基于記憶多項式的時間交織模數(shù)轉(zhuǎn)換器自適應(yīng)非線性失配校正方法

劉素娟 張仲侯

(北京工業(yè)大學(xué)微電子學(xué)院 北京 100124)

1 引言

模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter,ADC)在現(xiàn)代電子系統(tǒng)中扮演著至關(guān)重要的角色，在各個領(lǐng)域都獲得了廣泛的應(yīng)用[1-3]，高速、高分辨率是當今ADC的發(fā)展方向。然而，對于ADC來說，采樣率和分辨率是一對相互制約的指標，由于制造工藝的限制，單個ADC很難同時滿足高采樣率和高分辨率的要求。文獻[4]在1980年提出通過時間交織(time-interleaved)的方式對信號進行采樣，即時間交織模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Time-Interleaved Analog-to-Digital Converter, TIADC)。從而可以在現(xiàn)有制造工藝的條件下，成倍地提高采樣率。

由于器件制造工藝的非理想性，不可避免地會在通道之間引入失配誤差，這些誤差會降低TIADC的有效分辨率等動態(tài)性能[5,6]。在過去的幾十年間，大量的學(xué)者對TIADC通道之間如增益失配誤差、采樣時刻失配誤差、頻率響應(yīng)失配誤差等線性失配誤差的估計和校正方法進行了深入的研究[7-10]。近些年來，學(xué)者逐漸開始對TIADC中的非線性失配誤差(nonlinear mismatch error)產(chǎn)生興趣，非線性誤差是由于模擬前端電路的非理想性、子ADC中的積分非線性以及微分非線性引入[11]，TIADC通道之間非線性的差異又會引起非線性失配誤差。

很多學(xué)者對TIADC非線性失配誤差進行分析并進行估計和校正[12-18]。文獻[12,13]提出了一種通道隨機化的校正策略，但是引入了額外的子ADC，增加了硬件資源消耗。文獻[14,15]提出了一種基于Volterra級數(shù)的TIADC行為級模型，對TIADC的動態(tài)非線性失配誤差進行建模并提出了一種適用于硬件實現(xiàn)的補償結(jié)構(gòu)。文獻[16,17]提出了TIADC靜態(tài)非線性失配誤差的自適應(yīng)校正算法，文獻[16,17]均利用多項式模型對TIADC靜態(tài)非線性失配誤差進行建模，分別采用了帶寬有效利用(Band Width Efficiency, BWE)和哈達瑪調(diào)制的方法進行校正，并采取了濾波最小二乘的方法進行非線性失配誤差的估計。文獻[18]采用了簡化的Volterra級數(shù)對雙通道TIADC靜態(tài)非線性失配誤差進行建模并利用自相關(guān)函數(shù)和最小均方(Least Mean Square, LMS)迭代算法進行了失配誤差的估計。

目前只有少量的文章對TIADC帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的估計和校正方法進行研究。文獻[19]提出了聯(lián)合盲校正算法對雙通道TIADC的帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差進行校正，使用歸一化最小均方(normalized-LMS)算法對非線性失配誤差進行估計和補償，但是該方法只適用于兩通道非線性失配誤差的校正，難以擴展到多通道的情況；文獻[20]提出了多相非線性均衡器(polyphase NonLinear EQualizer, pNLEQ)，可以同時對線性失配誤差和高階非線性失配誤差進行校正，但是因為校正過程涉及復(fù)雜的復(fù)數(shù)運算，會消耗大量的硬件資源，所以不便在實際的硬件結(jié)構(gòu)中實現(xiàn)。

本文針對M通道的TIADC帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差提出了一種基于子通道重構(gòu)結(jié)構(gòu)的盲校正方法。相比于BWE和哈達瑪變換的方法：首先，不僅能對靜態(tài)非線性失配誤差進行校正，還能對帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差進行校正；其次，不需要產(chǎn)生正弦調(diào)制序列，有更少的硬件資源消耗；最后，LMS算法模塊以及誤差重構(gòu)中乘法器模塊的工作頻率僅為TIADC總采樣頻率的1/M，降低了系統(tǒng)功耗。

2 系統(tǒng)建模

理想的TIADC結(jié)構(gòu)如圖1所示，本文假設(shè)只存在帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差，偏置失配、增益失配以及時間失配誤差均已對其進行補償。

圖1 TIADC結(jié)構(gòu)示意圖

2.1 帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的子ADC的離散模型

本文考慮一個帶限的模擬輸入信號xa(t)，其最高頻率為fmax。xa(t)的模擬頻譜(傅里葉變換)表示為Xa(jΩ)，其中Ω=2 πf表示模擬角頻率(rad/s)，f表示模擬頻率(Hz)。

采樣周期為Ts理想ADC的離散時間輸出信號表示為

xd[n]的數(shù)字頻譜離散時間傅里葉變換(Discrete-Time Fourier Transform, DTFT)表示為Xd(ejω)，其中ω表示采樣率為fs下的數(shù)字角頻率(弧度/采樣周期，rad/sample)，關(guān)系為

因此，模擬頻譜和數(shù)字頻譜之間的關(guān)系可表示為[21]

圖2是帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的子ADC的離散模型，模擬輸入信號xa(t)首先經(jīng)過采樣得到了離散信號xd[n]，然后經(jīng)過P 階的離散時間Volterra級數(shù)(Discrete Time Volterra Series, DTVS)后得到了輸出信號xv[n]，因為本文僅考慮非線性失配誤差，所以2≤p≤P，DTVS的表達式為

圖2 帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的子ADC的離散模型

2.2 帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的TIADC的離散模型

對于一個M通道的TIADC，每個子ADC都具有不同的非線性誤差，整個系統(tǒng)的離散等效模型如圖3所示。為了方便后續(xù)表示，2.1節(jié)中的模擬輸入信號xa(t)以及第m通道采樣后的值分別用x(t)以及xm[nM]表示。此外，不同于2.1節(jié)的單通道ADC，本節(jié)以及之后的內(nèi)容，TIADC的采樣率和采樣周期為fs以及Ts，而每個子ADC的采樣周期為TIADC的M倍，即MTs。

圖3 帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的TIADC的離散模型

由2.1節(jié)中的理論可知，第m個子ADC的降采樣序列xm[v]可以表示為

其傅里葉變換表示為

cm,p,q表示第m個子ADC的p階非線性項記憶長度為q時的誤差系數(shù)。

ym[v]經(jīng)過升采樣并相加之后得到了TIADC的輸出y[n]，其表達式為

3 校正方法

基于圖3中的TIADC等效模型，本節(jié)提出了一種針對M通道中帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差的自適應(yīng)盲校正方法。校正方法的基本原理是利用估計的非線性誤差系數(shù)和子通道重構(gòu)結(jié)構(gòu)(Sub-Channel Reconstruction, SCR)重構(gòu)誤差信號，然后從TIADC的輸出中減去誤差信號，采用了濾波降采樣最小二乘(Filtered-Down-sampled Least Mean Square, FDLMS)算法在輸入無關(guān)頻帶(Input Free Band, IFB)中得到誤差信號以此來估計非線性誤差系數(shù)。

3.1 校正結(jié)構(gòu)

誤差信號e[n]可以由輸入信號x[n]進行完美重構(gòu)，但是實際情況中，輸入信號是未知的，可以用y[n]來近似x[n]進行重構(gòu)[17]。重構(gòu)信號可以表示為

c?m表示誤差估計矩陣。

圖4展示了M通道TIADC的校正結(jié)構(gòu)，TIADC的輸出y[n]經(jīng)過M倍降采樣率的降采樣模塊，數(shù)據(jù)的頻率降到了TIADC總采樣率的1/M，也就是每個子ADC的采樣率fs/M。后續(xù)模塊的工作頻率也均為fs/M。降采樣模塊子通道輸出ym[v]通過子通道誤差重構(gòu)(Sub-Channel Reconstruction, SCR)模塊后，再經(jīng)過升采樣模塊以及一個單位的延遲得到了重構(gòu)后的誤差信號e?[n]。利用ym[v]進行乘方操作依次得到2階項ym2[v]到最高階P階項ymP[v]，然后分別乘以對應(yīng)的系數(shù)cm,2,0～cm,P,0，再累加得到了一個基本誤差重構(gòu)單元(Basic Error Reconstruction Unit, BERU)，利用ym[v]得到Q-1個延時分量ym[v-1]～ym[v-Q+1]，這Q-1個延時分量再經(jīng)過Q-1個基本誤差重構(gòu)單元，最后將Q個基本誤差重構(gòu)單元的輸出合并得到重構(gòu)后的信號yRS_m[v]，其公式為

圖4 M通道TIADC帶有記憶效應(yīng)的非線性誤差校正原理結(jié)構(gòu)圖

3.2 估計結(jié)構(gòu)和整體框架

為了估計系數(shù)矩陣cm的值，考慮一個帶限輸入信號，帶寬范圍為[0, βπ]，其中0<β<1。若TIADC內(nèi)不存在任何誤差，那么在TIADC的輸出頻譜僅在[0,βπ]內(nèi)有信號能量，當非線性誤差存在時，在[βπ,π]頻帶范圍內(nèi)將會產(chǎn)生誤差能量，但是沒有輸入信號的能量，這個部分稱為輸入無關(guān)頻帶(Input Free Band, IFB)或者失配頻帶(Mismatch Band)。圖5給出了含有2階非線性誤差的四通道TIADC的IFB示意圖，其中X(jΩ)和E(jΩ)分別表示x[n]和e[n]的連續(xù)時間傅里葉變換。因此在[βπ,π]范圍內(nèi)的這部分能量可以通過一個高通濾波器濾出并結(jié)合FDLMS算法對誤差系數(shù)矩陣cm進行估計。誤差信號e[n]經(jīng)過高通濾波器f[n]濾波后的誤差濾波信號ε[n]表示為

圖5 含有2階非線性誤差的四通道TIADC輸入無關(guān)頻帶示意圖[7]

表示信號向量X和Y經(jīng)過高通濾波器之后的部分。圖6為基于FDLMS迭代算法的M通道TIADC的非線性誤差自適應(yīng)盲校正的結(jié)構(gòu)示意圖，D代表高通濾波器f[n]的延遲，ε[n]經(jīng)過另外一個降采樣模塊得到εm[v],m=0, 1, 2, ··· , M-1。LMS為最小均方算法模塊，估計誤差系數(shù)矩陣c?m中元素c?m(q,p-2)=c?m,p,q基于FDLMS迭代算法的迭代公式為

其中，μ為迭代步長，T=-(M+D)/M。迭代式(31)通過不斷迭代減小ε[n]的值，當式(31)收斂時，ε[n]的值被減到最小，從而估計出系數(shù)c?m,p,q的值，進而得到估計的系數(shù)矩陣c?m。 圖6中采用了向量表達方式使得圖示更簡潔，其中

圖6 基于FDLMS算法的M通道自適應(yīng)盲校正算法結(jié)構(gòu)示意圖

4 仿真結(jié)與實驗

本節(jié)展示了所提出校正結(jié)構(gòu)的仿真結(jié)果。利用MATLAB Simulink建立了四通道、16 bit的TIADC模型，高通濾波器利用FADTOOL工具進行設(shè)計，階數(shù)為40階，通帶左側(cè)歸一化頻率設(shè)置為0.8π。迭代步長μ設(shè)置為0.001，估計系數(shù)矩陣c?m(m=0, 1, ··· , M-1)初始設(shè)為零矩陣，非線性最高階設(shè)置為3，記憶長度為2，系數(shù)矩陣c設(shè)置為

4.1 多頻點實驗

本實驗選取了如下輸入信號

由DC到0.79π(歸一化頻率)均勻分布的正弦信號。圖7比較了校正前后的頻譜。從結(jié)果可以看出，本文所提出的校正方法有效地提高了TIADC系統(tǒng)的無雜散動態(tài)范圍(Spurious Free Dynamic Range,SFDR)。校正之前由于非線性失配誤差，TIADC的SFDR只有51.1083 dB，校正之后，TIADC的SFDR增加到了92.3539 dB。圖8給出了每個通道分支對應(yīng)的誤差收斂曲線，其中黑色虛線表示真實值。

圖7 多頻點輸入信號校正效果示意圖

圖8 多頻點輸入信號情況下誤差收斂曲線

4.2 白噪聲實驗

本實驗選取了一個低通信號，仍然使用4.1節(jié)中的四通道TIADC。一個均值為0，方差為1的高斯白噪聲信號經(jīng)過一個截止頻率為0.78π的低通濾波器得到所需的低通信號。為了量化在通帶中的校正效果，本文計算了誤差向量幅度(Error Vector Magnitude, EVM)，其公式為[16]

其中，X(q)表示期望信號的頻譜，而Y(q)則表示校正信號的頻譜。Q是FFT的總點數(shù)(圖9中采用了點數(shù)為3.2×104的FFT)。圖9是校正前后的頻譜對比，可以看到，TIADC系統(tǒng)在輸入無關(guān)帶中的最大失真由-49.74 dB降低到了-89.85 dB，圖10給出了4個子通道所對應(yīng)的誤差收斂曲線，黑色虛線代表系數(shù)的真實值。TIADC校正前后的EVMdB分別為-47.77 dB和-88.11 dB。

圖9 低通白噪聲輸入信號校正效果示意圖

圖10 低通白噪聲輸入信號情況下誤差收斂曲線

4.3 計算復(fù)雜度

本節(jié)分析了所提出方法的計算復(fù)雜度。本方法對比其他論文主要的優(yōu)勢在于對硬件資源消耗更少，避免了正弦調(diào)制信號。此外，本文的帶有記憶效應(yīng)的校正結(jié)構(gòu)也適用于靜態(tài)非線性失配誤差校正，當記憶長度為1的時候，所提出的結(jié)構(gòu)即等效于靜態(tài)非線性模型。從圖6可以看到，一個BERU里面的乘法器數(shù)目為2(P-1)，因此每一個降采樣后的SCR模塊包含乘法器數(shù)目為2(P-1)Q，總的乘法器數(shù)目為2M(P-1)Q，但是這些乘法器工作頻率均為Fs/M，因此就等效于在Fs的工作頻率下使用了2(P-1)Q個乘法器[16]，加上高通濾波器的乘法器數(shù)目Nf/2+1，本文校正算法每個采樣周期使用的乘法器數(shù)目為2(P-1)Q+Nf/2+1。表1給出了本文和其他方法的對比。對比文獻[16]和文獻[17]，在只考慮靜態(tài)非線性的情況下，本文采用方法的乘法器較少，且不需要調(diào)制器，避免了生成正弦序列的復(fù)雜電路。

表1 計算復(fù)雜度的對比

圖11展示了3種方法所消耗的乘法器數(shù)量以及乘法器數(shù)目的比率。高通濾波器的階數(shù)為44，因此系數(shù)對稱的有限沖激響應(yīng)(Finite Impulse Response,FIR)濾波器乘法器數(shù)目為22，可以看到，隨著通道數(shù)目M以及非線性最高階數(shù)P的增加，BWE方法[16]以及哈達瑪矩陣調(diào)制方法[17]的計算復(fù)雜度不斷增加，而本文的方法僅隨著非線性誤差最高階P以及記憶長度Q增長，和通道數(shù)目M無關(guān)。在M=16,P=7, Q=2時3種方法消耗乘法器數(shù)目分別(BWE、哈達瑪、本文)為227, 125和47，消耗乘法器比率分別為6.31和3.57。本文所提結(jié)構(gòu)硬件消耗遠小于另外兩種方法。其中比率公式為

圖11 計算復(fù)雜度對比

5 結(jié)束語

本文介紹了一種自適應(yīng)盲校正方法來校正M通道TIADC中帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差。通過子通道重構(gòu)結(jié)構(gòu)(SCR)重構(gòu)非線性引起的誤差信號，并通過FDLMS算法估計了各通道的非線性失配誤差系數(shù)。本文所提出的方法首先不僅能校正靜態(tài)非線性失配誤差，也能校正帶有記憶效應(yīng)的非線性失配誤差，其次避免了調(diào)制器的使用，與基于正弦序列和哈達瑪變換的方法相比，硬件資源和功耗大量減少。