射影平面上點(diǎn)的合沖

莫佳麗 余琪

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,蘇州,215006)

1 引言

合沖這一詞在18世紀(jì)被用于天文學(xué),用來(lái)描述3個(gè)行星位于一條直線上的現(xiàn)象.Hilbert在模的自由分解中借用了這個(gè)概念.他在[1,2]中證明了著名的“Hilbert合沖定理”:對(duì)有r+1個(gè)生成元的坐標(biāo)環(huán)S,任何有限生成分次S模M都有一個(gè)有限的自由分解:Fr+1?→···?→Fn?→Fn?1?→···?→F1?→F0,其中n≤r+1.

Hilbert合沖定理在代數(shù)幾何領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.從代數(shù)幾何的角度出發(fā),我們通過(guò)坐標(biāo)環(huán)S=K[x0,x1,···,xr]來(lái)研究合沖.假設(shè)M是一個(gè)S模,M?M是M生成元的集合,F=SM,f:F?→M是把F的基元素映射為M的生成元的一個(gè)映射,若M是分次的，則可以通過(guò)選擇其齊次生成元來(lái)保持分次.我們用M1表示M的第一個(gè)合沖模,Mk來(lái)表示M的第k個(gè)合沖模.根據(jù)文獻(xiàn)[12]，M1就是映射f的核,因此M1也是分次S模.按照同樣的方法，我們可以通過(guò)遞歸給出M的其他次數(shù)的合沖模.

在代數(shù)幾何領(lǐng)域，利用合沖,可以得到正則度,Betti數(shù),Hilbert函數(shù)等信息.Green[3]和Lazarsfeld[4]從代數(shù)幾何的角度研究了射影代數(shù)曲線的合沖.之后,Maroscia[5]和Nagel[6]將其結(jié)果推廣到高維射影空間.在[7–10]中提到了代數(shù)簇合沖理論的最新進(jìn)展.關(guān)于代數(shù)簇合沖的綜述我們可以參考Lazarsfeld的名著[11]的第一章.從Hilbert開始,齊次理想的合沖及其對(duì)應(yīng)的代數(shù)集,一直是許多數(shù)學(xué)家感興趣的問(wèn)題.我們知道點(diǎn)是最簡(jiǎn)單的代數(shù)集,Eisenbud等人給出了平面上點(diǎn)的合沖的一些性質(zhì),并對(duì)平面上3個(gè)點(diǎn),4個(gè)點(diǎn)以及5個(gè)點(diǎn)的情形做了細(xì)致的研究.文獻(xiàn)[12]和[13]系統(tǒng)討論了點(diǎn)的合沖問(wèn)題,并給出了一些幾何上的應(yīng)用.但是點(diǎn)(包括其對(duì)應(yīng)的0維概形)的合沖問(wèn)題還沒(méi)有被完全解決.

代數(shù)幾何中的一個(gè)基本問(wèn)題就是對(duì)代數(shù)曲線對(duì)應(yīng)的線性系進(jìn)行分類.這起源于小平邦彥關(guān)于橢圓纖維化的工作[14?16].本文的目標(biāo)就是通過(guò)研究射影平面上點(diǎn)的合沖,用新的觀點(diǎn)對(duì)平面橢圓曲線對(duì)應(yīng)的線性系進(jìn)行分類.

眾所周知,平面橢圓曲線一定是光滑的平面三次曲線.因此,對(duì)平面橢圓曲線族進(jìn)行分類,只需對(duì)平面三次曲線對(duì)應(yīng)的線性系進(jìn)行分類.因?yàn)槠矫嫒吻€對(duì)應(yīng)的線性系一定有基點(diǎn)(所有一般元的公共交點(diǎn)),本文從合沖的角度來(lái)考慮這些基點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面三次曲線線性系,進(jìn)而對(duì)平面三次線性系進(jìn)行分類.我們首先給出平面上7個(gè)不同點(diǎn)的所有合沖的表達(dá)及其對(duì)應(yīng)的飽和齊次理想的極小自由分解,并在前人結(jié)果([12],[17])的基礎(chǔ)上,證明一共有11種不同的平面三次線性系.

2 預(yù)備知識(shí)

本文所有的研究對(duì)象都是在特征0的代數(shù)閉域K上.下面給出我們要用到的一些結(jié)論.

下面的命題1是由Hilbert合沖定理得到的.

命題1([12])若IX?K[x0,x1,x2]是平面上有限個(gè)點(diǎn)的齊次理想,則IX有一個(gè)長(zhǎng)度為1的極小自由分解.

每個(gè)長(zhǎng)度為1的自由分解都滿足下面的定理1,這是我們求解平面上點(diǎn)的合沖的關(guān)鍵.

由定理1 可知,計(jì)算點(diǎn)的合沖的關(guān)鍵是確定其理想對(duì)應(yīng)的生成元.因此生成元的數(shù)目和次數(shù)是我們需要重點(diǎn)考慮的.首先,我們可通過(guò)下面的引理1 確定生成元的數(shù)目.

引理1([18])若X位于一個(gè)次數(shù)為d的曲線上,則IX至多有d+1個(gè)生成元.此外,生成元的次數(shù)也可以由其對(duì)應(yīng)理想的正則度確定.

定義1設(shè)X={p1,···,pn},且對(duì)于每個(gè)?:X→K,都存在f∈K[x1,···,xn],degf≤d,滿足f=?|X,則稱滿足這個(gè)關(guān)系的最小的整數(shù)d為X的插值次數(shù)(interpolation degree).

若存在F1,···,Fn∈Sd,當(dāng)且僅當(dāng)j=i時(shí)使得Fj(pi)不為0,則X在次數(shù)為d的多項(xiàng)式形式上是獨(dú)立的.

定理2([12])設(shè)M是一個(gè)有限生成分次S模,X?Pr是一個(gè)非空點(diǎn)集,且M=SX,則M的正則度等于X的插值次數(shù).

根據(jù)定理2,我們可以得到一個(gè)重要推論.

為了方便讀者閱讀,我們給出幾個(gè)常用的平面代數(shù)曲線定理,它們的證明可以參考[19].

定理3(貝祖定理)對(duì)于無(wú)公共分支的代數(shù)曲線C1,C2?P2(K),有

定理4(諾特“AF+BG”定理)設(shè)F,G,H是射影平面曲線.若F,G沒(méi)有公共分支,則當(dāng)且僅當(dāng)在每一點(diǎn)p∈F∩G上都滿足諾特條件時(shí),有H=AF+BG成立,其中A,B的次數(shù)分別為deg(H)?deg(F),deg(H)?deg(G).

諾特條件見參考文獻(xiàn)[19].

定理5(沙勒定理)設(shè)F,G是兩條平面三次曲線,交9個(gè)不同的點(diǎn),如果另一條三次曲線過(guò)其中8個(gè)點(diǎn),則它也一定過(guò)第9個(gè)點(diǎn).

3 主要結(jié)果

我們需要射影平面(以下簡(jiǎn)稱平面)上6,7個(gè)點(diǎn)的合沖關(guān)系.Henke[17]給出了射影空間中6個(gè)點(diǎn)的合沖的結(jié)果和證明,作為其結(jié)果的一個(gè)推論,我們得到平面上6個(gè)點(diǎn)的合沖的具體形式:

現(xiàn)在我們對(duì)平面上7個(gè)不同的點(diǎn)合沖進(jìn)行分類.以下的定理6 是本文的主要定理.

定理6設(shè)X?P2是平面上7個(gè)不同的點(diǎn),IX是X的飽和的齊次理想,則根據(jù)7個(gè)點(diǎn)的不同位置可得IX在各種情形下的極小自由分解:

注1(1)在下面的證明中,生成元是在飽和齊次理想中考慮的,所有的曲線用大寫字母表示,多項(xiàng)式用小寫字母表示,且各種情形中的字母都互不相關(guān).

(2)我們計(jì)算所得的合沖,已經(jīng)用CoCoA軟件進(jìn)行了逐一驗(yàn)證.

證明情形(1)X中7個(gè)點(diǎn)在一條直線上.由引理1 可知,IX至多有2個(gè)生成元,且其中一個(gè)生成元的次數(shù)為1,即a2=e1=1,根據(jù)定理1 進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算即可得定理的結(jié)果(1).

情形(2)X中有6個(gè)點(diǎn)在一條直線L上.顯然X位于一條二次曲線上,因此由引理1 知,IX至多有3個(gè)生成元.若有2個(gè)生成元,則X是完全交,由貝祖定理知這種情況不會(huì)發(fā)生,故必有3個(gè)生成元且存在一個(gè)二次生成元.因剩下一點(diǎn)只能確定一個(gè)2維的一次線性系,所以IX一定有兩個(gè)次數(shù)為二的極小生成元,因此a3=e1+e2=2,a2=e1+f2=2,由定理1 即可得結(jié)果(2).

情形(3)X中有5個(gè)點(diǎn)在一條直線L上.與結(jié)果(2)同理,IX必有3個(gè)生成元且存在一個(gè)二次生成元.若還有一個(gè)二次生成元,由貝祖定理可知此二次曲線過(guò)這7個(gè)點(diǎn)時(shí)必以L為分支,且剩下兩點(diǎn)確定唯一一條直線,因此二次生成元唯一.除直線L外的兩點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)不可約的二次曲線過(guò)這兩個(gè)點(diǎn),故X可位于三次曲線上,因此三次生成元存在且a3=e1+e2=2,a2=e1+f2=3.由定理1 有e1,e2,f2≥1,故e1=e2=1,f2=2,且7=e1f1+e1f2+e2f2=f1+2+2.因此f1=3,a1=f1+f2=5,b1=a1+e1=6,b2=a2+e2=4.由此易得極小自由分解(3).

情形(4)X中有4個(gè)點(diǎn)在一條直線L1上,另外3個(gè)點(diǎn)共線于L2.同情形(2)可得必有3個(gè)生成元且存在一個(gè)二次生成元?同情形(3)可得二次生成元唯一.若有三次生成元g3,由貝祖定理可知g3對(duì)應(yīng)的三次曲線以L1為分支.令L1對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為l1,則g3=l1h2,其中h2是二次多項(xiàng)式,其對(duì)應(yīng)曲線記為H2.再次使用貝祖定理,得H2以L2為分支,故三次曲線可由二次曲線生成,即不存在三次生成元.我們以L1為分支的曲線,然后再取互不相同的3條直線分別過(guò)剩下共線的3個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)造出四次生成元所對(duì)應(yīng)的四次曲線,這時(shí)四次生成元存在，且全部生成元的次數(shù)為2,4,4.此時(shí)得到結(jié)果(4)的過(guò)程同情形(3)類似.

圖1 三次曲線過(guò)7個(gè)點(diǎn)

圖2 四次曲線過(guò)7個(gè)點(diǎn)

情形(6)X中有7個(gè)點(diǎn)位于一個(gè)不可約二次曲線上.此時(shí)與情形(2)同理,可得IX必有3個(gè)生成元且存在一個(gè)二次生成元,此二次生成元不可約,由貝祖定理可知僅有一個(gè)二次生成元?若有一個(gè)三次生成元,由貝祖定理知,此三次生成元對(duì)應(yīng)的三次曲線以二次不可約曲線為分支,矛盾.由于X中7個(gè)點(diǎn)對(duì)三次曲線是獨(dú)立的,根據(jù)推論1,IX生成元次數(shù)≤4.由上述分析可知IX必有四次生成元,因此3個(gè)生成元次數(shù)分別為2,4,4.最后根據(jù)定理1 可得極小自由分解(6).

情形(7)X中3個(gè)點(diǎn)在一條直線上,另4個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)不在一條直線上.

情形(8)X中3個(gè)點(diǎn)在一條直線上,另4個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上.

情形(9)X中有6個(gè)點(diǎn)位于一個(gè)不可約二次曲線上.

情形(10)X中沒(méi)有6個(gè)點(diǎn)位于一個(gè)不可約二次曲線上且沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上.

這4種情形的證明方法類似,下面給出具體的證明步驟.

第一步:先證明只有3個(gè)三次生成元.

第二步:證明四次生成元不存在.

假設(shè)這3個(gè)三次生成元分別為g3,,,且由貝祖定理知這3個(gè)三次生成元對(duì)應(yīng)的三次曲線中有兩個(gè)三次曲線無(wú)公共分支,為了方便計(jì)算假設(shè)這兩個(gè)三次曲線對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式分別為g3,若還有一個(gè)四次生成元,則把其對(duì)應(yīng)的四次曲線的多項(xiàng)式記為g4.由于7個(gè)點(diǎn)對(duì)四次曲線是獨(dú)立的,故四次曲線過(guò)7個(gè)點(diǎn)獨(dú)立參數(shù)維數(shù)為:=8.由g3,,所生成的四次曲線為:l1g3+l2+l3,其中l(wèi)i(i=1,2,3)是一次多項(xiàng)式且每個(gè)li的獨(dú)立參數(shù)維數(shù)為3,若l1g3與l2g參數(shù)相關(guān),則有l(wèi)1g3=?l2g′3,可推出l1|l2或l1|.若l1|l2,在不考慮相差一個(gè)常數(shù)倍的情況下,令l1=l2,那么g3=?,矛盾?若l1|,則有g(shù)3=?l2h2,其中=l1h2,h2是二次多項(xiàng)式,與g3,對(duì)應(yīng)的2個(gè)三次曲線無(wú)公共分支,矛盾.因此l1g3與l2參數(shù)不相關(guān),故g3,生成的四次曲線的獨(dú)立參數(shù)維數(shù)為6.

故IX只有3個(gè)生成元,且生成元次數(shù)都是三.那么a3=e1+e2=3,a2=e1+f2=3,a1=f1+f2=3,由定理1,e1,e2,f2≥1,fi≥ei,fi≥ei+1,(i=1,2),我們可以推出e1=f1=2,e2=f2=1,且滿足7=e1f1+e1f2+e2f2,則b1=a1+e1=3+2=5,b2=a2+e2=3+1=4.則極小自由分解顯然得證.

4 射影平面上三次線性系的分類

設(shè)X?P2是射影平面上的一個(gè)有限點(diǎn)集,IX是X對(duì)應(yīng)的飽和齊次理想.我們考慮是否存在平面曲線族Cλ恰好以X中所有點(diǎn)為基點(diǎn).以下,我們對(duì)平面三次曲線對(duì)應(yīng)的線性系用合沖的觀點(diǎn)來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.

首先,我們有下面的命題.

命題2 三次線性系{λ1s1+···+λksk}的基點(diǎn)數(shù)目≤9,其中si是三次曲線,λi∈P1.

證明令D={λ1s1+···+λksk},任取A1,A2∈D.由于A1,A2這兩個(gè)一般元是不可約三次曲線且無(wú)公共分支,由貝祖定理知A1與A2交點(diǎn)數(shù)為9.令這9個(gè)交點(diǎn)分別為p1,···,p9,由定義知p1,···,p9為D的基點(diǎn).若再取A3∈D,則A1,A2與A3交點(diǎn)數(shù)≤9,結(jié)論得證.

下面對(duì)基點(diǎn)數(shù)目是8和9兩種情況進(jìn)行分類.

定理7若三次線性系D的基點(diǎn)數(shù)目為9,則該三次線性系一定有2個(gè)生成元即D=

{λ1s1+···+λksk}=＜s1,···,sk＞=＜B1,B2＞.

證明?B1,B2∈D,B1,B2是一般元,且這兩個(gè)一般元是不可約三次曲線且無(wú)公共分支,則＜B1,B2＞?＜s1,···,sk＞是顯然的.下面證明＜s1,···,sk＞?＜B1,B2＞,即證所有si∈＜B1,B2＞.因?yàn)锽1,B2的交點(diǎn)數(shù)目為9,即B1,B2都過(guò)這9個(gè)點(diǎn).又因si過(guò)這9個(gè)點(diǎn),由諾特“AF+BG”定理,?a,b∈K,使si=aB1+bB2,從而si∈＜B1,B2＞.結(jié)論得證.

沙勒定理[17]告訴我們兩條平面三次曲線交9個(gè)不同的點(diǎn),如果另一條三次曲線過(guò)其中8個(gè)點(diǎn),則一定過(guò)第9個(gè)點(diǎn).因此我們有下列推論:

推論2當(dāng)基點(diǎn)數(shù)目為8時(shí)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的三次線性系.

我們從合沖的角度來(lái)對(duì)平面三次線性系{λ1s1+···+λksk}進(jìn)行分類,I=＜s1,···,sk＞,基點(diǎn)集A=V(I)=V(s1,···,sk).由[12],[17]和定理1 關(guān)于點(diǎn)的合沖的分類,可以得出11個(gè)不同的三次線性系.

(4.3)給出的是11個(gè)不同的三次線性系對(duì)應(yīng)的合沖,其中,的(1)與(2)是基點(diǎn)數(shù)目為1與2的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖?(3)與(4)是基點(diǎn)數(shù)目為3的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖,分別對(duì)應(yīng)于3點(diǎn)位于一條直線上和3點(diǎn)不位于一條直線上.(5)與(6)是基點(diǎn)數(shù)目為4的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖,分別對(duì)應(yīng)于3個(gè)點(diǎn)位于一條直線上和4個(gè)點(diǎn)位于不可約的二次曲線上.(7)是基點(diǎn)數(shù)目為5的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖,對(duì)應(yīng)的情況為3個(gè)點(diǎn)位于一條直線上和5個(gè)點(diǎn)位于一條不可約的二次曲線上這兩種.(8)與(9)是基點(diǎn)數(shù)目為6的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖,分別對(duì)應(yīng)于6個(gè)點(diǎn)位于一條特殊的二次曲線上且沒(méi)有大于3個(gè)點(diǎn)在一條直線上和6個(gè)點(diǎn)不位于二次曲線上且沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上.(10)是基點(diǎn)數(shù)目為7的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖,對(duì)應(yīng)某3個(gè)點(diǎn)位于一條直線上,另4點(diǎn)在一條直線上?某3個(gè)點(diǎn)位于一條直線上,另4點(diǎn)不在一條直線上?6個(gè)點(diǎn)在一條不可約的二次曲線上?沒(méi)有6個(gè)點(diǎn)位于不可約二次曲線上且沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上這四種情形.(11)是基點(diǎn)數(shù)目為9的時(shí)候?qū)?yīng)的合沖,此種情況為完全交.

以上11個(gè)合沖對(duì)應(yīng)11種不同的三次線性系,現(xiàn)在我們來(lái)對(duì)這些線性系進(jìn)行分類,由于表述類似,以下選擇基點(diǎn)數(shù)目為2,4和9的情形來(lái)進(jìn)行說(shuō)明:

1.當(dāng)基點(diǎn)數(shù)目為2時(shí),三次曲線對(duì)應(yīng)的線性系Ch2,l1:=h2g1+l1g2=0,其中l(wèi)1=a1x+b1y+c1z,h2=a2x2+b2y2+c2z2+d2xy+e2xz+f2yz,且a1,b1,c1,a2,b2,c2,d2,e2,f2是定義在K上的參數(shù)?g1,g2是對(duì)應(yīng)的極小自由分解的一次生成元和二次生成元.

2.當(dāng)基點(diǎn)數(shù)目為4時(shí),有兩種情形：

(1)有3個(gè)基點(diǎn)位于一條直線上.此時(shí)三次曲線對(duì)應(yīng)的線性系Cl1,l2,k:=l1g2+l2g+kg3=0,這里li=aix+biy+ciz(i=1,2),且ai,bi,ci,k是定義在K上的參數(shù)?g2,g3是對(duì)應(yīng)的極小自由分解的2個(gè)二次生成元和1個(gè)三次生成元.

(2)4個(gè)基點(diǎn)位于不可約的二次曲線上.此時(shí)三次曲線對(duì)應(yīng)的線性系Cl1,l2:=l1g2+l2=0,這里li=aix+biy+ciz(i=1,2),且ai,bi,ci是定義在K上的參數(shù)?g2,是對(duì)應(yīng)的極小自由分解的2個(gè)二次生成元.

3.當(dāng)基點(diǎn)數(shù)目為9時(shí),只有一種完全交情況,即生成元只有2個(gè),且次數(shù)都為三.此時(shí)三次曲線對(duì)應(yīng)的線性系Cλ,μ:=λg3+μ=0,這里λ,μ是兩個(gè)定義在K上的參數(shù),g3,是對(duì)應(yīng)的極小自由分解中的三次生成元.