具有外部擾動(dòng)分?jǐn)?shù)階不確定性單擺混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步

毛北行，王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

混沌同步自提出以來(lái)就備受重視[1-9].分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在，且用分?jǐn)?shù)階微分方程建模更符合模型本身的特點(diǎn)，因而隨著分?jǐn)?shù)階微分學(xué)與積分學(xué)的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制引起了工程科學(xué)界的濃厚興趣.例如：文獻(xiàn)[10] 研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階不確定同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模控制與參數(shù)辨識(shí)；文獻(xiàn)[11]根據(jù)自適應(yīng)滑模方法研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[12]研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，獲得主從系統(tǒng)達(dá)到滑模同步的充分條件；文獻(xiàn)[13]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的主動(dòng)滑模同步；文獻(xiàn)[14]研究了分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步技巧；文獻(xiàn)[15]研究了不確定分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的滑模同步.另一方面，單擺混沌系統(tǒng)引起了眾多學(xué)者的高度關(guān)注.例如：文獻(xiàn)[16]研究了大角度單擺周期的估計(jì)；文獻(xiàn)[17]研究了重力常數(shù)的測(cè)定；文獻(xiàn)[18]研究了有界擾動(dòng)下單擺的分岔混沌分析；文獻(xiàn)[19]研究了從周期到有界混沌；文獻(xiàn)[20]研究了從單擺到混沌的動(dòng)力學(xué)分析與控制；文獻(xiàn)[21]研究了單擺混沌現(xiàn)象問(wèn)題；文獻(xiàn)[22]對(duì)單擺系統(tǒng)多參數(shù)混沌邊緣進(jìn)行了研究，得到了單擺系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的條件；文獻(xiàn)[23]研究了單擺到混沌的條件；文獻(xiàn)[24]研究了一類(lèi)整數(shù)階分?jǐn)?shù)階單擺的混沌同步；文獻(xiàn)[25]研究了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階單擺混沌系統(tǒng)的終端滑模同步.雖然來(lái)自模型及系統(tǒng)本身的不確定性和外部擾動(dòng)在工程實(shí)際中大量存在，且是系統(tǒng)不穩(wěn)定和產(chǎn)生擾動(dòng)的根源，但有關(guān)分?jǐn)?shù)階單擺不確定系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步方面的研究還鮮有報(bào)道.在上述研究基礎(chǔ)上，本文研究了分?jǐn)?shù)階具有外部擾動(dòng)和不確定性單擺混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，分別設(shè)計(jì)了滑模面并證明了滑模面的穩(wěn)定性與可達(dá)性，獲得不確定分?jǐn)?shù)階單擺系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

無(wú)阻尼單擺系統(tǒng)可描述為

(1)

其中：θ為擺線(xiàn)的夾角，L為擺長(zhǎng)，g為重力加速度.如圖1所示.

圖1 單擺圖

考慮阻力，設(shè)阻尼系數(shù)為γ，則單擺系統(tǒng)可描述為

(2)

其等價(jià)系統(tǒng)如下：

主系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(3)

考慮外部擾動(dòng)和不確定性，從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(4)

這里y(t)=(y1，y2)T，Δfi(y，t)和di(t)分別為有界不確定項(xiàng)和外部擾動(dòng)，ui(t)為控制器.

定義ei=yi-xi(i=1，2)，則

(5)

定義1[26]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

分?jǐn)?shù)階單擺混沌可描述為

(6)

當(dāng)g=10，L=1，γ=0.46，q=0.86時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，系統(tǒng)的相圖如圖2所示.

圖2 單擺系統(tǒng)相圖

(7)

假設(shè)1 不確定項(xiàng)Δfi(y，t)和外部擾動(dòng)di(t)均有界，即存在未知常值參數(shù)mi，ni>0，滿(mǎn)足

|Δfi(y，t)|

定義ei=yi-xi，i=1，2，則

(8)

2 主要結(jié)果

用引理2，得到si→0?ei(t)→0.

定理2 假設(shè)1滿(mǎn)足.構(gòu)造滑模面si(t)=ei(t).控制律為

不在滑模面上時(shí)，設(shè)計(jì)函數(shù)

由引理1得

由引理2，從而得到si→0?ei(t)→0.

3 數(shù)值仿真

以分?jǐn)?shù)階單擺混沌系統(tǒng)為例，使用Matlab工具箱中的軟件程序進(jìn)行數(shù)值仿真.令g=10，L=1，γ=0.46，q=0.86，Δf1(y，t)=cos(2πy2)，Δf2(y，t)=0.5cos(2πy1).d1(t)=0.2cos(t)，d2(t)=0.6sin(t).

定理2中設(shè)計(jì)滑模面si(t)=ei(t).控制律為

定理1與2自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為(i=1，2)

定理1誤差如圖3—4所示，定理2誤差如圖5—6所示.由圖3—4中可看到，誤差初始時(shí)刻相差較大，距原點(diǎn)較遠(yuǎn)，隨時(shí)間推移，誤差逐漸趨近于一致并向坐標(biāo)原點(diǎn)趨近，表明系統(tǒng)取得同步.定理1與定理2的區(qū)別在于選取不同的滑模函數(shù)控制效果不同，定理1中設(shè)計(jì)的滑模函數(shù)和控制器都比定理2復(fù)雜一些，定理2中的滑模面簡(jiǎn)單實(shí)用，控制形式簡(jiǎn)單且控制效果良好.從圖5—6上可看出定理1中誤差擺幅較大，比較難于趨向穩(wěn)定；定理2的誤差擺幅則較定理1小一些，很容易趨近于原點(diǎn)，并趨于同步.文章設(shè)計(jì)了兩種截然不同的滑模函數(shù)，當(dāng)q=1時(shí)，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)退化為整數(shù)階系統(tǒng)，該方法對(duì)整數(shù)階系統(tǒng)仍然適用和成立.

圖3 定理1第一誤差

圖4 定理1第二誤差

圖6 定理2第二誤差