基于高斯牛頓算法的媒質(zhì)寬帶電磁參數(shù)數(shù)值擬合

空軍預(yù)警學(xué)院 王駿哲 陳柯宇 張俊哲 張豐

高斯迭代法是非線性回歸模型中求回歸參數(shù)進(jìn)行最小二乘的一種迭代算法。將測得的人的血液的介電特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用Hurt建立的二階Debye模型進(jìn)行擬合,發(fā)揮最小二乘法良好的擬合特性和高斯牛頓迭代法較快的收斂速度,采用最小二乘法——高斯牛頓迭代法,求解模型中的未知參數(shù)并驗(yàn)證擬合效果。本文證明了該算法的可行性。結(jié)果可以幫助人們預(yù)測1MHz～10GHz頻率范圍內(nèi)重要生物組織的介電特性,有利于人們對(duì)介電常數(shù)和電導(dǎo)率進(jìn)行分析和利用,為生物以及醫(yī)療行業(yè)做作出獻(xiàn)。

0 引言

介電特性是電介質(zhì)固有的一種物理屬性,可表示電介質(zhì)儲(chǔ)存電場的能力,電導(dǎo)率即為電阻的倒數(shù),在生態(tài)學(xué)中,電導(dǎo)率表示溶液傳遞電流的能力,從而反映出組織溶液中存在電解質(zhì)程度的多少。電導(dǎo)率與粒子的種類有關(guān),故在不同的人體組織器官中,電導(dǎo)率也有較大差異。介電常數(shù)的虛部有關(guān)系,電導(dǎo)率越大則虛部的損耗也越大。目前現(xiàn)有的對(duì)于生物組織介電特性數(shù)學(xué)模型的研究較少,對(duì)人體的介電特性差異進(jìn)行研究分析,有利于推導(dǎo)出整個(gè)人體組織的變化特性。本研究以人體血液組織介電特性實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),使用二階Debye模型對(duì)人體血液、的介電譜進(jìn)行曲線擬合,使其能描述低頻段已有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的介電特性,并能對(duì)高頻段介電特性進(jìn)行預(yù)測。

1 相關(guān)工作

在生物電介質(zhì)特性的理論研究中,已經(jīng)有許多科學(xué)家對(duì)電介質(zhì)光譜的數(shù)學(xué)特性進(jìn)行了描述。其中最為經(jīng)典的是Debye模型和Cole-Cole模型。Debye模型是由Debye建立的極性液體介電特性的馳豫理論通過理論分析所建立的模型,它給出了作為角頻率ω函數(shù)與復(fù)相對(duì)介電常數(shù)ε的表達(dá)式:

Hurt對(duì)肌肉的介電譜進(jìn)行了建模,得出了五個(gè)德拜分散區(qū)域的總和,此外還有一個(gè)電導(dǎo)項(xiàng)。它的表達(dá)式為:

Debye模型雖能大致描繪出介電特性的變化特性,但是其也有不足之處。生物材料的結(jié)構(gòu)和組成的復(fù)雜性使得每一個(gè)色散區(qū)域都可能因?qū)ζ涞亩嘀赜绊懚鴶U(kuò)大。相當(dāng)一部分的實(shí)驗(yàn)表明,Debye模型并不能完全準(zhǔn)確的描述出復(fù)介電常數(shù)與頻率之間的關(guān)系。通過引入分布參數(shù),KS cole與RH cole提出經(jīng)驗(yàn)公式,建立了Cole-Cole模型,從經(jīng)驗(yàn)上解釋了色散區(qū)域的擴(kuò)大。它的表達(dá)式為:

加布里埃爾在10～100GHz的頻率范圍內(nèi)建立了人體組織介電特性的一個(gè)四階的Cole-Cole模型,使得組織的光譜可以被更適當(dāng)?shù)孛枋龆鄠€(gè)Cole-Cole分散體。該Cole-Cole模型的表達(dá)式為:

通過選擇適合各個(gè)組織合適的參數(shù),可以用來預(yù)測所需頻率范圍內(nèi)的介電特性。

在太赫茲頻帶生物組織的介電特性的研究受實(shí)驗(yàn)條件約束,高頻率帶的介電性能在許多生物組織中仍然是未知的[1]。生物組織的介電特性在低頻率范圍內(nèi)的研究有大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),由于人體的體溫基本恒定37℃,而且體內(nèi)成分趨于穩(wěn)定。本文主要研究二階Debye原始模型。選取血液的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。

2 算法設(shè)計(jì)

2.1 算法流程設(shè)計(jì)

首先選取初始值。列出所求模型表達(dá)式中的未知參數(shù),提出假設(shè)初始值。并在課題中驗(yàn)證合適的初始值取值范圍。接著建立雅各比矩陣。初始值為2m×n的標(biāo)準(zhǔn)0矩陣。矩陣值將在迭代中進(jìn)行改變。建立兩個(gè)2m×1的初始化零矩陣作為殘差矩陣,一個(gè)在迭代中用來進(jìn)行運(yùn)算,另一個(gè)用來存儲(chǔ)數(shù)據(jù),通過每一次迭代這兩個(gè)矩陣也會(huì)進(jìn)行更新。最后開始迭代,設(shè)定迭代條件,列出殘差矩陣的迭代求和然后對(duì)之前建立的雅各比矩陣進(jìn)行賦值,將矩陣中的參數(shù)直接帶入模型中,計(jì)算實(shí)驗(yàn)實(shí)際值與模型計(jì)算值的差值,之后對(duì)殘差矩陣進(jìn)行賦值,殘差矩陣前四行為實(shí)部的差值,后四行為虛部的差值。運(yùn)用上文中所得出的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算,即可完成一次迭代,需要注意的是,在實(shí)際計(jì)算中,迭代的值常因過大而跑出收斂區(qū)域,故進(jìn)行成倍數(shù)縮小是很有必要的,但是縮小倍數(shù)過大也有可能會(huì)造成迭代次數(shù)產(chǎn)生的效果不明顯等情況,在實(shí)際運(yùn)算中應(yīng)當(dāng)根據(jù)結(jié)果來對(duì)縮放倍數(shù)進(jìn)行調(diào)整。算法的流程框圖如圖1所示。

圖1 算法流程框圖Fig.1 Arithmetic flow chart

2.2 數(shù)據(jù)介紹

查閱資料[2]本文選取選取血液實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)如圖2所示。其中上方曲線為介電常數(shù),下方曲線為電導(dǎo)率。使用高斯牛頓迭代法在Matlab環(huán)境下進(jìn)行編程擬合,建立人體血液擬合參數(shù)。并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析,將已知的介電常數(shù)

圖2 血液介電特性曲線Fig.2 Dielectric properties of blood

和電導(dǎo)率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入模型進(jìn)行比對(duì),從而驗(yàn)證所得參數(shù)是否準(zhǔn)確,并分析平均誤差。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

通過改變參數(shù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)數(shù)值擬合,整理數(shù)據(jù)并觀察擬合曲線效果[3]。得出以下結(jié)論。當(dāng)初始值選取點(diǎn)數(shù)多,擬合次數(shù)多,縮放倍數(shù)合適,初始值選取在合理區(qū)間時(shí),擬合效果較好。擬合曲線與初始值的誤差平均在10%左右。最終得到擬合結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?擬合曲線與實(shí)際數(shù)值參數(shù)大體吻合。

圖3 血液介電特性擬合曲線Fig.3 Fit dielectric properties of blood

同時(shí)對(duì)人體大腦白質(zhì)與大腦灰質(zhì)的介電常數(shù)和電導(dǎo)率查閱資料并進(jìn)行數(shù)值擬合[4]。得到的擬合曲線也可以反映出其變化規(guī)律,平均誤差在15%左右,證明了該算法的可行性。

4 結(jié)語

通過本文的研究,證明了最小二乘法——高斯牛頓迭代法在數(shù)值模擬計(jì)算中是比較適合的。它具有結(jié)果準(zhǔn)確,且收斂速度快的特點(diǎn)。這種方法可以大致上做到擬合人體組織的介電特性曲線,通過一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及科學(xué)家所做出的數(shù)學(xué)模型,即可求出模型中的未知參數(shù),這對(duì)于建立媒質(zhì)寬帶電磁參數(shù)數(shù)學(xué)模型有重要的意義?？梢杂欣谌藗儗?duì)無法測量頻率的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測,更可以用來進(jìn)行更加深層次的研究[5]。除了人體組織介電特性,此種方法也可以對(duì)其他研究內(nèi)容起到一定的作用。

引用

[1] 彭艷,逯邁,陳小強(qiáng),等.基于修正四階Cole-Cole模型的太赫茲波段生物組織介電特性估算方法探索[J].中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào),2015,34(2):243-247.

[2] 王力,馬青,陳林,等.人血液介電譜Cole-Cole數(shù)學(xué)模型的解析[J].中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào),2010,29(2):253-258.

[3] 李亞鵬.隨年齡變化的生物組織介電特性的數(shù)值模擬與研究[D].蘭州:蘭州交通大學(xué),2016.

[4] Mai Lu,Shoogo Ueno.Comparison of Specific Absorption Rate Induced in Brain Tissues of a Child and an Adult Using Mobile Phone[J].Journal of Applied Physics,2012(57):2103-2116.

[5] 朱建波,史學(xué)濤,尤富生,等.生物組織活性與介電性關(guān)系的探索研究[J].醫(yī)療衛(wèi)生裝備,2013,34(1):1-3.