一種準(zhǔn)零剛度聲學(xué)超材料板的低頻寬頻帶隔聲行為*

胥強(qiáng)榮 沈承2)? 韓峰3) 盧天健?

1) (南京航空航天大學(xué)，機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

2) (西安交通大學(xué)，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

3) (上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院功能結(jié)構(gòu)部，上海 201210)

在傳統(tǒng)彈簧-振子局域共振基礎(chǔ)上，本文并聯(lián)傾斜彈簧負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，提出一種新型的準(zhǔn)零剛度局域共振型聲學(xué)超材料板，以實(shí)現(xiàn)低頻寬頻帶有效隔聲.首先，從動(dòng)力學(xué)角度推導(dǎo)準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)的歸一化等效剛度;然后，基于等效介質(zhì)法建立聲學(xué)超材料板的隔聲理論模型，并通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬(有限元)結(jié)果，討論其在正負(fù)等效剛度區(qū)的隔聲效果;最后，為驗(yàn)證理論預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，制備準(zhǔn)零剛度超材料板樣件并采用阻抗管對(duì)其進(jìn)行測(cè)試.結(jié)果表明:在正剛度區(qū)，增大彈簧的剛度比或預(yù)壓縮量可顯著降低超材料板的局域共振頻率，如在10 Hz 附近獲得30 dB 的傳輸損失，實(shí)現(xiàn)了超低頻隔聲.在負(fù)剛度區(qū)，超材料板不產(chǎn)生局域共振現(xiàn)象，且可避免“吻合效應(yīng)”引起的隔聲低谷現(xiàn)象，故可在53—1500 Hz 寬頻段內(nèi)實(shí)現(xiàn)大寬帶隔聲(大于30 dB)，相較傳統(tǒng)材料或類似的超材料具有顯著優(yōu)勢(shì).進(jìn)一步利用理論模型，從等效質(zhì)量面密度、反射系數(shù)和聲阻抗率等多個(gè)角度，分析了超材料板的隔聲機(jī)理，在隔聲峰處發(fā)現(xiàn)了負(fù)的等效質(zhì)量密度，且隔聲谷處產(chǎn)生了低頻“吻合效應(yīng)”.本文提出利用準(zhǔn)零剛度局域共振思想實(shí)現(xiàn)低頻寬帶隔聲的方法，克服了傳統(tǒng)超材料需減小剛度或增大附加質(zhì)量的不利特性，對(duì)低頻隔聲結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有重要的理論指導(dǎo)意義.

1 引言

中高頻噪聲通?？刹捎梦裘?、穿孔板等方案進(jìn)行有效控制.相較而言，由于低頻聲波(20—400 Hz)在傳播過(guò)程中的穿透能力強(qiáng)，難以衰減，目前對(duì)低頻甚至超低頻聲波的抑制尚未形成較好的方法[1，2].近年來(lái)，聲子晶體和聲學(xué)超材料在國(guó)內(nèi)外實(shí)現(xiàn)了快速發(fā)展，為解決該難題提供了新的思路.作為一種亞波長(zhǎng)復(fù)合微結(jié)構(gòu)[3]，通過(guò)巧妙設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)單元的微結(jié)構(gòu)排布位置和方式，聲學(xué)超材料可在宏觀上表現(xiàn)出天然材料所不具備的聲學(xué)性能，如負(fù)等效質(zhì)量密度[4]、負(fù)等效模量[5]、負(fù)折射和平面聚焦[6]等，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“聲隱身”[7]、“完美透鏡”[8]和“低頻吸聲”[9]等新穎應(yīng)用.

基于對(duì)聲波的控制機(jī)理，可將聲學(xué)超材料分為Bragg 散射和局域共振兩大類.Bragg 散射指的是微結(jié)構(gòu)周期變化的材料和彈性波相互作用，會(huì)使某些頻率的波在材料中無(wú)法傳播，即產(chǎn)生Bragg 散射帶隙[10].但是，波長(zhǎng)和晶格尺寸處在同一量級(jí)才產(chǎn)生Bragg 帶隙，故Bragg 散射僅能抑制高頻聲波.2000 年，Liu 等[11]以黏彈性軟材料包裹鉛球組成簡(jiǎn)單立方晶格結(jié)構(gòu)鑲嵌于環(huán)氧樹(shù)脂中，構(gòu)建了一種三組元聲子晶體，其禁帶的對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)大于晶格尺寸兩個(gè)量級(jí)，突破了Bragg 散射機(jī)理的限制.目前，雖然采用三組元聲學(xué)超材料可取得較好的低頻隔聲性能，但其制備和使用均存在較大局限.

相較而言，二維薄膜/薄板型聲學(xué)超材料具有更大的應(yīng)用價(jià)值，獲得了廣泛關(guān)注[12-16].梅軍等[17]發(fā)現(xiàn)，在薄膜中央附加一質(zhì)量塊，可在兩個(gè)最低本征頻率之間的某個(gè)特定頻率處實(shí)現(xiàn)聲波的全反射，且該頻率附近具有負(fù)的等效動(dòng)態(tài)質(zhì)量密度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該設(shè)計(jì)在100—1000 Hz 頻段內(nèi)具有良好隔聲效果.賀子厚等[18]設(shè)計(jì)了一種帶附加質(zhì)量的薄膜底面Helmholtz 腔吸聲結(jié)構(gòu)，基于有限元法預(yù)測(cè)了其在20—1200 Hz 內(nèi)的傳輸損失，發(fā)現(xiàn)其隔聲性能較單一Helmholtz 腔或薄膜聲學(xué)超材料更好.賀子厚等[19]還將壓電質(zhì)量塊嵌入薄膜，設(shè)計(jì)了一種共振頻率可調(diào)的聲學(xué)超材料，并分析了其隔聲機(jī)理.與薄膜型聲學(xué)超材料類似，可大致將薄板型聲學(xué)超材料分為三種形式:1)在薄板上穿孔，構(gòu)造穿孔板結(jié)構(gòu);2)在薄板上構(gòu)造Helmholtz 共振腔;3)在薄板表面附加彈簧-質(zhì)量塊.通過(guò)在薄板上附加周期性的“彈簧-質(zhì)量”共振單元，Xiao 等[20]構(gòu)造了一種局域共振型板結(jié)構(gòu)，運(yùn)用平面波展開(kāi)法計(jì)算了其局域共振帶隙，分析了帶隙的產(chǎn)生機(jī)理和調(diào)控規(guī)律;在此基礎(chǔ)上，Xiao 等[21]進(jìn)一步分析了這種局域共振板的低頻隔聲性能，發(fā)現(xiàn)其在共振頻率處具有超乎尋常的隔聲量.值得指出的是，采用局域共振型薄膜/薄板結(jié)構(gòu)降低隔聲峰值頻率，一般通過(guò)增大質(zhì)量塊的質(zhì)量或減小彈簧的剛度實(shí)現(xiàn)，但增大質(zhì)量會(huì)提高整體的面密度，過(guò)度減小剛度則使彈簧無(wú)法滿足基本的承載功能.因此，基于這類局域共振板，如何實(shí)現(xiàn)低頻甚至超低頻隔聲仍然是一個(gè)難點(diǎn)，有必要探索新的低頻寬帶隔聲方法.

針對(duì)低頻彈性波的控制，學(xué)者們提出了一種非線性準(zhǔn)零剛度隔振器，其基本原理是將正剛度結(jié)構(gòu)與負(fù)剛度機(jī)構(gòu)并聯(lián)，該組合系統(tǒng)在靜平衡位置的組合剛度為零，但其初始組合剛度并未降低.準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)具有高的靜態(tài)剛度和低的動(dòng)態(tài)剛度，亦稱“高靜低動(dòng)”系統(tǒng)，其構(gòu)造形式多樣化，如“壓桿屈曲系統(tǒng)”[22]、“雙傾彈簧系統(tǒng)”[23]、“扭轉(zhuǎn)磁力彈簧系統(tǒng)”[24]等.

目前，國(guó)內(nèi)外多采用準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)抑制振動(dòng)，未見(jiàn)基于準(zhǔn)零剛度隔振器概念構(gòu)建低頻寬帶隔聲板結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究.本文在薄板上周期性布置準(zhǔn)零剛度諧振單元，創(chuàng)新地提出一種準(zhǔn)零剛度局域共振型聲學(xué)超材料板，采用理論、仿真和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的研究手段，對(duì)其隔聲特性和機(jī)理進(jìn)行系統(tǒng)分析和討論，以期對(duì)低頻乃至超低頻隔聲提供新的概念和方法.

2 模型建立

2.1 準(zhǔn)零剛度局域共振結(jié)構(gòu)

如圖1 所示，本文提出一種準(zhǔn)零剛度局域共振型聲學(xué)超材料板，由方形金屬薄板(鋁板)及周期分布其上的準(zhǔn)零剛度諧振單元組合而成.其中，A 為鋁板，厚度h=4 mm，元胞尺寸a=25 mm;B 為準(zhǔn)零剛度諧振單元的外圍框架，材質(zhì)為環(huán)氧樹(shù)脂，尺寸H=8 mm，l2=2 mm，壁厚t=1 mm;C 為質(zhì)量單元，質(zhì)量m=0.1 kg，材質(zhì)為鉛，尺寸l1=3 mm;D 為彈簧(包括豎直彈簧和傾斜彈簧，剛度分別為k1=10000 N/m 和k2=8000 N/m)，彈簧端部與質(zhì)量塊和框架、框架與基板均采用膠接的方式連接.無(wú)外力作用下，取系統(tǒng)的平衡態(tài)位置為初始靜平衡位置，此時(shí)，傾斜彈簧處于水平位置，其壓縮后的長(zhǎng)度為d，原長(zhǎng)為l，豎直彈簧的壓縮力與質(zhì)量塊重力相平衡.聲學(xué)超材料板的相關(guān)材料參數(shù)(密度、楊氏模量和泊松比)列于表1.

表1 材料參數(shù)Table 1. Material parameters.

如圖1(c)所示，在z方向施加外力F時(shí)，質(zhì)量塊相較于初始靜平衡位置的位移為z，二者間的關(guān)系為

圖1 準(zhǔn)零剛度局域共振結(jié)構(gòu)[25] (a)結(jié)構(gòu)示意圖;(b)單胞結(jié)構(gòu);(c)主要幾何參數(shù);(d)準(zhǔn)零剛度單元俯視圖Fig.1.Quasi-zero stiffness local resonance structure[25]:(a) Schematic of whole structure;(b) unit cell;(c) main geometric parameters;(d) top view of quasi-zero stiffness element.

其無(wú)量綱形式為

由(2)式和(3)式可見(jiàn)，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)歸一化恢復(fù)力和等效剛度均與結(jié)構(gòu)力學(xué)參數(shù)密切相關(guān)，圖2 給出了歸一化恢復(fù)力和等效剛度隨預(yù)壓縮量和剛度比的影響規(guī)律曲線.具體討論如下:

1)如圖2(a)和圖2(b)所示，保持剛度比γ0.4不變，調(diào)節(jié)彈簧的預(yù)壓縮量可顯著影響恢復(fù)力，進(jìn)而使靜平衡位置處的系統(tǒng)等效剛度減小至0 乃至負(fù)值.具體而言，0 時(shí)，歸一化等效剛度為1 (即1)，準(zhǔn)零剛度諧振單元等效剛度與豎直彈簧剛度k1相等，傾斜彈簧的負(fù)剛度效應(yīng)可忽略不計(jì);≈0.385 時(shí)，0; 0＜時(shí)，0 ≤1，即實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)剛度小于靜剛度的目標(biāo);繼續(xù)增大預(yù)壓縮量使＜1，系統(tǒng)的等效動(dòng)剛度可為負(fù)值，即實(shí)現(xiàn)了負(fù)剛度的效果.

2)調(diào)節(jié)彈簧的剛度比γ產(chǎn)生類似效果.保持預(yù)壓縮量0.2 不變，圖2(c)和圖2(d)分別給出歸一化恢復(fù)力和等效剛度隨γ的變化趨勢(shì).可以看出，增大γ可使減小為0 乃至負(fù)值，例如γ1 時(shí)，0 .相關(guān)變化規(guī)律與預(yù)壓縮量類似，不再贅述.

圖2 彈簧剛度比保持不變(γ=0.4)，(a)歸一化恢復(fù)力和(b)等效剛度隨彈簧預(yù)壓縮量的變化趨勢(shì);彈簧預(yù)壓縮量保持不變(=0.2)，(c)歸一化恢復(fù)力和(d)等效剛度隨彈簧剛度比的變化趨勢(shì)Fig.2.(a) Normalized reacting force and (b) equivalent stiffness plotted as functions of pre-compression of springs for γ=0.4 ;(c) normalized reacting force and (d) equivalent stiffness plotted as functions of spring stiffness ratio for =0.2 .

2.2 隔聲理論

小擾動(dòng)線性聲波激勵(lì)下，薄板的彎曲響應(yīng)屬于微幅振動(dòng).就圖1 所示模型而言，薄板振動(dòng)引起的質(zhì)量塊位移極小，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)局域共振結(jié)構(gòu)近似處于靜平衡位置，則其歸一化等效剛度((3)式)可線性化為

本文考慮的低頻聲波頻率范圍為1—1000 Hz，故超材料元胞尺寸與最小波長(zhǎng)比a/λmin≈0.073，滿足長(zhǎng)波假設(shè)(a ＜λ/10)，可近似將元胞視為一集中質(zhì)量，其動(dòng)態(tài)等效質(zhì)量為[26]

元胞內(nèi)的框架僅起支撐作用，其質(zhì)量遠(yuǎn)小于基板，根據(jù)等效介質(zhì)理論，考慮框架結(jié)構(gòu)的等效可忽略(等效密度不足基板的1/10)，同時(shí)質(zhì)量塊尺寸約為基板尺寸的1/10，對(duì)聲場(chǎng)的擾動(dòng)較小，故可忽略其對(duì)隔聲的影響.將元胞的其余部分等效為與基板等厚度的均質(zhì)板材料，則均質(zhì)板材的等效密度為

其中，S為元胞面積，h為厚度，ρt

假設(shè)入射聲波為平面簡(jiǎn)諧波，即

相應(yīng)的反射波、透射波及超材料板橫向位移可分別表示為

其中，pi，pr，pt和W為入射聲壓幅值、反射聲壓幅值、透射聲壓幅值和超材料板的橫向位移幅值;kx，ky和kz是x，y和z方向的波矢，由下式給出:

式中，k0ω/c0為波數(shù)，c0為聲速，θ為入射角，φ為方位角.

基于無(wú)能量損失、靜態(tài)、連續(xù)、均勻理想介質(zhì)等假設(shè)，聲場(chǎng)介質(zhì)受擾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中，ρ0為空氣密度，v為聲質(zhì)點(diǎn)速度.

板兩側(cè)界面的聲質(zhì)點(diǎn)速度與板質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù).將(7)式和(8)式代入(10)式中，可得

將(7)式和(8)式代入(11)式中，可得反射聲壓幅值和透射聲壓幅值分別為

基于Kirchhoff 經(jīng)典薄板假設(shè)[27]，等效超材料板的聲振耦合控制方程可表示為

將(8)式和(12)式代入(13)式中，可得橫向位移幅值:

將(14)式代入(12)式中，可得透射聲壓幅值:

斜入射條件下，結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為

采用傳輸損失(sound transmission loss)評(píng)價(jià)隔聲性能，定義變量TL如下:

2.3 有限元模型

利用超材料板的周期性，建立如圖3 所示的有限元模型開(kāi)展數(shù)值仿真，計(jì)算其反射系數(shù)、透射系數(shù)和傳輸損失等聲學(xué)特性，以驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性.模型整體采用實(shí)體化建模，計(jì)算域分三部分，其中I 為入射聲場(chǎng)、II 為超材料板固體域、III 為透射聲場(chǎng)，聲場(chǎng)介質(zhì)為空氣.定義S1和S2所在兩端域?yàn)橥昝榔ヅ鋵?，完美匹配層尺寸M0.5a，同時(shí)定義I，II，III 和完美匹配層域的四周為Floquet 周期性邊界以模擬無(wú)限大結(jié)構(gòu).采用聲-結(jié)構(gòu)耦合模塊，諧振單元?jiǎng)t采用集總機(jī)械系統(tǒng)建模(見(jiàn)圖3(b))，節(jié)點(diǎn)1 和節(jié)點(diǎn)2 之間為等效彈簧，節(jié)點(diǎn)2 和節(jié)點(diǎn)3之間為質(zhì)量塊，節(jié)點(diǎn)1 與基板中心耦合傳遞力與位移，節(jié)點(diǎn)3 為自由節(jié)點(diǎn).為保證計(jì)算精度，計(jì)算域尺度取L4a，聲場(chǎng)網(wǎng)格最大單元尺寸取聲波最小波長(zhǎng)的1/6，固體域采用自由四面體網(wǎng)格，同時(shí)對(duì)超材料板的界面網(wǎng)格進(jìn)行加密.

圖3 周期性元胞有限元模型 (a)有限元模型;(b)集總機(jī)械系統(tǒng)原理圖Fig.3.Finite element model of periodic cell:(a) Finite element model;(b) schematic diagram of lumped mechanical system.

反射系數(shù)R和透射系數(shù)T的定義分別為

其中，pin為S1平面入射聲壓，pre為S1平面反射聲壓，ptr為S2平面透射聲壓.

因此，在有限元軟件中，傳輸損失變量TL的定義如下:

其中，Win和Wtr分別為入射聲功率和透射聲功率，TL的單位為分貝.

3 數(shù)值仿真與討論

3.1 隔聲機(jī)理

采用理論計(jì)算和數(shù)值模擬，分析了三種結(jié)構(gòu)的隔聲性能，包括:1)準(zhǔn)零剛度局域共振型聲學(xué)超材料板(quasi zero stiffness plate，QZS);2)傳統(tǒng)彈簧振子板(mass spring plate，MSP);3)無(wú)振子板(non-oscillator plate，NOP).假設(shè)聲激勵(lì)的入射角θ60°，方位角φ0°，入射聲壓幅值pi1 Pa，空氣的密度ρ01.2kg/m3，聲速c0343 m/s，計(jì)算所用結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2 所列.

表2 三種聲學(xué)板結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2. Structural parameters of the three structures.

圖4 給出三種板結(jié)構(gòu)的隔聲曲線，可見(jiàn)本文理論模型(equivalent medium method，EMM)結(jié)果與數(shù)值仿真(finite element method，F(xiàn)EM)結(jié)果非常符合，驗(yàn)證了理論模型的正確性.對(duì)比三種結(jié)構(gòu)的隔聲效果發(fā)現(xiàn)，基體參數(shù)保持一致的情況下，準(zhǔn)零剛度超材料板和傳統(tǒng)彈簧振子板在低頻段的隔聲效果更好，前者還可顯著降低局域共振頻率.預(yù)壓縮量調(diào)節(jié)為0.2 時(shí)，準(zhǔn)零剛度超材料板的局域共振頻率為22.5 Hz，較傳統(tǒng)彈簧振子板(50 Hz)減小了一半，故更具優(yōu)勢(shì).

圖4 三種聲學(xué)板結(jié)構(gòu)的傳輸損失:理論預(yù)測(cè)與數(shù)值模擬對(duì)比Fig.4.Comparison of sound transmission loss among three different plate structures:Analytical model prediction versus numerical simulation.

為進(jìn)一步分析準(zhǔn)零剛度超材料板的隔聲機(jī)理，圖5(a)給出三種聲學(xué)板結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量面密度.特定頻率下，相較于無(wú)振子板，準(zhǔn)零剛度超材料板和傳統(tǒng)彈簧振子板均可顯著增加系統(tǒng)的等效動(dòng)態(tài)質(zhì)量面密度，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)低頻段的超常隔聲效果.圖5(a)中藍(lán)實(shí)線顯示，在22.5 Hz 附近(圖4 中的隔聲峰處)，準(zhǔn)零剛度超材料板的等效質(zhì)量面密度趨于無(wú)窮.結(jié)合(6)式可知，此時(shí)入射聲激勵(lì)頻率與準(zhǔn)零剛度諧振單元的固有頻率一致(即 1-ω2/0)，局域共振單元發(fā)生共振.振子在平衡位置上下往復(fù)劇烈振動(dòng)，導(dǎo)致聲能集中于諧振單元.此時(shí)，結(jié)合圖5(b)三種結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)曲線可知，準(zhǔn)零剛度超材料板的反射系數(shù)趨近于1，聲波呈現(xiàn)近乎完美的全反射，和圖6(a)的聲壓云圖反映一致.在局域共振處，圖5 結(jié)果還顯示等效質(zhì)量面密度趨于無(wú)窮，且由正變負(fù).負(fù)的等效質(zhì)量密度表明其具有偶極子振動(dòng)模式(見(jiàn)圖5(a))，此時(shí)彈簧振子相當(dāng)于一質(zhì)量塊，局域共振時(shí)，質(zhì)量塊與薄板反相位振動(dòng)，系統(tǒng)總的外力與總的加速度反相，故產(chǎn)生負(fù)的等效質(zhì)量密度.從振幅上看，圖5(a)表明在局域共振附近，振子的振幅相比薄板更大，吸收了基板的能量，從而表現(xiàn)出超乎尋常的隔聲效果.

圖5 三種板結(jié)構(gòu)對(duì)比 (a)等效質(zhì)量面密度和超材料板的偶極子振動(dòng)模式;(b)反射系數(shù)Fig.5.Comparison among three different plate structures:(a) Equivalent mass surface density and dipole vibration mode of QZS;(b) reflection coefficient.

圖5(a)的藍(lán)實(shí)線表明，在90 Hz 處，準(zhǔn)零剛度超材料板的等效質(zhì)量面密度為零，趨近于圖4 中的隔聲谷頻率.根據(jù)彈性波理論，結(jié)構(gòu)彎曲波的波數(shù)為

同時(shí)，(15)式適當(dāng)變形后的表達(dá)式為

(21)式 表明，D(k0sinθ)4/ω-ρeffhω0 時(shí)，透 射系數(shù)趨近于1，結(jié)合圖5(b)的藍(lán)實(shí)線，此時(shí)的聲波幾乎全透射，和圖6(b)的聲壓云圖反映一致.在局域共振頻率處產(chǎn)生局域共振帶隙，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)彎曲波波數(shù)與入射聲波波數(shù)沿板面的投影相等(即keqk0sinθ)，由此激發(fā)結(jié)構(gòu)內(nèi)的本征彎曲波.這種彎曲振動(dòng)與空氣之間發(fā)生強(qiáng)烈的聲耦合，從而在透射端輻射出強(qiáng)烈的聲能量，該現(xiàn)象也稱局域共振引起的低頻“吻合效應(yīng)”[28]，此時(shí)出現(xiàn)隔聲谷值現(xiàn)象.值得注意的是，雖然這種吻合效應(yīng)類似于普通板結(jié)構(gòu)(不帶振子)在聲波斜入射激勵(lì)下的吻合效應(yīng)[29]，但區(qū)別在于這是由于附加振子改變了板結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度，導(dǎo)致出現(xiàn)新的吻合效應(yīng).

圖6 聲壓云圖(單位:Pa) (a) 22.5 Hz;(b) 90 HzFig.6.Sound pressure cloud diagram (unit:Pa):(a) 22.5 Hz;(b) 90 Hz.

3.2 參數(shù)調(diào)控

如前所述，調(diào)節(jié)彈簧的剛度比或預(yù)壓縮量，均可使準(zhǔn)零剛度單元的等效動(dòng)剛度從正變化為負(fù).首先，基于理論計(jì)算，討論等效動(dòng)剛度為正的情形.分別固定預(yù)壓縮量和剛度比，選取五種參數(shù)組合開(kāi)展討論，具體調(diào)控參數(shù)見(jiàn)表3，其余參數(shù)與前文保持不變，圖7(a)和圖7(b)給出相應(yīng)的隔聲曲線.保持預(yù)壓縮量0.2 不變，增大剛度比可使局域共振頻率向低頻移動(dòng).在39 Hz 局域共振頻率處，峰值隔聲量達(dá)80 dB，具有顯著隔聲效果.類似地，固定剛度比γ0.4不變，當(dāng)預(yù)壓縮量0.376 時(shí)，局域共振頻率降低為10 Hz，隔聲量達(dá)30 dB，實(shí)現(xiàn)了20 Hz 以下的超低頻隔聲.總體而言，在正等效剛度范圍內(nèi)，增大預(yù)壓縮量或剛度比均可使局域共振頻率向低頻偏移.相較于剛度比，系統(tǒng)對(duì)預(yù)壓縮量的敏感度更高，且后者更易于調(diào)節(jié).

圖7 正剛度區(qū)傳輸損失對(duì)比 (a)剛度比的影響(=0.2 );(b)預(yù)壓縮量的影響(γ=0.4)Fig.7.Comparison of transmission loss versus frequency curves in positive equivalent stiffness zone:(a) Influence of stiffness ratio at =0.2 ;(b) influence of pre-compression at γ=0.4 .

表3 準(zhǔn)零剛度單元在正等效剛度區(qū)的調(diào)節(jié)參數(shù)Table 3. Selected values of spring stiffness and precompression in the regime of positive equivalent stiffness.

其次，討論等效動(dòng)剛度為負(fù)的情形;選取的四種代表參數(shù)列于表4，其余參數(shù)仍與前文保持不變，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖8.可以看出，在結(jié)構(gòu)的負(fù)剛度區(qū)，可實(shí)現(xiàn)低頻大寬帶隔聲效果.剛度比或預(yù)壓縮量越大，隔聲效果越好，且整個(gè)頻段未出現(xiàn)明顯的隔聲峰值及谷值.

圖8 負(fù)剛度區(qū)傳輸損失對(duì)比Fig.8.Comparison of transmission loss versus frequency curves in negative equivalent stiffness zone.

表4 準(zhǔn)零剛度單元在負(fù)等效剛度區(qū)的調(diào)節(jié)參數(shù)Table 4. Selected values of spring stiffness and precompression in the regime of negative equivalent stiffness.

進(jìn)一步，在正/負(fù)等效剛度區(qū)，圖9(a)對(duì)比了準(zhǔn)零剛度超材料板和無(wú)振子板的隔聲曲線.結(jié)果顯示，在正等效剛度區(qū)(0.2且γ0.8)，雖然超材料板可實(shí)現(xiàn)任意低頻段的超常隔聲，但僅在局域共振頻率附近隔聲效果良好，且由于出現(xiàn)低頻“吻合效應(yīng)”，引發(fā)顯著的隔聲谷值現(xiàn)象，低頻隔聲的有效帶寬較窄.與此相反，在負(fù)等效剛度區(qū)(0.8且γ0.8)，超材料板不產(chǎn)生局域共振現(xiàn)象及低頻“吻合效應(yīng)”，可實(shí)現(xiàn)低頻大寬帶的隔聲目標(biāo).相較于無(wú)振子板，處于負(fù)等效剛度區(qū)的超材料板可在53—1500 Hz 的寬帶范圍產(chǎn)生大于30 dB 的隔聲量，優(yōu)勢(shì)明顯.需要強(qiáng)調(diào)的是，傳統(tǒng)彈簧振子板無(wú)法通過(guò)改變彈簧剛度和質(zhì)量實(shí)現(xiàn)負(fù)等效剛度效應(yīng)，該效應(yīng)是本文提出的準(zhǔn)零剛度超材料板的獨(dú)有特性.

為進(jìn)一步分析負(fù)剛度區(qū)的低頻大寬帶隔聲機(jī)理，圖9(b)對(duì)比了超材料板和無(wú)振子板的等效聲阻抗率和反射系數(shù)，其中等效聲阻抗率定義如下:

圖9(b)中藍(lán)實(shí)線、紅虛線和黑點(diǎn)劃線分別表示正剛度區(qū)超材料板、負(fù)剛度區(qū)超材料板和無(wú)振子板的等效聲阻抗率.結(jié)果表明，在53—1500 Hz 的大寬帶范圍，負(fù)剛度區(qū)超材料板的聲阻抗率遠(yuǎn)大于空氣:Z/Z0≥128，其 中Z0ρ0c0408 Pa·s·m—1，為空氣的聲阻抗率.

圖9(b)給出的結(jié)果還表明，相較于超材料板在正剛度區(qū)的反射系數(shù)(圖中的綠雙點(diǎn)劃線)，負(fù)剛度區(qū)的反射系數(shù)(紫雙虛線)呈現(xiàn)大寬帶反射效果.這種由于阻抗失配引起的聲波近乎全反射，在中低頻范圍極大拓寬了隔聲帶寬，為低頻大寬帶隔聲提供了新的思路.

圖9 正/負(fù)等效剛度區(qū)超材料板和無(wú)振子板對(duì)比 (a)傳輸損失;(b)等效阻抗和反射系數(shù)Fig.9.Metamaterial plate compared with non-oscillator plate in both positive regime (=0.2 and γ=0.8) and negative regime (=0.8 and γ=0.8) of equivalent stiffness:(a) Transmission loss;(b) equivalent impedance and reflection coefficient.

圖10 給出了QZS 模型在不同聲波入射角下的隔聲響應(yīng)曲線.結(jié)果表明，隨著入射角的增大，傳輸損失會(huì)減小;入射角不影響局域共振頻率，對(duì)低頻吻合頻率的影響可忽略.局域共振頻率(對(duì)應(yīng)隔聲峰值)只與等效剛度和質(zhì)量塊質(zhì)量相關(guān)，低頻吻合頻率(對(duì)應(yīng)隔聲谷值)近似為等效質(zhì)量密度零值點(diǎn).由(6)式等效密度為零，可得谷值頻率近似為，兩者均與入射角無(wú)關(guān)，總的來(lái)說(shuō)，入射角度對(duì)基于無(wú)限大周期模型的QZS模型隔聲結(jié)果影響較小.

圖10 傳輸損失隨入射角變化曲線Fig.10.Comparison of transmission loss under different incident angle.

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論及仿真計(jì)算的正確性，采用圖11(a)所示BSWA SW422 阻抗管開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，基于VA-Lab 測(cè)試系統(tǒng)及傳遞函數(shù)法，分別對(duì)有限大四振子超材料板及無(wú)振子板樣件在63—1600 Hz頻段內(nèi)的傳輸損失進(jìn)行測(cè)試.為減少試驗(yàn)結(jié)果的離散性誤差，采用12 組實(shí)驗(yàn)結(jié)果取平均.阻抗管的管徑為100 mm，將四個(gè)準(zhǔn)零剛度諧振單元黏合于圓形鋁板，如圖11(b)所示.諧振單元中的質(zhì)量塊和框架均采用環(huán)氧樹(shù)脂材料3D 打印而成，由于質(zhì)量塊的質(zhì)量過(guò)小，所以在質(zhì)量塊上附加鉛塊;鋁材的密度為2700 kg/m3，泊松比為0.3，楊氏模量為70 GPa，厚度為2 mm;四個(gè)諧振單元的力學(xué)參數(shù)列于表5，k1為豎直彈簧剛度，k2為傾斜彈簧剛度，將樣件四周用生料帶進(jìn)行邊緣密封，然后將其安裝在阻抗管內(nèi)，如圖11(c)所示.

圖11 (a)實(shí)驗(yàn)裝置;(b)超材料板樣件;(c)樣件置于阻抗管內(nèi)Fig.11.(a) Experimental facility;(b) metamaterial plate sample;(c) sample positioned in impedance tube.

除了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，分別對(duì)有限大無(wú)振子板(finite non-oscillator plate，F(xiàn)_NOP)和有限大四振子超材料板(finite quasi zero stiffness plate，F(xiàn)_QZS)進(jìn)行仿真分析，此處的仿真分析指的是在有限元軟件里建立駐波管實(shí)驗(yàn)中對(duì)應(yīng)的圓形有限大結(jié)構(gòu)模型，并非前文中的無(wú)限大周期結(jié)構(gòu)模型.此外，可基于前文的無(wú)限大周期結(jié)構(gòu)隔聲理論對(duì)同晶格尺寸的2 mm 厚無(wú)振子板和四振子超材料板模型進(jìn)行垂直入射響應(yīng)預(yù)測(cè).圖12 給出了有限大結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果(紅線和藍(lán)線所示)和基于無(wú)限大結(jié)構(gòu)的理論結(jié)果(黑線所示).

結(jié)果表明:對(duì)于無(wú)振子板，仿真和實(shí)驗(yàn)符合較好，初步驗(yàn)證了測(cè)試方法的有效性，理論和實(shí)驗(yàn)在1400 Hz 頻率以下的誤差較大，主要原因在于駐波管中的樣品隔聲性能主要受邊界條件約束，處于剛度控制區(qū)，而理論解無(wú)法考慮邊界影響.對(duì)于有限大四振子超材料板，圖12(b)表明有限元仿真得到的局域共振頻率與實(shí)際測(cè)量值基本一致(見(jiàn)表5)，其中諧振單元A 與B 相比，增大剛度比會(huì)使局域共振頻率減小;同樣諧振單元C 與D 相比，增大預(yù)壓縮也可使局域共振頻率減小，驗(yàn)證了本文理論模型的正確性.實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果之間的誤差較無(wú)振子板大一些，換句話說(shuō)，振子的引入增加了仿真和實(shí)驗(yàn)的誤差，誤差主要來(lái)源于樣件本身的加工誤差、樣件在阻抗管內(nèi)的安裝定位誤差和測(cè)量誤差.理論結(jié)果可較為準(zhǔn)確地捕捉到由于局域共振引起的四個(gè)隔聲峰值，但在其他頻段和仿真及實(shí)驗(yàn)有較大差距，主要原因同樣在于無(wú)限大模型無(wú)法考慮結(jié)構(gòu)有限尺寸帶來(lái)的邊界效應(yīng).

圖12 實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)值仿真得到的傳輸損失對(duì)比 (a)無(wú)振子板;(b) 4 振子超材料板Fig.12.Comparison of transmission loss between experimental measurement and numerical simulation:(a) Non-oscillator plate;(b) four-oscillator metamaterial plate.

表5 有限大四振子超材料板的力學(xué)參數(shù)及局域共振頻率Table 5. Mechanical parameters and local resonance frequencies of finite four-oscillator metamaterial plate.

5 結(jié)論

在傳統(tǒng)彈簧-振子局域共振基礎(chǔ)上，本文并聯(lián)傾斜彈簧負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，首次提出一種準(zhǔn)零剛度局域共振型聲學(xué)超材料板，通過(guò)調(diào)整組合彈簧的預(yù)壓縮量和剛度比，實(shí)現(xiàn)了低頻寬頻帶有效隔聲，主要結(jié)論如下:

1)準(zhǔn)零剛度諧振單元的歸一化等效剛度與力學(xué)結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，增大剛度比或預(yù)壓縮量，均可在不改變諧振單元靜剛度的前提下降低其等效動(dòng)態(tài)剛度.

2)在局域共振頻率處，準(zhǔn)零剛度諧振單元發(fā)生諧振，其等效質(zhì)量面密度趨于無(wú)窮，反射系數(shù)趨近于1，實(shí)現(xiàn)了聲波近乎全反射，隔聲曲線上呈現(xiàn)峰值.

3) 局域共振頻率附近，結(jié)構(gòu)彎曲波波數(shù)與入射聲波波數(shù)沿板面投影相等，引發(fā)低頻“吻合效應(yīng)”，聲波近乎全透射，隔聲曲線上呈現(xiàn)谷值.

4)準(zhǔn)零剛度諧振單元的等效動(dòng)態(tài)剛度可正，亦可負(fù).在正剛度區(qū)，增大剛度比或預(yù)壓縮量使局域共振頻率向低頻移動(dòng)，故可實(shí)現(xiàn)任意低頻乃至超低頻有效隔聲;在負(fù)剛度區(qū)，諧振單元因不產(chǎn)生局域共振而避免了低頻吻合效應(yīng)，故可實(shí)現(xiàn)低頻大寬帶隔聲，且剛度比或預(yù)壓縮量越大，隔聲效果越好.

本文提出的準(zhǔn)零剛度局域共振超材料結(jié)構(gòu)不僅具有低頻大寬帶隔聲的獨(dú)有特性，還克服了傳統(tǒng)聲學(xué)超材料需減小剛度或增大附加質(zhì)量的不利特性，未來(lái)可在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步開(kāi)展相關(guān)優(yōu)化及設(shè)計(jì)研究.