的任何聚點都為此問題的K T點[10],且解空間為凸集,極值點為最優(yōu)解.

綜上所述,使用SQP算法對目標函數(shù)進行分析時,只要滿足（A1）與（A2）兩個條件,就能通過迭代得到K T點,因此,SQP算法在這樣的條件下是收斂的.在解決全部貸款的組合優(yōu)化問題時,改進的全部貸款組合優(yōu)化模型(3.5)顯然其目標函數(shù)及約束條件是二階連續(xù)可微的,且Hk滿足（A2）條件,故改進的全部貸款組合優(yōu)化模型問題在運用SQP算法進行迭代計算時是收斂的,從而可用SQP算法在matlab程序中進行計算.

5 實證分析

參考文獻[1]中收集了某銀行貸款近4個月的數(shù)據(jù):貸款總額為1000億元,其中現(xiàn)有的9筆貸款總額為750億元,每筆現(xiàn)有貸款金額及占貸款總額的比例見表1.表2前十三行給出了“增量”和“存量”的所有貸款收益率信息,中國債券指數(shù)收益率見表2第14行[1].

表1 存量貸款信息[1]

表2 收益率信息[1]

表3 增量貸款信息

將模型(3.5 )的各參數(shù)分別代入基于穩(wěn)定分布的多目標全部貸款組合優(yōu)化模型[1](以下簡稱為現(xiàn)有模型)進行實驗,通過matlab程序?qū)崿F(xiàn)得到的對比結(jié)果見表4.

表4 各特征參數(shù)對比結(jié)果

6 結(jié)論

將現(xiàn)有模型與本文的模型(3.5 )進行對比,模型(3.5 )的收益率Rm+n=0.0447 與現(xiàn)有模型的收益率Rm+n=0.0447 一致,符合銀行對高效益的預(yù)期?模型(3.5 )的全部貸款組合偏斜指數(shù)βm+n=－0.0216 與現(xiàn)有模型的對應(yīng)數(shù)據(jù)βm+n=－0.0216 相同,超額收益得到保障,本文模型中的全部貸款組合尺度參數(shù)γm+n=0.0883 ,與現(xiàn)有模型的尺度參數(shù)γm+n=0.0882 基本一致,有效地控制了貸款組合的風(fēng)險,且目標函數(shù)的形式更加簡潔,變量大幅減少,易于求解.模型(3.5)加入了對存量貸款的考慮,從表1能夠看出全部存量貸款在各個貸款中金額的合理分配,能夠有效降低存量貸款被忽略所帶來的風(fēng)險.本文提出的模型(3.5)實現(xiàn)了控制風(fēng)險,追求風(fēng)險與利潤并重的目的,計算上具有簡易性與可操作性,并且使用SQP算法對問題進行求解,收斂性好,結(jié)果較為準確.模型(3.5)引入風(fēng)險集中度,較現(xiàn)有模型大大減小了投資過于集中所帶來的風(fēng)險,貸款結(jié)構(gòu)更加合理可控且組合收益率較大.以穩(wěn)定分布為基礎(chǔ)的收益率模型,能夠表達出收益率不對稱性以及尖峰厚尾的性質(zhì),對組合風(fēng)險管控更加精確有效且符合實際情況.