具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的隨機(jī)SIRS傳染病模型的趨勢(shì)分析

夏 蘭， 趙亞男

(1.吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春大學(xué)理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130022)

1 預(yù)備知識(shí)

2020年初，新型冠狀病毒性肺炎疫情在全球爆發(fā)，給全世界人民的健康帶來了巨大的威脅，也嚴(yán)重影響了我們的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和日常生活.利用數(shù)學(xué)建模分析傳染病的發(fā)展、傳播和控制越來越受到人們的關(guān)注，為如何制定合適的防控措施和科學(xué)決策提供定量依據(jù).

眾所周知，自然科學(xué)、工程與應(yīng)用科學(xué)中的復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律通常用微分方程來描述.然而，在實(shí)際應(yīng)用中，復(fù)雜的系統(tǒng)會(huì)受到隨機(jī)擾動(dòng)、隨機(jī)環(huán)境、隨機(jī)邊界條件、隨機(jī)輸入和隨機(jī)初始條件等因素的影響，這些可以通過隨機(jī)過程來描述或近似.在隨機(jī)因素的影響下，隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是更適合這些復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)的演化產(chǎn)生微妙的影響.在今年疫情的大環(huán)境下，隨機(jī)傳染病系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為也越來越受到學(xué)者們的關(guān)注[1-4].

在傳染病建模中，疾病發(fā)生率函數(shù)可以合理地描述流行病的傳播.[5-7]在許多流行病學(xué)模型中，相對(duì)于易感和感染個(gè)體的數(shù)量，相應(yīng)的發(fā)病率一般是雙線性的[6，8]，但當(dāng)人口數(shù)量很大時(shí)，與人口成正比的接觸率顯然是不符合實(shí)際的，通常對(duì)人類和某些群居的動(dòng)物來說，與雙線性發(fā)生率相比，標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率更符合實(shí)際情況.Busenberg等[9]討論了一個(gè)經(jīng)典的SIRS傳染病模型：

(1)

其中：S(t)，I(t)和R(t)分別表示t時(shí)刻易感者、感染者和康復(fù)者的數(shù)量；總?cè)丝贜(t)=S(t)+I(t)+R(t)，滿足N′=(b-μ)N-αl；b表示出生率；μ是自然死亡率；β表示接觸率；δ表示康復(fù)者的免疫喪失率；α表示感染者的因病死亡率；γ表示感染者的恢復(fù)率.所有參數(shù)均假定為非負(fù)且b，γ>0，模型分析得到的閾值

(2)

決定了該流行病將滅絕，或者持續(xù)的趨勢(shì).根據(jù)Busenberg等[9]的理論研究，有：

(a) 無(wú)病平衡點(diǎn)(1，0，0)始終存在.當(dāng)R0≤1時(shí)，在可行區(qū)Γ中全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，它是不穩(wěn)定的，這里Γ={x≥0，y≥0，z≥0|x+y+z=1}.

(b) 當(dāng)R0>1時(shí)，存在唯一的地方病平衡點(diǎn)，在Γ0中全局漸進(jìn)穩(wěn)定，這里Γ0=Γ-{(1，0，0)}.

記

介紹采用種群類別比例的方法，即作比例函數(shù)

x=S/N，y=I/N，z=R/N.

(3)

相對(duì)于較為嚴(yán)格的方法要求感染總數(shù)I(t)→0，這里只需考慮較弱的要求比例y(t)→0.

實(shí)際上，流行病不可避免地受到環(huán)境白噪聲的影響，環(huán)境白噪聲是現(xiàn)實(shí)中的重要組成部分.本文考慮將SIRS流行病模型的結(jié)果推廣到隨機(jī)環(huán)境，研究隨機(jī)環(huán)境中疾病發(fā)展趨勢(shì)與基本再生數(shù)(閾值)的關(guān)系，且進(jìn)行了嚴(yán)格的理論推導(dǎo).將隨機(jī)性引入模型(1)[10-11]，得到：

(4)

其中：B1(t)，B2(t)，B3(t)是獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)；σ1，σ2，σ3是其強(qiáng)度；總?cè)丝贜(t)滿足

dN(t)=[(b-μ)N(t)-αI(t)]dt+σ1S(t)dB1(t)+σ2I(t)dB2(t)+σ3R(t)dB3(t).

(5)

應(yīng)用x=1-y-z，容易驗(yàn)證y和z滿足微分方程

(6)

隨機(jī)微分方程的一些基本理論參見文獻(xiàn)[12].在本文中，(Ω，{Ft}t≥0，P)是一個(gè)完備的概率空間，具有流{Ft}t≥0，滿足通常條件(即右連續(xù)和{F0}包含所有零測(cè)集).B(t)是概率空間上定義的一個(gè)標(biāo)量布朗運(yùn)動(dòng).

2 正解的存在唯一性

在研究動(dòng)力學(xué)行為之前，要考慮隨機(jī)系統(tǒng)解是否全局存在.由于系統(tǒng)(6)的系數(shù)不滿足線性增長(zhǎng)條件，因此可能會(huì)在有限的時(shí)間內(nèi)爆破[12].在本節(jié)中，使用Lyapunov分析方法[2]，證明系統(tǒng)(6)的解是全局正解.令不變集

(7)

定理2.1 對(duì)于任意給定初值(y(0)，z(0))∈D，隨機(jī)系統(tǒng)(6)存在唯一的解(y(t)，z(t))∈D，t>0，并且解將以概率1保留在D中，即對(duì)所有的t>0，有(y(t)，z(t))∈D，a.s..

證明定義C2-函數(shù)V：D→[0，R+)，

V(y，z)=(y-1-logy)+(z-1-logz)+[(1-y-z)-1-log(1-y-z)]，

利用伊藤公式，得

其余部分參見Gray等[2]解的存在唯一性的標(biāo)準(zhǔn)證明過程.

3 滅絕性

定理3.1 對(duì)于任意初值(y(0)，z(0))∈D，令(y(t)，z(t))為隨機(jī)系統(tǒng)(6)的解，則

(8)

其中

(9)

(10)

證明應(yīng)用伊藤公式于系統(tǒng)(6)，有

(11)

兩端同時(shí)積分并除以t，得到

(12)

兩端取上極限，得

(13)

如果0<λ<(b+γ)，通過(12)式得

下面證明結(jié)論(10).根據(jù)系統(tǒng)(6)的最后一個(gè)方程，有

其中：

(14)

從而

其解為

(15)

其中

通過(9)式和M2(t)軌跡是連續(xù)的，表明存在一些零測(cè)集N，使得P(N)=0，并且對(duì)于任何ω?N，M2(·，ω)是連續(xù)的，得

這里Δ被定義為(9)式.因此，對(duì)于任何ε>0，存在T=T(ω)，使得

y(t，ω)≤exp((Δ+ε)t)，?t≥T.

故對(duì)于所有ω∈Ω，如果t>T(ω)，通過(15)式，有

定理3.1揭示了當(dāng)滿足一定條件時(shí)，感染者比例函數(shù)長(zhǎng)時(shí)間行為趨于0，表示疾病趨于滅絕.

4 持續(xù)性

證明根據(jù)系統(tǒng)(6)，有

(16)

這里

若滿足定理4.1的條件，有

計(jì)算得

(17)

因?yàn)?

(18)

根據(jù)(11)式的第2個(gè)等式，有

將其從0到t積分并兩邊除以t，得到

因此得到

根據(jù)(6)式最后的等式得

其中bk(t)由(14)式定義，則

5 遍歷性

這里根據(jù)Khasminskii[14]的理論證明存在平穩(wěn)分布且是遍歷的，是一種弱穩(wěn)定性，表明該疾病也將流行.

(19)

不難知道f(y，z)在(rθ，1-(r+1)θ)處達(dá)到最大值，這里

f(y，z)

LV=LV1+LV2+LV3+LV4，

其中

則

定義一個(gè)封閉的集合

Uε，k={(x，y)∈D|ε≤x≤1-ε，ε≤y≤1-ε，x+y≤1-k}，

這里ε，k>0和ε2=k，使它們盡可能的小，滿足：

rεβ(1+(α+γ)/(b+δ))<1，

(20)

(21)

(22)

令：

那么

由(21)式，得到LV(x)<-1.

使得

從而Hasminskii[14]提出的條件(B.1)滿足.因此，隨機(jī)系統(tǒng)(6)具有平穩(wěn)分布μ(·)，且是遍歷的.

6 結(jié) 論

本文分析了具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率的隨機(jī)SIRS傳染病模型，分析結(jié)果表明隨機(jī)系統(tǒng)(6)存在唯一的正解.在滿足條件(9)的情況下，流行病將趨于滅絕.當(dāng)滿足定理4.1條件時(shí)，流行病將長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)發(fā)生.定理5.1給出流行病系統(tǒng)在持久情況下的遍歷行為，存在平穩(wěn)分布.本文結(jié)果對(duì)流行病防治提供參考性建議.