不可觀察的N-策略工作休假M(fèi)/M/1/Q排隊(duì)系統(tǒng)分析

張 博,李 凱,2

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.過程優(yōu)化與智能化決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

0 引 言

近年來,很多學(xué)者對(duì)于休假排隊(duì)系統(tǒng)的研究越來越深入,通過對(duì)經(jīng)典M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)參數(shù)和約束條件的改變,使得排隊(duì)論的研究更加符合現(xiàn)實(shí)排隊(duì)情況。N-策略休假是指當(dāng)系統(tǒng)中等待的顧客數(shù)大于或等于N時(shí),系統(tǒng)開始啟動(dòng)服務(wù),直到將系統(tǒng)中的顧客全部服務(wù)完時(shí),系統(tǒng)立即轉(zhuǎn)為休假狀態(tài)。

文獻(xiàn)[1]最早將N-策略引入排隊(duì)系統(tǒng);文獻(xiàn)[2]將N-策略拓展到M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)中,并考慮了收益成本的經(jīng)濟(jì)行為;文獻(xiàn)[3]分析了容量有限的N-策略M/G/1排隊(duì)系統(tǒng);文獻(xiàn)[4]使用嵌入馬爾科夫鏈方法研究了N-策略GI/M/1隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng),并給出了穩(wěn)態(tài)時(shí)刻系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)和顧客等待時(shí)間的分布情況;文獻(xiàn)[5]從成本最小化角度考慮了容量有限和容量無限2種情形下的N-策略M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)行情況;文獻(xiàn)[6]研究了關(guān)于顧客成批到達(dá)的情況,并根據(jù)線性成本結(jié)構(gòu)給出了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的最優(yōu)運(yùn)行策略;文獻(xiàn)[7]結(jié)合N-策略和單重工作休假分析了MX/G/1排隊(duì)系統(tǒng);文獻(xiàn)[8-12]對(duì)N-策略休假排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了一系列的研究。以上的研究都是假設(shè)系統(tǒng)在休假期間內(nèi)不提供服務(wù),也有部分學(xué)者將N-策略與工作休假隊(duì)列相結(jié)合展開研究。文獻(xiàn)[13]研究了N-策略工作休假M(fèi)/M/1排隊(duì)系統(tǒng),考慮系統(tǒng)在休假期間的服務(wù)率不為0的情形;文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上分析了負(fù)顧客對(duì)N-策略工作休假M(fèi)/M/1系統(tǒng)的影響;文獻(xiàn)[15]利用擬生滅過程和矩陣分解方法分析了同時(shí)考慮帶有啟動(dòng)期和負(fù)顧客的N-策略工作休假M(fèi)/M/1排隊(duì)系統(tǒng);文獻(xiàn)[16]按照顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)所獲得信息層次的不同,考慮了N-策略工作休假M(fèi)/M/1排隊(duì)系統(tǒng)中全可見和幾乎全可見2種情形下的顧客行為,并分析了系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)和顧客行為的影響。

本文將N-策略工作休假機(jī)制與系統(tǒng)容量約束相結(jié)合，分析不可觀察的N-策略工作休假M(fèi)/M/1/Q排隊(duì)系統(tǒng),給出了顧客期望逗留時(shí)間、系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)等指標(biāo)的分布情況。與文獻(xiàn)[16]不同的是:① 排隊(duì)系統(tǒng)的容量是有約束的,當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)大于或者等于Q時(shí),再到達(dá)的顧客將被拒絕加入系統(tǒng);② 本文考慮的是不可觀察的隊(duì)列,即顧客無法獲得系統(tǒng)服務(wù)器所處的狀態(tài)信息,并根據(jù)顧客能否觀察到系統(tǒng)中的人數(shù)信息進(jìn)一步分為幾乎不可見和完全不可見2種情形展開研究。

1 模型描述

考慮一個(gè)容量有限的N-策略工作休假M(fèi)/M/1/Q排隊(duì)系統(tǒng),系統(tǒng)容量為Q,潛在顧客到達(dá)率為λs。忙碌狀態(tài)下的系統(tǒng)服務(wù)率為μ1,顧客進(jìn)隊(duì)概率為α1;休假狀態(tài)下的系統(tǒng)服務(wù)率為μ0,顧客進(jìn)隊(duì)概率為α0。λ1=λsα1,λ0=λsα0,λs<μ0<μ1。顧客接受完服務(wù)所獲得的收益為R,顧客在系統(tǒng)中的單位時(shí)間逗留成本為C,系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)可以用(N(t),I(t))表示。其中:N(t)為t時(shí)刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)；I(t)為t時(shí)刻系統(tǒng)服務(wù)器的狀態(tài)。(n,0)表示系統(tǒng)中有n位顧客且服務(wù)器處于休假狀態(tài),0≤n≤N-1;(n,1)表示系統(tǒng)中有n位顧客且服務(wù)器處于忙碌狀態(tài),1≤n≤Q。系統(tǒng)從狀態(tài)(0,0)開始運(yùn)行,當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)達(dá)到N時(shí),系統(tǒng)服務(wù)器從休假狀態(tài)轉(zhuǎn)換為忙碌狀態(tài),直到系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)為0時(shí),系統(tǒng)將再次回歸到休假狀態(tài)。因此,系統(tǒng)在休假狀態(tài)下的均衡隊(duì)長(zhǎng)大于或等于N時(shí)才能保證系統(tǒng)能夠從休假狀態(tài)轉(zhuǎn)換到忙碌工作狀態(tài),否則系統(tǒng)始終處于休假狀態(tài)無法正常工作。系統(tǒng)運(yùn)作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)運(yùn)作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

本文根據(jù)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)所獲得信息層次的不同,分為2種情況對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布情況進(jìn)行研究。

(1) 幾乎不可見情形。顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)要么選擇加入隊(duì)列,要么立即離開,但是在作出決定之前顧客只知道當(dāng)前系統(tǒng)中的人數(shù)信息,無法觀察到服務(wù)器的狀態(tài)信息。

(2) 完全不可見情形。顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)既無法獲得關(guān)于系統(tǒng)中的人數(shù)信息,也無法觀察到服務(wù)器的狀態(tài)信息。

2 幾乎不可見情形

幾乎不可見情形是指顧客在t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng),其只能觀察到服務(wù)器所處的狀態(tài)信息I(t),無法獲得系統(tǒng)中的顧客數(shù)信息N(t)。

定理1 在幾乎不可見情形下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率分布為P(n,i),其中,(n,i)∈{0,0}∪{1,…,N-1}×{0,1}∪{N,…,Q}×{1},根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可得:

n=0,1,…,N-1

(1)

(2)

n=N+1,N+2,…,Q

(3)

證明利用馬爾科夫過程理論建立系統(tǒng)平衡方程如下:

μ1P(1,1)+μ0P(1,0)=λ0P(0,0)

(4)

(λ1+μ1)P(1,1)=μ1P(2,1)

(5)

(λ0+μ0)P(n,0)=λ0P(n-1,0)+

μ0P(n+1,0),n=1,2,…,N-2

(6)

λ0P(N-2,0)=(λ0+μ0)P(N-1,0)

(7)

λ0P(N-1,0)+λ1P(N-1,1)+

μ1P(N+1,0)=(λ1+μ1)P(N,1)

(8)

λ1P(n-1,1)+μ1P(n+1,0)=

(λ1+μ1)P(n,1),n=2,3,…,N-1

(9)

λ1P(n-1,1)+μ1P(n+1,0)=

(λ1+μ1)P(n,1),n=N+1,N+2,…,Q

(10)

根據(jù)差分方程,即可求解。

再由正則性條件，即

(11)

解得:

(12)

證畢。

根據(jù)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)服務(wù)器所處的狀態(tài)分2種情形進(jìn)行討論。

情形1 服務(wù)器處于休假狀態(tài),即I(t)=0。

(13)

證明服務(wù)器處于休假狀態(tài)的概率為:

(14)

服務(wù)器休假狀態(tài)下系統(tǒng)存在n位顧客的概率為:

(15)

服務(wù)器處于休假狀態(tài)下的平均隊(duì)長(zhǎng)為:

(16)

系統(tǒng)為空時(shí),顧客加入系統(tǒng)后的期望逗留時(shí)間為:

(17)

系統(tǒng)內(nèi)存在n∈[1,N-2]位顧客時(shí),此時(shí)加入的顧客期望逗留時(shí)間[16]為:

(18)

其中,Pn,01為顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)服務(wù)器處于休假狀態(tài)且系統(tǒng)內(nèi)的人數(shù)為n,該顧客以服務(wù)率μ1接受服務(wù)的概率;Pk,01為系統(tǒng)服務(wù)完k個(gè)顧客后能夠從休假狀態(tài)轉(zhuǎn)換到忙碌狀態(tài)的概率。

(19)

系統(tǒng)內(nèi)存在N-1位顧客時(shí),此時(shí)加入顧客的期望逗留時(shí)間為:

(20)

則休假狀態(tài)下顧客的期望逗留時(shí)間為:

(21)

證畢。

情形2 服務(wù)器處于忙碌狀態(tài),即I(t)=1。

(22)

證明服務(wù)器處于忙碌狀態(tài)的概率為:

(23)

服務(wù)器處于忙碌狀態(tài)下系統(tǒng)中存在n位顧客的概率為:

(24)

服務(wù)器處于忙碌轉(zhuǎn)態(tài)下的平均隊(duì)長(zhǎng)為:

(25)

則忙碌狀態(tài)下的顧客期望逗留時(shí)間為:

(26)

證畢。

3 完全不可見情形

假設(shè)顧客在t時(shí)刻到達(dá)系統(tǒng), 其既不能觀察到服務(wù)器所處的狀態(tài)信息I(t),也無法獲得系統(tǒng)中的顧客數(shù)信息N(t)。因此,在完全不可見情形中本文考慮顧客的對(duì)稱均衡策略,即所有顧客采用相同的進(jìn)隊(duì)策略,則完全不可見情形中系統(tǒng)的有效到達(dá)率為λ=λsα。

完全不可見情形下的系統(tǒng)運(yùn)作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖2所示。

圖2 完全不可見情形下系統(tǒng)運(yùn)作狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

令λ0=λ1=λ,可以得到完全不可見情形下系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)為:

(27)

系統(tǒng)容量已滿時(shí)的概率為:

(28)

故完全不可見情形下單位時(shí)間期望社會(huì)收益為:

Sfu=Rλ(1-PQ)-CLfu

(29)

(1) 當(dāng)Q=20、R=5、C=1.5、λ=1.4、μ0=1.5、μ1=2時(shí),考慮N-策略閾值N對(duì)于系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu、單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的影響,結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知,Lfu隨著N增大而增大,Sfu隨著N增大而減小。N-策略閾值越大,系統(tǒng)越難從休假狀態(tài)轉(zhuǎn)換為正常工作狀態(tài),而系統(tǒng)在正常工作狀態(tài)下的服務(wù)率μ1大于休假狀態(tài)下的服務(wù)率μ0,因此閾值的增大必然會(huì)導(dǎo)致Lfu增大,進(jìn)而導(dǎo)致Sfu下降。

圖3 參數(shù)N對(duì)系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu、單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的影響

因此,為了提高社會(huì)收益,降低系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng),服務(wù)商應(yīng)當(dāng)將N-策略閾值控制在一個(gè)較低的水平內(nèi),但企業(yè)還需要結(jié)合自身實(shí)際的運(yùn)行成本進(jìn)行進(jìn)一步的分析研究。

(2) 當(dāng)Q=20、R=5、C=1.5、N=5、μ0=1.5、μ1=2時(shí),考慮到達(dá)率λ對(duì)于系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu、單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的影響,結(jié)果如圖4所示。

圖4 參數(shù)λ對(duì)系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu、單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的影響

由圖4可知,系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu隨著到達(dá)率λ的增大而增大,這是由于隨著到達(dá)率λ的增大,單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)就會(huì)增多,進(jìn)而導(dǎo)致排隊(duì)人數(shù)的增加。隨著到達(dá)率λ的不斷增加,單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu先增大后減小,這是由于一開始到達(dá)率λ的增加會(huì)使得系統(tǒng)更加容易從休假狀態(tài)轉(zhuǎn)換到忙碌狀態(tài),使得系統(tǒng)可以更快地服務(wù)顧客。當(dāng)?shù)竭_(dá)率增大到一定程度后,系統(tǒng)開始變得擁擠,顧客在系統(tǒng)內(nèi)逗留的時(shí)間也越來越長(zhǎng),從而導(dǎo)致系統(tǒng)單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的下降。

因此,為了降低系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng),提高顧客滿意度,服務(wù)系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)控制顧客的輸入過程,使得單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)人數(shù)不能過多。但是從提高社會(huì)收益的角度出發(fā),企業(yè)則需要根據(jù)系統(tǒng)服務(wù)率等其他指標(biāo)將顧客到達(dá)率控制在一個(gè)合理的范圍內(nèi)。

(3) 當(dāng)R=5、C=1.5、N=5、λ=1.4、μ0=1.5、μ1=2時(shí),考慮系統(tǒng)容量Q對(duì)于系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu、單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的影響,結(jié)果如圖5所示。

圖5 參數(shù)Q對(duì)系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu、單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的影響

由圖5可知,系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu隨著系統(tǒng)容量Q的增大而減小,單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu隨著系統(tǒng)容量Q的增大而增大。這是因?yàn)殡S著系統(tǒng)容量Q的增大,將會(huì)有更多的客戶能夠接受到服務(wù), 而系統(tǒng)在忙碌狀態(tài)下的服務(wù)率較高,從而導(dǎo)致系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)Lfu的減少以及單位時(shí)間期望社會(huì)收益Sfu的增大。

因此,在服務(wù)系統(tǒng)建設(shè)允許的情況下,為了提高社會(huì)收益和顧客滿意度,服務(wù)商們應(yīng)當(dāng)盡量提高系統(tǒng)的容量。

4 結(jié) 論

本文通過引用馬爾科夫過程對(duì)容量有限的N-策略工作休假M(fèi)/M/1/Q排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行研究,考慮了不同信息條件下顧客期望逗留時(shí)間和系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)的分布。通過數(shù)值模擬,分析了N-策略閾值,系統(tǒng)到達(dá)率λ以及系統(tǒng)容量Q等參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)期望隊(duì)長(zhǎng)和單位時(shí)間期望社會(huì)收益的影響,為服務(wù)系統(tǒng)提高顧客滿意度和社會(huì)收益提供了決策依據(jù)。

在接下來的研究中,將要考慮顧客加入系統(tǒng)后,由于顧客的不耐煩而選擇中途退出的情況對(duì)于顧客行為和服務(wù)系統(tǒng)的影響。