隨機3變量自催化模型的長時行為

李慧慧，楊 穎，李 芳

(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130032)

目前，在熱力學(xué)封閉系統(tǒng)中，用于等溫反應(yīng)的雙變量自動加速器模型已經(jīng)成功地應(yīng)用于再現(xiàn)化學(xué)振蕩的許多典型特征[1-3].該方案考慮通過兩個反應(yīng)中間體A和B將化學(xué)前體P轉(zhuǎn)化為最終產(chǎn)物C，通過下列反應(yīng)步驟實現(xiàn)：(o)P→A，rate=k0p；(U)A→B，rate=kua；(1)A+2B→3B，rate=k1ab2；(2)B→C，rate=k2b.

最近，文獻[4-5]研究了熱反饋對該方案的影響，通過允許反應(yīng)(2)放熱，并且前體P的速率衰減步驟(o)具有Arrhenius溫度依賴，然后由于反應(yīng)引起的自加熱在內(nèi)部耦合到動力學(xué)機制，提供了一個3變量系統(tǒng).這里該模型擴展為一個3變量等溫方案，能夠支持復(fù)雜的周期性和非周期性響應(yīng)，通過3種中間物質(zhì)A，B和C將相對穩(wěn)定的前體反應(yīng)物P轉(zhuǎn)化為最終產(chǎn)物D.這樣上述模型就變成了如下反應(yīng)進程：(o)P→A，rate=k0p；(C)P+C→A+C，rate=kcpc；(U)A→B，rate=kua；(1)A+2B→3B，rate=k1ab2；(2)B→C，rate=k2b；(3)C→D，rate=k3c.

這個方案里面有兩個反饋或自動催化過程.中間體B參與步驟(1)中的直接立方自催化，而C通過步驟(C)參與“簡并自催化”.將質(zhì)量作用原理應(yīng)用于該方案，控制反應(yīng)速率方程可簡單地寫成如下微分方程組：

(1)

為了方便，將(1)式做無量綱化處理成為

(2)

文獻[5]在系統(tǒng)(2)的第1個方程中設(shè)ρ=0，得到了模型(2)的池化學(xué)形式.此時，前體P的濃度μ=μ0為常數(shù)，即在所有時刻τ，p=p0.中間物種A，B，C的3個方程的穩(wěn)態(tài)解為

并指出只有μ<1的時候才存在穩(wěn)態(tài)，當(dāng)μ→1時支鏈?zhǔn)Э?

當(dāng)前體濃度P被認(rèn)為是恒定時，振蕩的條件可以通過分析獲得.如果考慮前體的緩慢指數(shù)衰減，還可以準(zhǔn)確地估計預(yù)振蕩(誘導(dǎo))周期的長度和振蕩周期，以及振蕩次數(shù).引入以下反應(yīng)模型，即在方程(1)中令p=p0得：

(3)

當(dāng)濃度p是常數(shù)p0時，即μ=kcp0/k3=μ0，文獻[5]得到了局部穩(wěn)定性分析結(jié)果：系統(tǒng)(2)的平穩(wěn)狀態(tài)解并不總是穩(wěn)定的，擾動可能會及時增長，從而導(dǎo)致偏離穩(wěn)態(tài)，可能會出現(xiàn)振蕩狀態(tài).在池化學(xué)模型中，局部穩(wěn)定性的喪失發(fā)生在Hopf分支處，當(dāng)前體P的濃度值在一定范圍內(nèi)時，穩(wěn)態(tài)是局部不穩(wěn)定的.這些都是“超臨界”Hopf點，并且在每個穩(wěn)定的極限環(huán)出現(xiàn)，且以包圍不穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)增長，系統(tǒng)在該極限環(huán)上的運動給出了所有3種中間體濃度的時間振蕩.

然而，化學(xué)反應(yīng)可能會遇到突然的擾動，如催化劑的突然加入、熱沖擊、壓力沖擊等.因此化學(xué)反應(yīng)模型不可避免地會受到環(huán)境白噪聲的影響.本文將白噪聲的隨機系統(tǒng)擾動引入到確定性系統(tǒng)(3)中，得到了相應(yīng)的隨機自催化劑模型：

(4)

(H0)μ0=kcp0/k3<1，即k3>kcp0.

文獻[6-8]討論了幾類隨機化學(xué)反應(yīng)模型的動力學(xué)行為，但目前還沒有人研究過隨機自催化模型的行為，本文工作將填補這一空白.

1 預(yù)備知識

考慮d維隨機微分方程

dx(t)=f(x(t)，t)dt+g(x(t)，t)dB(t)，t≥to，

(5)

(6)

dV(x(t)，t)=LV(x(t)，t)dt+Vx(x(t)，t)g(x(t)，t)dB(t).

2 全局正解的存在和唯一性

定理1 如果σ1，σ2，σ3滿足：

(7)

其中l(wèi)1，l2是兩個正常數(shù)，且滿足

l1>k1/k2，l2>kcp0(k1+k2)/[k2(k3-kcp0)]，

(8)

(9)

其中l(wèi)1，l2是兩個正常數(shù)且滿足(9)式.這個函數(shù)的非負性由u-1-logu≥0，?u>0可得.令m≥m0和T≥0是任意的，則利用伊藤公式，可以得到

dV(a，b，c)=LVdt+σ1a2dB1(t)+l1(a+b)[σ1adB1(t)+σ2bdB2(t)]+l2(a+b+c)[σ1adB1(t)+σ2bdB2(t)+σ3cdB3(t)]-[σ1dB1(t)+σ2dB2(t)+σ3dB3(t)]，

(10)

其中L是系統(tǒng)(4)的生成算子，因此得到：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

從函數(shù)V的定義和(11)—(16)式，有

由于l1，l2滿足(8)式，這意味著

k2l1-k1>0，l2(k3-kcp0)-(1+l1)kcp0>0，l2(k3-kcp0)-l1kcp0>0，

從而

結(jié)合(8)式，有以下3個不等式：

由此可以得出LV≤C(其中C是常數(shù)).余下證明和文獻[10]定理2.1相似，此處省略.

3 遍歷性

設(shè)X(t)是由隨機方程描述的El(El表示歐幾里得l-空間)中的齊次馬爾可夫過程

(17)

引理1[11-12]假設(shè)存在具有如下性質(zhì)的帶正則邊界Γ的有界域U?El，滿足：

(B1) 在U及其鄰域上，擴散矩陣的最小特征值λ(x)非0；

則馬爾可夫過程X(t)具有平穩(wěn)分布μ(·)，對測度μ可積的函數(shù)f(·)，有

(18)

引理2 令El中的X(t)是一個規(guī)則的暫態(tài)齊次馬爾可夫過程.如果X(t)相對于某個有界域U是常返的，那么它相對于El中的任何非空域也是常返的.

證明為了證明這個結(jié)論，只要證明條件(B1)和(B2)成立即可.方程(4)的擴散矩陣為

從而條件(B1)滿足.

(19)

由定理1中的條件(8)，項ac和bc的系數(shù)也為負.再由條件(7)得到a2，b2，c2的系數(shù)都是負的.令

則(18)式簡化為

ε1=ε，ε2=ε2，ε3=ε3.

(20)

并且ε是充分小的數(shù)，使得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

記

情況1 在D1上，有

由(20)—(21)式可以得到LV≤-1.

情況2 在D2上，

由(20)和(22)式可以得到LV≤-1.

情況3 當(dāng)(a，b，c)∈D3時，

由(20)和(23)式可以得到LV≤-1.

情況4 當(dāng)(a，b，c)∈D4時，

由(20)和(24)式可以得到LV≤-1.

情況5 當(dāng)(a，b，c)∈D5時，

由(20)和(25)式可以得到LV≤-1.

情況6 當(dāng)(a，b，c)∈D6時，

由(20)和(26)式可以得到LV≤-1.

對上述6種情況的討論表明，條件(B2)滿足.這樣就完成了定理2的證明.