量子弱測量中糾纏對參數(shù)估計精度的影響*

張曉東 於亞飛? 張智明

1) (華南師范大學(xué)信息光電子科技學(xué)院，廣東省微納米光子功能材料與器件重點實驗室，廣州 510006)

2) (華南師范大學(xué)，廣東省量子調(diào)控工程與材料重點實驗室，廣州 510006)

量子弱測量過程中適當(dāng)?shù)娜踔悼捎糜诜糯笪⑷跷锢韰?shù)并提高參數(shù)評估的精度，這種參數(shù)評估精度的提高可能來源于體系中的糾纏.本文借助Fisher 信息研究了系統(tǒng)中的糾纏和系統(tǒng)與探針間的糾纏對弱測量過程中系統(tǒng)與探針間耦合參數(shù)的評估精度的影響.分析了系統(tǒng)初態(tài)分別為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)和受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)的糾纏，以及系統(tǒng)和探針間的糾纏對參數(shù)評估的影響.研究表明，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)和受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時，F(xiàn)isher 信息隨系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的增大而增大，且系統(tǒng)初末態(tài)均為最大糾纏態(tài)時，F(xiàn)isher 信息和后選擇概率均達(dá)到最大;但系統(tǒng)與探針的糾纏越弱，測量能獲得的Fisher 信息越多，參量估計的精度越高.此研究結(jié)果表明系統(tǒng)中的糾纏會提高參數(shù)評估精度，而系統(tǒng)與探針間的糾纏則會降低參數(shù)評估的精度.

1 引言

在量子物理中量子測量必然會對系統(tǒng)造成擾動，根據(jù)對系統(tǒng)擾動的大小可以把量子測量分為強(qiáng)測量和弱測量，其中對系統(tǒng)擾動較大的量子測量被稱為強(qiáng)測量，反之稱為弱測量.強(qiáng)測量后系統(tǒng)狀態(tài)會被不可逆地投影到測量基上，而且測得觀察量的平均值會介于觀察量算符最小本征值和最大本征值之間.而弱測量是由Aharanov[1]于1988 年提出的概念，其測量過程通常分為3 個步驟:系統(tǒng)和探針初態(tài)的制備、系統(tǒng)和探針的相互作用、對系統(tǒng)的后選擇.在系統(tǒng)和探針相互作用過程中系統(tǒng)和探針之間的耦合通常很弱，因此對系統(tǒng)的擾動很小.并且在后選擇過程中會拋棄大量的數(shù)據(jù)，僅保留少量的數(shù)據(jù)，但是幾乎所有待評估參數(shù)的信息都集中在這些少量數(shù)據(jù)中.例如，測量小的光束偏轉(zhuǎn)時，僅收集1%的光子就可以獲得99%的Fisher 信息[2].而且后選擇之后，會有一個有趣的現(xiàn)象，此時測得的“觀察量”，即觀察量算符在系統(tǒng)初末態(tài)之間的平均值，往往是超出特征值范圍的復(fù)數(shù)，這個復(fù)數(shù)被稱為弱值，這種測量過程又被稱為弱值放大[3，4].

到目前為止，弱值放大技術(shù)應(yīng)用于精密測量領(lǐng)域的諸多方面.如利用弱值能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出觀察量本征值范圍這一特性，弱值放大能被應(yīng)用于放大小的物理量，如對光束的橫向偏移[5，6]、激光的頻率[7]、角旋轉(zhuǎn)[8]、縱向速度[9]、溫度[10，11]以及系統(tǒng)和探針之間耦合參數(shù)的測量[12-17].測量這些小的物理量時人們通常關(guān)注于對這些小物理量的放大倍數(shù)、靈敏度、精度和信噪比.如在文獻(xiàn)[15]中白光也能用于測量縱向相移，并且靈敏度是阿秒量級.在文獻(xiàn)[16]測量縱向相移過程中，在系統(tǒng)探針相互作用之前引入一個預(yù)耦合，會使得測量靈敏度高于文獻(xiàn)[15]所得靈敏度兩個量級.在文獻(xiàn)[17]中非幺正演化相較于幺正演化有更高的參數(shù)評估精度和信噪比.雖然弱值放大能夠放大很多小參數(shù)，但幾乎正交的系統(tǒng)初末態(tài)會導(dǎo)致較低的后選擇概率，目前有幾種方案來解決這個問題.如文獻(xiàn)[18]在Sagnac 干涉儀中利用弱值放大技術(shù)測量光束的橫向偏移，通過在亮端口放置一個部分反射的功率鏡，可以將亮端口丟棄的數(shù)據(jù)反射，再經(jīng)過一個空間濾波鏡片將光的橫向輪廓刷新后回到弱值放大過程中，此方案在提高后選擇概率的同時也能提高信噪比，并且在實驗上實現(xiàn)了功率循環(huán)的弱值放大[19].另一種方法是利用糾纏系統(tǒng)態(tài)來提高后選擇概率[20，21].

文獻(xiàn)[20，21]表明，增大系統(tǒng)維度能夠有效地增大后選擇概率，本文詳細(xì)研究了在弱測量中系統(tǒng)糾纏以及系統(tǒng)探針之間的糾纏對參數(shù)評估精度的影響.首先把系統(tǒng)初態(tài)選擇為糾纏態(tài)，探針初態(tài)選擇為高斯態(tài)，兩者在弱相互作用后對系統(tǒng)進(jìn)行后選擇，通過分析系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度和后選擇后耦合參數(shù)總的Fisher 信息來討論系統(tǒng)糾纏對參數(shù)評估的影響.其次在弱測量過程中，系統(tǒng)和探針要進(jìn)行弱相互作用，弱相互作用會使得系統(tǒng)和探針糾纏起來，這里把系統(tǒng)選擇為單個比特，進(jìn)而度量系統(tǒng)與探針之間的糾纏來分析系統(tǒng)與探針的糾纏對耦合參數(shù)Fisher 信息的影響.

在分析系統(tǒng)糾纏對參數(shù)評估精度的影響時，我們的研究表明耦合參數(shù)的Fisher 信息隨著系統(tǒng)糾纏度的增大而增大.而在分析系統(tǒng)和探針間的糾纏對參數(shù)評估精度的影響時發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)和探針之間的耦合參數(shù)g的增大，系統(tǒng)和探針間的糾纏度越大，能獲得的耦合參數(shù)的Fisher 信息反而越小.換句話說，系統(tǒng)中的糾纏有助于提高耦合參數(shù)的Fisher 信息，而系統(tǒng)與探針之間的糾纏會抑制耦合參數(shù)Fisher 信息的獲得.

本文的結(jié)構(gòu)如下:第2 節(jié)簡潔地介紹弱測量的理論框架;第3 節(jié)討論在弱測量中系統(tǒng)糾纏對參數(shù)評估精度的影響，其中3.1 節(jié)討論系統(tǒng)初態(tài)為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)時的情況，3.2 節(jié)討論系統(tǒng)初態(tài)為受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時的情況，3.3 節(jié)對直積系統(tǒng)初態(tài)和糾纏系統(tǒng)初態(tài)做了對比分析;第4 節(jié)討論系統(tǒng)和探針之間的糾纏對參數(shù)評估精度的影響;第5 節(jié)給出了本文的結(jié)論.

2 弱值放大的理論框架

首先簡潔地介紹弱值放大基本原理.如圖1 所示，初始態(tài)被制備成 |Si〉?|T〉，|Si〉是系統(tǒng)初態(tài)，|T〉是探針初態(tài)，在動量空間中探針初始的動量分布可以寫成P(p)|T(p)|2的形式.探針初態(tài)中的其中p和δ分別是探針的動量及動量的方差.初始態(tài)制備之后系統(tǒng)和探針會通過弱相互作用耦合起來.總的哈密頓量為，其中是系統(tǒng)和探針的自由哈密頓量，是系統(tǒng)探針的相互作用哈密頓量.在相互作用繪景中演化算符可寫成這里是第i個系統(tǒng)比特觀察量算符.因此系統(tǒng)和探針弱耦合之后的聯(lián)合態(tài)可以寫成:

圖1 n 量子比特系統(tǒng)弱測量的原理圖.系統(tǒng)初始態(tài)為|Si〉，探針初始態(tài)為 |T〉 .系統(tǒng)和探針之間的演化算符為.演化后對系統(tǒng)做 |Sf〉的后選擇.探針末態(tài)為|Tf〉Fig.1.Schematic diagram of the weak measurement of the n qubit system.The initial state of the system is |Si〉，and the initial state of the pointer is |T〉 .The evolution operator is between the system and the pointer.After the evolution，the system is selected to |Sf〉 .The final state of the pointer is |Tf〉 .

對相互作用后的系統(tǒng)進(jìn)行后選擇，后選擇到態(tài)|Sf〉.根據(jù)測量理論，把投影算子|Sf〉〈Sf| 作用到(1)式可以得到歸一化的探針末態(tài)

在弱相互作用條件g|Aw|δ ?1 下，(3)式可以重新寫成:

其中Aw〈Sf||Si〉/〈Sf|Si〉是算符的弱值.當(dāng)預(yù)選擇態(tài)和后選擇態(tài)幾乎正交時，弱值會很大，但隨之而來的是較低的后選擇概率.

3 在弱測量中系統(tǒng)糾纏對參數(shù)評估的影響

下面分兩部分研究系統(tǒng)糾纏對參數(shù)評估的影響，3.1 節(jié)研究系統(tǒng)初態(tài)為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)時對參數(shù)評估的影響，3.2 節(jié)研究系統(tǒng)初態(tài)為受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時對參數(shù)評估的影響，3.3 節(jié)對比分析直積系統(tǒng)初態(tài)與最大糾纏系統(tǒng)初態(tài)對耦合參數(shù)Fisher 信息的影響.

3.1 系統(tǒng)初態(tài)為糾纏純態(tài)

接著對系統(tǒng)進(jìn)行后選擇|Sf〉cosφ|0〉?nsinφe-iε|1〉?n.成功后選擇到態(tài) |Sf〉的概率為

后選擇之后的探針末態(tài)可以寫成:

接著對后選擇之后的探針在動量空間探測，在探測器上能得到歸一化的分布為

信息論中對g的最優(yōu)估計由CR 邊界(Cramer-Rao bound)給出，這里N是獨立實驗的次數(shù)，F(xiàn)tot是總的Fisher 信息.總的Fisher信息包含兩部分[22]，其中一部分為后選擇概率中g(shù)的Fisher信息，另一部分是動量分布P(g，p) 中g(shù)的Fisher 信息

由(6)式和(8)式可知，后選擇概率以及后選擇后探針分布中均含有g(shù)的Fisher 信息，因此可以求得總的Fisher 信息Ftot.這里分析后選擇概率Pd和總的Fisher 信息Ftot隨θ和φ的變化情況.

從圖2(a)可以得知，后選擇概率在θ+φπ/2附近時，預(yù)選擇態(tài)和后選擇態(tài)幾乎正交，此時的后選擇概率最小;在θφ0 或θφπ/2 時，系統(tǒng)初末態(tài)均為 |0〉?n或 |1〉?n，此時的后選擇概率最大.而從圖2(b)可以看出，在θ+φπ/2 時，能獲得參數(shù)g的Fisher 信息最大;在θφ0 或θφπ/2時幾乎不能得到任何信息.從以上結(jié)果可以得知弱測量以犧牲后選擇概率為代價來獲得更多參數(shù)g的Fisher 信息.

圖2 (a)后選擇概率 Pd 隨θ 和φ 的變化趨勢;(b)總的Fisher 信息 Ftot 隨θ 和φ 的變化趨勢.圖中紅色的線表示θ+φ=π/2.參數(shù)選取為 n=2，δ=4×104 m-1 ，ε=0.01，g=0.88 μmFig.2.(a) Post-selection probability Pd as a function of θ and φ;(b) total Fisher information Ftot as a function of θ and φ.The red line represent θ+φ=π/2 .Parameters selection: n=2，δ=4×104 m-1 ，ε= 0.01，g=0.88 μm .

為了對參數(shù)g進(jìn)行最優(yōu)評估，選取φπ/2-θ進(jìn)行分析，此時系統(tǒng)末態(tài)為|S′f〉sinθ|0〉?ncosθe-iε|1〉?n，(6)式和(8)式改寫成以下形式:

在弱相互作用條件ngδcotε ?1 下，又可以把(9)式中的P(g，p) 重寫成以下形式:

初始探針分布P(p)中p的平均值0 .由(10)式可以得到平均值偏移量2gδ2|Aw|，與弱值A(chǔ)wincot(ε/2)的虛部成正比.測量P(g，p)下p的平均值〈p〉可以用來估計g，而參數(shù)的估計精度可以用Fisher 信息來衡量.通過(9)式可以求得后選擇概率和探針末態(tài)中的Fisher 信息分別為

參數(shù)g總的Fisher 信息為

由CR 邊界可知，F(xiàn)isher 信息越大，理論上能獲得g的精度越高.為了研究系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度對參數(shù)評估精度的影響，首先需要度量系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度.這里運(yùn)用對數(shù)負(fù)糾纏來度量系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度[23]:

其中下標(biāo)“s”表示系統(tǒng)，上標(biāo)“p”表示純態(tài).這里需要強(qiáng)調(diào)的是系統(tǒng)末態(tài)也具有相同的糾纏度.接下來分析系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨參數(shù)θ的變化，如圖(3)所示.

從圖3 可以看出，系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨θ角先增大后減小，當(dāng)參數(shù)θπ/4 時系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度最大，此時系統(tǒng)的初態(tài)為最大糾纏態(tài).

圖3 類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)的糾纏度 隨參數(shù)θ 的變化曲線，繪制了 θ={0，π/2} 的范圍Fig.3.Entanglement of the entangled pure states of GHZ-like states as a function of the parameter θ .we have plotted the range of θ={0，π/2} .

為了進(jìn)一步分析后選擇概率和耦合參數(shù)g的Fisher 信息與系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的關(guān)系，繪制了n2時后選擇概率和Fisher 信息隨糾纏度的變化曲線.

從圖4 可看出，后選擇概率和參數(shù)g的Fisher信息隨系統(tǒng)初末態(tài)糾纏度的增大而增大.當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)糾纏度為零時，系統(tǒng)的初態(tài)為直積態(tài)|S0〉|0〉?n或 |S1〉|1〉?n，此時得不到參數(shù)g的Fisher 信息.然而當(dāng)系統(tǒng)的糾纏度最大時，系統(tǒng)初態(tài)和系統(tǒng)的末態(tài)(|0〉?n-均為最大糾纏態(tài)，此時的Fisher 信息和后選擇概率均達(dá)到最大，即在弱測量中，增大系統(tǒng)內(nèi)的糾纏度對參數(shù)g的評估精度有很好的增益.

圖4 藍(lán)色曲線表示后選擇概率隨糾纏度 的變化曲線，橙色曲線表示耦合參數(shù)g 的Fisher 信息隨糾纏度的 變 化 曲 線.參 數(shù) 選 取: δ=4×104 m-1，ε=0.01 ，g=0.88 μm，n=2 .Fig.4.Blue curve represents the post-selection probability as a function of entanglement ，and the orange curve represents the Fisher information of the coupling parameter g as a function of entanglement .Parameter selection: δ=4×104 m-1 ，ε=0.01，g=0.88 μm，n=2 .

從以上的分析可知，系統(tǒng)初末態(tài)均為最大糾纏態(tài)時后選擇概率和Fisher 信息均達(dá)到最大.然而在實驗上制備最大糾纏態(tài)時難免會受到噪聲的干擾，因此接下來選定系統(tǒng)末態(tài)為來討論系統(tǒng)初態(tài)為糾纏混態(tài)時，系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度對參數(shù)評估的影響.

3.2 系統(tǒng)初態(tài)為糾纏混態(tài)

在制備最大糾纏的系統(tǒng)初態(tài)時，會受到噪聲的影響，這里僅考慮退極化噪聲的影響.此時的系統(tǒng)初態(tài)為混合態(tài)，這里的Q是純度參數(shù).同時把探針初態(tài)寫成密度矩陣的形式，因此總的初態(tài)為

系統(tǒng)和探針經(jīng)過弱相互作用后的態(tài)可以寫成以下形式

后選擇之后，對探針末態(tài)測量可以得到一個在動量空間的概率分布:

根據(jù)(16)式和(17)式能夠得到總的Fisher信息.而對于系統(tǒng)初態(tài)為糾纏混態(tài)的情況，同樣使用對數(shù)負(fù)糾纏來度量其糾纏度[23]，得到的糾纏度為

其中下標(biāo)“s”表示系統(tǒng)，上標(biāo)“m”表示混態(tài).圖5 給出了n2 時系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨純度參數(shù)Q的變化曲線.

圖5 表明糾纏度隨著純度參數(shù)的增大而減小，當(dāng)Q≤2/3時，系統(tǒng)初態(tài)是糾纏態(tài)，當(dāng)Q ＞，系統(tǒng)初態(tài)已不再糾纏.

圖5 n=2時，系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度隨純度參數(shù)Q 的變化曲線Fig.5.Entanglement of the initial state of the system as a function of the purity parameter Q.Parameter selection: n=2 .

接下來分析系統(tǒng)初態(tài)的糾纏度對參數(shù)評估精度的影響，并畫了n2， 4， 6 時后選擇概率以及Fisher 信息隨系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的變化曲線.

從圖6 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)時，參數(shù)的Fisher 信息隨初態(tài)糾纏度的增大而增大.當(dāng)初態(tài)的糾纏度達(dá)到1 時，參數(shù)g的Fisher 信息能夠達(dá)到最大.而且可以看出系統(tǒng)中糾纏的比特數(shù)越大，參數(shù)g的Fisher信息越大.后選擇概率在n2和n4時隨著糾纏度的增大而減小，而在n6 時反而隨著糾纏度的增大而增大，這是由于當(dāng)比特數(shù)小時，后選擇的概率主要是由極化噪聲導(dǎo)致的，而糾纏度與純度參數(shù)Q是呈負(fù)相關(guān)的，因而后選擇概率隨著糾纏度的增大而減小.隨著比特數(shù)的增大，系統(tǒng)比特對后選擇概率的影響要比極化噪聲的大，因而后選擇概率隨著糾纏度的增大而增大.

圖6 藍(lán)色曲線表示后選擇概率隨糾纏度 的變化曲線，橙色曲線表示參數(shù)g 的Fisher 信息隨糾纏度 的變化曲線.參數(shù)選取: δ=4×104 m-1，ε=0.01 ，g=0.88 μmFig.6.Blue curve represents the post-selection probability as a function of entanglement ，and the orange curve represents the Fisher information of the parameter g as a function of entanglement . Parameter selection:δ=4×104 m-1，ε=0.01 ，g=0.88 μm .

表1 兩種方案后選擇概率和后選擇后指針分布的比較Table 1. Comparison of the post-selection probability and the post-selection pointer distribution of the two schemes.

3.3 系統(tǒng)初態(tài)為直積態(tài)與最大糾纏態(tài)對參數(shù)評估影響的比較

當(dāng)n≥2 時，糾纏系統(tǒng)初態(tài)方案的后選擇概率要大于直積系統(tǒng)初態(tài)方案.但后選擇后指針具有相同的分布形式.與此同時我們又比較了兩種方案在n2時的Fisher 信息.

從圖7 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)為最大糾纏態(tài)時參數(shù)g的Fisher 信息要大于系統(tǒng)初態(tài)為直積態(tài)時參數(shù)g的Fisher 信息.綜上可以得出結(jié)論，在參數(shù)評估精度及后選擇概率方面糾纏系統(tǒng)初態(tài)的方案要優(yōu)于直積系統(tǒng)初態(tài)方案.

圖7 淺藍(lán)色曲線表示初態(tài)為糾纏態(tài)時參數(shù)g 的Fisher 信息隨耦合參數(shù)g 的變化曲線，深藍(lán)色曲線表示初態(tài)為直積態(tài)時參數(shù)g 的Fisher 信息隨耦合參數(shù)g 的變化曲線.參數(shù)選取: n=2，δ=4×104 m-1，ε=0.01Fig.7.Light blue curve represents Fisher information of the parameter g as a function of the coupling parameter g when the initial state is entangled，and dark blue curve represents Fisher information of the parameter g as a function of the coupling parameter g when the initial state is product state.Parameter selection: n=2，δ=4×104 m-1 ，ε=0.01.

4 量子弱測量中系統(tǒng)和探針之間的糾纏對參數(shù)評估的影響

弱測量中弱相互作用會使得系統(tǒng)和探針糾纏起來，但不同的相互作用強(qiáng)度會導(dǎo)致系統(tǒng)和探針之間的糾纏度不同，進(jìn)而導(dǎo)致加載到探針上關(guān)于參數(shù)g的Fisher 信息也會有所不同.因此本節(jié)研究系統(tǒng)和探針之間的糾纏對耦合參數(shù)g評估精度的影響.首先把系統(tǒng)初態(tài)選為|si〉探針初態(tài)選為|T〉〈T|.系統(tǒng)和探針的聯(lián)合態(tài)經(jīng)過弱相互作用可以寫成以下形式:

這里仍然使用對數(shù)負(fù)糾纏來度量系統(tǒng)和探針之間的糾纏度，并畫了系統(tǒng)探針間的糾纏度Est隨參數(shù)g的變化曲線以及參數(shù)g的Fisher 信息隨Est的變化曲線，如圖8 所示.

從圖8(a)可以看出，糾纏度Est隨著耦合參數(shù)g的增大而增大，也就是說系統(tǒng)和探針的耦合越強(qiáng)，系統(tǒng)和探針之間的糾纏度越大.而從圖8(b)可以看出，參數(shù)總的Fisher 信息隨糾纏度Est的增大先減小后增大，下降部分在弱相互作用域，上升部分為強(qiáng)相互作用域.而且在弱測量過程中，系統(tǒng)和探針之間的耦合很弱，由圖8(a)可知此時系統(tǒng)和探針之間的糾纏也很弱.由下降的這一段可以看出，隨著系統(tǒng)與探針間糾纏度的增大，參數(shù)g的Fisher信息反而減小，即系統(tǒng)與探針之間的糾纏對參數(shù)評估精度是具有抑制作用的.雖然文獻(xiàn)[16]通過系統(tǒng)和探針預(yù)耦合可以提高靈敏度，但是系統(tǒng)和探針之間的預(yù)耦合會使得系統(tǒng)和探針先糾纏起來，然后再經(jīng)過弱相互作用，這樣會使得系統(tǒng)和探針之間的糾纏更大，能夠獲得參數(shù)g的Fisher 信息會更小，不利于提高參數(shù)的評估精度.

圖8 (a) 系統(tǒng)探針之間的糾纏度 Est 隨耦合參數(shù)g 的變化曲線;(b)參數(shù)g 的Fisher 信息隨系統(tǒng)探針之間的糾纏度Est的變化曲線.參數(shù)選取為δ=4×104 m-1，ε=0.01Fig.8.(a) Entanglement Est between system and pointers as a function of the coupling parameter g;(b) the Fisher information of the parameter g as a function of the entanglement Est between system and pointers.Parameter selection: δ=4×104 m-1，ε=0.01 .

5 結(jié)論

本文在弱值放大過程利用Fisher 信息研究了系統(tǒng)中的糾纏以及系統(tǒng)與探針間的糾纏對耦合參數(shù)評估精度的影響.在研究系統(tǒng)的糾纏對耦合參數(shù)評估的影響時，把系統(tǒng)的初態(tài)分為類GHZ 態(tài)的糾纏純態(tài)和受退極化噪聲影響的糾纏混態(tài)兩種情況.結(jié)果表明，耦合參量的Fisher 信息隨著系統(tǒng)初態(tài)糾纏度的增大而增大;當(dāng)系統(tǒng)初末態(tài)處于最大糾纏態(tài)時，后選擇概率和耦合參數(shù)的Fisher 信息能夠達(dá)到最大.此結(jié)果說明，系統(tǒng)中的糾纏有助于提高耦合參數(shù)評估的精度.在研究系統(tǒng)和探針的糾纏時卻發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)與探針之間的糾纏度的增大，耦合參數(shù)評估的Fisher 信息反而減小.結(jié)合文獻(xiàn)[16]中關(guān)于系統(tǒng)與探針間的預(yù)糾纏有助于提高參數(shù)評估的靈敏度，得到如下結(jié)論:雖然系統(tǒng)與探針間的糾纏能夠增大探針偏移量提高耦合參數(shù)評估的靈敏度，但系統(tǒng)與探針間的糾纏不利于提高耦合參數(shù)的評估精度.本文研究選取的參數(shù)均在合理的范圍內(nèi)[24]，可以應(yīng)用于光學(xué)系統(tǒng)，分別用動量空間的高斯態(tài)和路徑自由度作為探針和系統(tǒng)，路徑自由度可以把系統(tǒng)初末態(tài)編碼為最大糾纏態(tài)[21].最后我們希望系統(tǒng)糾纏的弱測量方案能在離子阱中有所應(yīng)用.