受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)亞諧共振分岔與混沌*

趙武 張鴻斌? 孫超凡 黃丹 范俊鍇

1) (河南理工大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，焦作 454003)

2) (河南理工大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，焦作 454003)

為解決一類典型工程擺的工作性能參數(shù)優(yōu)選，抽象該類系統(tǒng)為“受垂直激勵和水平約束”的物理單擺模型.運用多尺度法解析系統(tǒng)的亞諧共振響應(yīng)，明確了系統(tǒng)參數(shù)對幅值共振帶寬、多值性的作用規(guī)律.利用Melnikov 函數(shù)法，求解得到系統(tǒng)的同宿軌和Smale 意義上混沌的閾值條件.通過數(shù)值法解析系統(tǒng)單參分岔、最大Lyapunov 指數(shù)、雙參分岔及吸引域流形轉(zhuǎn)遷等動力特性，揭示了這類擺系統(tǒng)的亞諧共振分岔、周期吸引子倍增、周期與混沌吸引子共存等全局特性的運動規(guī)律，進(jìn)一步明確了相關(guān)參數(shù)改變對系統(tǒng)運動形態(tài)轉(zhuǎn)化、能量分布與演變規(guī)律的作用機理，得到了相關(guān)參數(shù)對工程系統(tǒng)工作性能的影響和作用機制.研究結(jié)果對工程中該類典型物理系統(tǒng)的工作性能參數(shù)調(diào)整，及其對實際工況中系統(tǒng)的減振抑振提供了理論依據(jù).

1 引言

不同于簡單的單擺，受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)，是工程彈簧擺的典型物理抽象.單擺具有運動的等時性，起重機吊重系統(tǒng)[1，2]以及人體行走系統(tǒng)可簡化為單擺模型[3]，并且單擺原理應(yīng)用于減振裝置也具有良好的效果[4，5].伽利略[6]和惠更斯[7]都是單擺研究的奠定者.單擺模型基礎(chǔ)上延伸出的彈簧擺、復(fù)擺、倒立擺等系統(tǒng)的物理特性，本質(zhì)上往往不能簡單等同于單擺，所以得到學(xué)者們的廣泛研究[8-10]，對復(fù)雜擺系統(tǒng)的響應(yīng)解析、穩(wěn)定性、分岔和混沌的研究，也就成為擺類系統(tǒng)的研究重點[11-13].

蕭寒等[14]和張麗娟等[15]研究了一類外激勵作用下的彈簧擺系統(tǒng)的分岔和周期穩(wěn)定性，明確了系統(tǒng)的擬周期環(huán)面破裂和陣發(fā)性進(jìn)入混沌的路徑.Bek 等[16]解析出阻尼彈簧擺的二階近似非線性響應(yīng);Butikov 等[17]研究了一類具有黏性阻尼和干摩擦阻尼作用的彈簧擺，獲得了系統(tǒng)干摩擦阻尼確定的極限環(huán)及對稱的非黏性強迫振蕩的穩(wěn)態(tài)周期性.Zhou 等[18]和Franco 等[19]研究倒立擺的亞諧分岔、混沌運動及平衡控制，獲得異宿軌臨界條件和系統(tǒng)參數(shù)的魯棒性.Najdecka 等[20]研究了參數(shù)激勵的雙擺動力特性，明確了同步與旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性間的關(guān)系.

對實際應(yīng)用中特定工程擺懸掛點的激勵響應(yīng)的研究，也引發(fā)了學(xué)者的關(guān)注[21，22].Kholostova[23]研究了懸掛點受水平激勵的單擺，解析出系統(tǒng)周期運動中穩(wěn)定性和不穩(wěn)定周期運動的邊界條件;Jallouli 等[24]研究了諧波激勵和參數(shù)激勵作用的非線性擺的零吸引子孤子解轉(zhuǎn)換為周期穩(wěn)定解的條件;Brzeski 等[25]研究了強迫Dufffing 振蕩擺的動力分岔、旋轉(zhuǎn)周期解及參數(shù)空間中的共存吸引子條件.

實際工程中的船用起吊機[26]、繩系航天器[27]及水下極端環(huán)境球形機器人重擺[28]，以及軋制工藝系統(tǒng)中工作輥偏心于支撐輥的軋制狀態(tài)，都可通過力學(xué)分析轉(zhuǎn)化為受垂直激勵和水平約束的單擺[29].可見，受垂直激勵和水平約束的擺系統(tǒng)是單擺物理模型的進(jìn)一步延伸，工程應(yīng)用廣泛.對此類問題的研究文獻(xiàn)較少，使用現(xiàn)有單擺物理系統(tǒng)的研究結(jié)論，無法明確對這類多參量作用下的工程彈簧擺的物理屬性及工作性能的優(yōu)選評估.因此深入研究這類擺系統(tǒng)的基本物理問題和動力學(xué)機制是提升這類工程擺廣泛優(yōu)化應(yīng)用的關(guān)鍵.

本文較系統(tǒng)地研究了“受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)”的基本物理問題.通過理論解析和數(shù)值計算，深入研究了該類典型工程擺系統(tǒng)的亞諧共振、幅頻特性、混沌、單參和雙參分岔及吸引域流形轉(zhuǎn)遷等特性，揭示了這類擺系統(tǒng)的工作參數(shù)變化誘發(fā)能量改變對系統(tǒng)動特性和工作性能的影響.

2 受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)動力學(xué)方程

圖1 為受垂直激勵和水平約束的單擺模型.其中，x和y分別表示水平方向和垂直方向，o為懸掛點，擺球懸掛點受到垂直激勵y1(t)，擺球等效質(zhì)量為m，不計懸掛點處質(zhì)量，重力加速度為g，擺球與垂直方向夾角為u(t)，擺長為l.擺球在運動過程中受到水平方向的約束作用，表現(xiàn)為彈性回復(fù)力和阻尼力形式，其剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別為k和c.

圖1 受垂直激勵和水平約束的單擺模型Fig.1.Simple pendulum model with vertical excitation and horizontal constraint.

擺球的水平位移xp和垂直位移yp可以表示為:xplsinu，ypy1－lcosu.擺球的水平速度和垂直速度可寫為:lu˙ cosu，+lu˙ sinu.取擺球懸掛點位置為重力零勢能位置，單擺系統(tǒng)動能為T，勢能為V，耗散能為D，圖1 所示的受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)Lagrange 方程為

將(2)式代入(1)式，整理化簡，考慮擺角u較小時令 sinucosu ≈u，cos 2u ≈1，整理得到受垂直激勵和水平約束的單擺運動方程為

把水平剛度系數(shù)k進(jìn)一步表達(dá)為非線性形式:

式中，k1，k3分別是一次方剛度和三次方剛度系數(shù).

y方向垂直位移激勵型式為簡諧激勵，可表示為

式中a，ω分別為垂直位移激勵幅值和激勵頻率.

把(4)式和(5)式代入(3)式，并進(jìn)行無量綱化處理，令ω1=(k1/m)1/2，τ=ω1t，ωb=ω/ω1，u=x，整理得到

式中，c11c/(mω1)，k33ba/l，g1其中，c11為無量綱化后的阻尼系數(shù)，k33為無量綱化后的三次方剛度系數(shù)，b為無量綱化后的垂直位移激勵幅值，ωb為無量綱化后的垂直位移激勵頻率，即頻率比.(6)式是受垂直激勵和水平約束單擺的非線性系統(tǒng)動力學(xué)方程，是進(jìn)一步分析其亞諧共振分岔和混沌行為的基礎(chǔ).

3 受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)的亞諧共振

受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)，是工程彈簧擺的典型物理抽象.單擺懸掛點處垂直方向的位移激勵作為激勵源，會關(guān)聯(lián)水平約束擺的水平振動輸出，很多可以抽象成受垂直激勵和水平約束單擺的工程問題[30，31]，更多關(guān)注于系統(tǒng)中非線性共振，尤其是實際的亞諧共振導(dǎo)致多個響應(yīng)諧波迭加引發(fā)的系統(tǒng)響應(yīng)跳躍增減甚至混沌對實際系統(tǒng)工作性能的影響.

3.1 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的1/2 次亞諧共振響應(yīng)

采用多尺度法[32]對系統(tǒng)求解.考慮到振動位移x為小量，令sinx≈x，引入小參數(shù)ε，(6)式可化為

(7)式的一次近似解可記為

設(shè)置時間尺度為

時間微分為

式中，Dn?/?Tn，n0， 1， 2，···.

將(8)—(11)式代入(7)式，比較ε同冪次系數(shù)，得到

根據(jù)(12)式可得

將(14)式代入(13)式得

觀察(15)式，發(fā)現(xiàn)ωb≈ 2 時，系統(tǒng)會發(fā)生1/2 次亞諧共振.令:

式中，σ為調(diào)諧參數(shù)，與頻率有關(guān).

將(16)式代入(15)式，消去久期項得

代入(17)式可得

分開實部和虛部，令

于是得到

在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工作時，令

可得

于是近似解為

將(24)式和(25)式左右兩邊平方相加，可得

(27)式即為幅頻特性方程，(28)式為相頻特性方程.

通過數(shù)值解析，得到幅頻響應(yīng)曲線.圖2 反映了b(激勵幅值a和擺長l)變化時，系統(tǒng)隨調(diào)諧值σ變化的幅頻響應(yīng).調(diào)諧值σ相同時，b增大，系統(tǒng)共振區(qū)帶寬增加;沿縱坐標(biāo)方向共振曲線，左側(cè)幅值ax與b呈正相關(guān)，右側(cè)幅值ax與b呈負(fù)相關(guān);沿橫坐標(biāo)方向共振曲線，左側(cè)b與調(diào)諧值σ呈負(fù)相關(guān)，右側(cè)呈正相關(guān).圖3 反映了k33取不同值時，系統(tǒng)隨調(diào)諧值σ變化的幅頻響應(yīng).調(diào)諧值σ相同時，隨k33增大，系統(tǒng)共振區(qū)帶寬減小;沿縱坐標(biāo)方向，左右兩側(cè)的共振曲線幅值ax與k33呈負(fù)相關(guān);沿橫坐標(biāo)方向，在相同振幅值ax前提下，k33與調(diào)諧值σ呈正相關(guān).圖4 反映了c11取不同值時，系統(tǒng)隨調(diào)諧值σ變化的幅頻響應(yīng)曲線.在相同調(diào)諧值前σ提下，隨c11增大，系統(tǒng)共振區(qū)帶寬變窄;沿縱坐標(biāo)方向共振曲線，左側(cè)ax與c11呈負(fù)相關(guān)，右側(cè)ax與c11呈正相關(guān);沿橫坐標(biāo)方向，在相同振幅值ax前提下，c11與調(diào)諧值σ在左側(cè)呈正相關(guān)，在右側(cè)呈負(fù)相關(guān).

圖2 σ 變化下改變b 的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2.Amplitude-frequency response curves with different σ and b.

圖3 σ 變化下改變k33 的幅頻響應(yīng)曲線Fig.3.Amplitude-frequency response curves with different σ and k33..

圖4 σ 變化下改變c11 的幅頻響應(yīng)曲線Fig.4.Amplitude-frequency response curves with different σ and c11.

圖5 反映了調(diào)諧值σ變化時，系統(tǒng)隨c11變化的幅頻響應(yīng)曲線.相同調(diào)諧值σ時，曲線關(guān)于c11=0對稱，隨調(diào)諧值σ絕對值增大，系統(tǒng)振動共振幅值減小;沿縱坐標(biāo)方向共振曲線，ax與σ呈負(fù)相關(guān);沿橫坐標(biāo)方向，在相同振幅值ax前提下，c11與調(diào)諧值σ呈正相關(guān);隨調(diào)諧值σ絕對值增大，系統(tǒng)振動共振區(qū)帶寬由封閉曲線轉(zhuǎn)化為開口的縮頸曲線，系統(tǒng)能耗的增大使共振幅值降低;且隨σ增大，振幅死亡的開口度增寬，有利于系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化閾調(diào)控.圖6 反映了調(diào)諧值σ取不同值時，系統(tǒng)隨k33變化的幅頻響應(yīng)曲線.隨調(diào)諧值σ絕對值增大，共振區(qū)域向k33絕對值減小的方向移動;沿縱坐標(biāo)方向共振曲線，左側(cè)ax與σ呈負(fù)相關(guān)，右側(cè)ax與σ呈正相關(guān);沿橫坐標(biāo)方向，在相同振幅值ax前提下，共振曲線左側(cè)k33與調(diào)諧值σ呈正相關(guān)，右側(cè)k33與調(diào)諧值σ呈負(fù)相關(guān).

圖 5c11 變化下改變σ 的幅頻響應(yīng)曲線Fig.5.Amplitude-frequency response curves with different c11 and σ.

圖6 k33 變化下改變σ 的幅頻響應(yīng)曲線Fig.6.Amplitude-frequency response curves with different k33 and σ.

實際工程中受垂直位移激勵和水平約束的抽象單擺，往往在水平約束方向的小振幅輸出下，可獲得良好的工作性能.通過上述對系統(tǒng)的1/2 次亞諧共振幅頻特性分析，得到參數(shù)b，k33，c11以及調(diào)諧值σ對系統(tǒng)幅頻特性的影響規(guī)律.由b=a/l可知，增大垂直位移激勵幅值a或減小等效擺長l，將導(dǎo)致單擺系統(tǒng)共振區(qū)域帶寬增大、共振幅值增大;參數(shù)k33k3l2/，k33的大小和水平約束的三次方剛度成正比，增大三次方剛度能夠減小單擺亞諧共振振幅;參數(shù)c11c/(mw1)，c11的大小和水平約束的阻尼系數(shù)成正比，通過增大阻尼系數(shù)能夠使單擺亞諧共振區(qū)域變窄和共振幅值減小.實際工程擺中，涉及工作性能的結(jié)構(gòu)參數(shù)可依據(jù)上述分析結(jié)果進(jìn)行調(diào)整.

3.2 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的1/2 次亞諧共振的分岔結(jié)構(gòu)

由奇異性理論定常解的局部穩(wěn)定性分析，結(jié)合系統(tǒng)幅頻特性方程(27)得到

式中，

在(29)式中，令

式中，y=r－q1/2，λ=q1/2，α1=q2.

a)分岔點集:

b)滯后點集:

c)雙極限點:

d)轉(zhuǎn)遷集:

因此α1取不同值時，受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)1/2 次亞諧共振分岔拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖7 所示.當(dāng)α1≥ 0 時，使α1發(fā)生變化的微小擾動都會使系統(tǒng)分岔結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，不利于單擺運動的穩(wěn)定性;而當(dāng)參數(shù)滿足α1＜ 0 時，系統(tǒng)分岔是持久的，利于保證單擺運動的穩(wěn)定性.

圖7 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)1/2 次亞諧共振分岔拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.7.Bifurcation topology of 1/2-order subharmonic resonance of a simple pendulum system with vertical excitation and horizontal constraint.

4 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的混沌分析

4.1 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的勢阱

運用Melnikov 方法，對受垂直激勵和水平約束的單擺非線性系統(tǒng)進(jìn)行混沌運動分析與預(yù)測.令sinx ≈x，引入小參數(shù)δ，受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)的運動方程(6)在δ=0 時的Hamilton系統(tǒng)為

令dx/dτ=dz/dτ=0，當(dāng)g1＜ 1，k33＞ 0 時，得到系統(tǒng)的3 個平衡點分別是

對平衡點O(0，0)，其特征值λ1和λ2是實數(shù);對于平衡點A1和A2，其特征值λ1和λ2是共軛純虛根，所以平衡點O是不穩(wěn)定的鞍點，而平衡點A1和A2是穩(wěn)定的中心.令Hamilton 函數(shù)為H(x，z)，得到受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

令其Hamilton 量為

《商標(biāo)法》第十三條還規(guī)定：就相同或者類似商品申請注冊的商標(biāo)是復(fù)制、摹仿或者翻譯他人未在中國注冊的馳名商標(biāo)，容易導(dǎo)致混淆的，不予注冊并禁止使用。據(jù)此，江蘇諾法律師事務(wù)所律師樊國民認(rèn)為相似商標(biāo)在一定條件下存在侵權(quán)行為。他說：“行為人未經(jīng)商標(biāo)權(quán)人許可，在相同或類似商品上使用與其注冊商標(biāo)相同或近似的商標(biāo)，或者其他干涉、妨礙商標(biāo)權(quán)人使用其注冊商標(biāo)，損害商標(biāo)權(quán)人合法權(quán)益的行為，即構(gòu)成商標(biāo)侵權(quán)?！?/p>

式中，h為常數(shù).

由(38)式和(39)式，得到相軌線方程:

勢能函數(shù)U(x)可表示為

Hamilton 系統(tǒng)(38)的勢阱曲線和相軌線分別如圖8(a)和圖8(b)所示.圖8(a)中，對稱的雙勢阱W1和W2分別對應(yīng)于穩(wěn)定中心點，勢壘對應(yīng)于不穩(wěn)定鞍點.當(dāng)把系統(tǒng)中的質(zhì)點運動理解為孤立振子或振子群型式的運動時:一方面，對稱勢阱W1和W2之間的勢壘為系統(tǒng)穩(wěn)定的周期運動提供了過渡平臺，當(dāng)系統(tǒng)振子運動能量較小而不能穿越勢壘時，振子在W1或W2勢阱內(nèi)做小幅值的穩(wěn)定周期運動，對應(yīng)于圖8(b)中的封閉橢圓相軌線，最后將穩(wěn)定于中心點;另一方面，當(dāng)系統(tǒng)振子獲得越過勢壘的足夠能量后，會在勢阱W1和W2之間大范圍運動，個別能量高的活躍振子在勢阱壁和勢壘平臺間發(fā)生碰撞、反彈、折回和沖擊，使系統(tǒng)運動復(fù)雜化，對應(yīng)于圖8(b)中的O點或其他相軌線.系統(tǒng)能量變化，會引發(fā)系統(tǒng)運動相軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變，系統(tǒng)的運動狀態(tài)隨之改變.圖8(a)中，隨擺長l增大，勢阱的開口寬度和深度都減小，說明系統(tǒng)的擺動運動能量更多的轉(zhuǎn)移到振動運動能量上，能量在運動形態(tài)間交換，在圖8(b)的局部放大結(jié)構(gòu)圖8(c)中，擺長l增大時，系統(tǒng)從O點出發(fā)的相軌線會在不同擺長的運動路徑間發(fā)生躍遷和跌落的路徑轉(zhuǎn)遷，使得系統(tǒng)運動復(fù)雜化.這種受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)，是工程彈簧擺的典型物理抽象.例如機構(gòu)中的兩個彈性接觸輥在服役狀態(tài)下發(fā)生動態(tài)彈性形變，即1 個工作循環(huán)中，兩輥間的彈性形變(擺長)的動態(tài)連續(xù)變化引起的能量轉(zhuǎn)遷會使系統(tǒng)的運動路徑在不同的相軌線之間切換，使得系統(tǒng)運動復(fù)雜化.

圖8 (a)勢阱曲線;(b)，(c)相軌線及其局部放大圖Fig.8.(a) Potential well curve;(b)，(c) phase track and its enlarged view.

4.2 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的同宿軌與混沌預(yù)測

當(dāng)h=0 時，可得(38)式同宿軌道為

取τ=0，z=0 可解得

因dx/dτ=z，對(42)式積分并整理得

由此得系統(tǒng)的同宿軌道參數(shù)方程為

可把受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)的Melnikov 函數(shù)表示為

利用(45)式可得

將(47)式代入系統(tǒng)Melnikov 函數(shù)(46)得到

計算得到系統(tǒng)發(fā)生混沌運動的Melnikov 閾值為

由Melnikov 理論可知，當(dāng)(49)式存在簡單零點時，系統(tǒng)(6)存在Smale 馬蹄意義上的混沌.因此系統(tǒng)在1/2 次亞諧共振情況下，當(dāng)滿足

即:

存在M±(τ0)0 且?M±(τ0)/?τ0/0，系統(tǒng)可發(fā)生Smale馬蹄意義的混沌.

圖9 直觀反映了系統(tǒng)發(fā)生混沌的臨界參量b，c11，ωb之間的制約關(guān)聯(lián)條件.曲面的上部空間參數(shù)組合引發(fā)系統(tǒng)混沌運動，當(dāng)c11接近0.5 時，b值越大，越易引發(fā)系統(tǒng)混沌.根據(jù)Melnikov 函數(shù)預(yù)測條件，選取符合混沌臨界參數(shù)c11=0.5，k33=1.5，g1=0.8，b=0.6，ωb=2，計算單擺系統(tǒng)的混沌吸引子空間結(jié)構(gòu)，如圖10 所示.圖10 中混沌吸引子呈現(xiàn)中心對稱分布，藍(lán)色與紅色分別代表單擺系統(tǒng)順時針和逆時針運動的混沌吸引子，運動過程中系統(tǒng)參數(shù)改變，導(dǎo)致系統(tǒng)能量的交替變化，使系統(tǒng)運動復(fù)雜化.圖11 對應(yīng)系統(tǒng)擺長變化的分岔，隨擺長l增大，系統(tǒng)歷經(jīng)二周期、單周期、二周期、四周期到混沌運動的演化過程.結(jié)合圖10 與圖11，系統(tǒng)在ωb=2 時的混沌吸引子是成對的兩個旋轉(zhuǎn)對稱分岔點的余維.

圖9 系統(tǒng)混沌運動的參數(shù)條件Fig.9.Parameter conditions for chaotic motion of the system.

圖10 單擺系統(tǒng)亞諧共振在ωb=2 時的混沌吸引子Fig.10.Chaotic attractor of simple pendulum system when ωb=2.

圖11 擺長l 變化下的分岔圖Fig.11.Bifurcation diagram with different l.

5 受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)的亞諧共振仿真

對受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)(6)進(jìn)行數(shù)值仿真，如無特殊說明，參數(shù)如下:c11=0.618，k33=1.3，g1=0.28，b=0.48.通過仿真分岔、最大Lyapunov 指數(shù)和雙參耦合分岔等系統(tǒng)特性，研究單擺系統(tǒng)亞諧共振與混沌的演化機制.

5.1 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的亞諧共振分岔與混沌

5.1.1ωb對單擺系統(tǒng)分岔的影響

隨ωb變化的單擺系統(tǒng)的運動分岔及最大Lyapunov 指數(shù)如圖12(a)和圖12(b)所示.可見，隨ωb增大，單擺系統(tǒng)歷經(jīng)“單周期-二周期-四周期-混沌-四周期-混沌-二周期-混沌-四周期-二周期-單周期”的系列復(fù)雜運動變化，且中間交替發(fā)生多次的倍周期分岔.

圖12 ωb 變化下的(a)分岔和(b)最大Lyapunov 指數(shù)Fig.12.(a) Bifurcation and (b) maximum Lyapunov exponent with different ωb.

ωb變化的相圖和時間歷程如圖13(a)—(f)所示.ωb=0.5，1.02，1.8 時，系統(tǒng)分別處于單周期、二周期、混沌運動狀態(tài);且ωb=1.8 的時間歷程圖(圖14(a)—(c))顯示出系統(tǒng)運動中較明顯的交疊拍振共振行為，伴隨b(垂直位移激勵幅值或擺長)變化，系統(tǒng)能量也不斷交替改變，系統(tǒng)共振頻次和振幅帶寬都發(fā)生變化.比較圖13(d)—(f)發(fā)現(xiàn)，ωb變化改變了單擺的運動周期，其變化過程與系統(tǒng)動力學(xué)行為(圖13(a)—(c))相一致.

圖13 ωb 變化下的(a)-(c)相圖和(d)-(f)時間歷程圖 (a)，(d) ωb=0.5;(b)，(e) ωb=1.02;(c)，(f) ωb=1.8Fig.13.(a)-(c) Phase diagram and (d)-(f) time history diagram with different ωb :(a)，(d) ωb=0.5;(b)，(e) ωb=1.02;(c)，(f) ωb=1.8.

圖14 當(dāng)ωb=1.8 時b 變化下的時間歷程圖 (a) b=0.28;(b) b=0.38;(c) b=0.58Fig.14.Time history diagram when b changes and ωb=1.8:(a) b=0.28;(b) b=0.38;(c) b=0.58.

5.1.2c11對單擺系統(tǒng)分岔的影響

隨c11變化的系統(tǒng)分岔和最大Lyapunov 指數(shù)如圖15(a)和圖15(b)所示.可見，隨水平約束阻尼系數(shù)c11增大，系統(tǒng)歷經(jīng)“混沌-四周期-二周期-混沌-八周期-四周期-二周期-單周期”的系列復(fù)雜運動變化過程.

圖15 c11 變化下的(a)分岔和(b)最大Lyapunov 指數(shù)Fig.15.(a) Bifurcation and (b) maximum Lyapunov exponent with different c11.

c11變化的相圖和時間歷程如圖16(a)—(f)所示.其中圖16(a)—(f)中，c11=0.6，0.63，1.2 時，系統(tǒng)分別處于雙曲混沌、混沌、單周期運動狀態(tài);c11=0.6，系統(tǒng)表現(xiàn)為左右兩中心的相軌跡被鞍點所吸引的雙曲混沌;c11=0.63，系統(tǒng)表現(xiàn)出對稱性降低，有序性增加的混沌態(tài).隨c11繼續(xù)增大，系統(tǒng)由倒倍周期分岔發(fā)展為c11=1.2 的單周期運動.比較圖16(d)—(f)發(fā)現(xiàn)，c11變化改變了水平約束單擺系統(tǒng)的運動周期，其變化過程與系統(tǒng)動力學(xué)行為(圖16(a)—(c))相一致.

圖16 c11 變化下的(a)-(c)相圖和(d)-(f)時間歷程圖 (a)，(d) c11=0.6;(b)，(e) c11=0.63;(c)，(f) c11=1.2Fig.16.(a)-(c) Phase diagram and (d)-(f) time history diagram with different c11:(a)，(d) c11=0.6;(b)，(e) c11=0.63;(c)，(f) c11=1.2.

5.1.3g1對單擺系統(tǒng)分岔的影響

隨g1變化的系統(tǒng)分岔圖及最大Lyapunov 指數(shù)曲線如圖17(a)和圖17(b)所示.可見，隨g1增大，單擺系統(tǒng)歷經(jīng)“混沌-四周期-二周期-單周期”的運動狀態(tài)改變.g1取不同值的相圖和時間歷程如圖18 所示.其中圖18(a)—(c)，隨系統(tǒng)歷經(jīng)雙曲混沌、混沌、二周期等運動狀態(tài)的改變，這與圖18(d)—(f)中，g1變化引起的系統(tǒng)動力學(xué)行為相一致.

圖17 g1 變化下的(a)分岔和(b)最大Lyapunov 指數(shù)Fig.17.(a) Bifurcation and (b) maximum Lyapunov exponent with different g1.

圖18 g1 變化下的(a)-(c)相圖和(d)-(f)時間歷程圖 (a)，(d) g1=0.27;(b)，(e) g1=0.28;(c)，(f) g1=0.36Fig.18.(a)-(c) Phase diagram and (d)-(f) time history diagram with different g1:(a)，(d) g1=0.27;(b)，(e) g1=0.28;(c)，(f) g1=0.36.

5.1.4k33對單擺系統(tǒng)分岔的影響

隨k33變化的系統(tǒng)分岔及最大Lyapunov 指數(shù)曲線如圖19(a)和圖19(b)所示.隨k33增大，系統(tǒng)歷經(jīng)“單周期-二周期-四周期-八周期-混沌”系列運動狀態(tài)的改變過程.隨k33變化的相圖和時間歷程如圖20 所示.其中圖20(a)—(c)，k33=0.6，1.2，1.4 時，系統(tǒng)分別處于四周期、混沌、雙曲混沌運動.隨k33變化，單擺的周期性也發(fā)生改變?nèi)鐖D20(d)—(f)，其變化過程與系統(tǒng)動力學(xué)行為(圖20(a)—(c))相一致.

圖19 k33 變化下的(a)分岔和(b)最大Lyapunov 指數(shù)Fig.19.(a) Bifurcation and (b) maximum Lyapunov exponent with different k33..

圖20 k33 變化下的(a)-(c)相圖和(d)-(f)時間歷程圖 (a)，(d) k33=0.6;(b)，(e) k33=1.2;(c)，(f) k33=1.4Fig.20.(a)-(c) Phase diagram and (d)-(f) time history diagram with different k33:(a)，(d) k33=0.6;(b)，(e) k33=1.2;(c)，(f) k33=1.4.

5.1.5b對單擺系統(tǒng)分岔的影響

隨b變化單擺系統(tǒng)的運動分岔及最大Lyapu nov 指數(shù)如圖21(a)和圖21(b)所示.可見，隨b增加，單擺系統(tǒng)歷經(jīng)“單周期-二周期-四周期-混沌-四周期-二周期-單周期”的系列復(fù)雜運動變化.

圖21 b 變化下的(a)分岔和(b)最大Lyapunov 指數(shù)Fig.21.(a) Bifurcation and (b) maximum Lyapunov exponent with different b.

b變化的相圖和時間歷程如圖22(a)—(f)所示.其中圖22(a)—(f)中，b=0.19，0.28，0.36 系統(tǒng)分別處于二周期、混沌、雙曲混沌的運動狀態(tài).b=0.36 的時間歷程圖(圖23(a)—(c))顯示出系統(tǒng)運動中較明顯的交疊拍振共振行為，伴隨ωb變化，系統(tǒng)能量也不斷交替改變，系統(tǒng)共振頻次和振幅帶寬都發(fā)生變化.比較圖22(d)—(f)發(fā)現(xiàn)，b變化改變了單擺的運動周期，其變化過程與系統(tǒng)動力學(xué)行為(圖22(a)—(c))相一致.

圖22 b 變化下的(a)-(c)相圖和(d)-(f)時間歷程圖 (a)，(d) b=0.19;(b)，(e) b=0.28;(c)，(f) b=0.36Fig.22.(a)-(c) Phase diagram and (d)-(f) time history diagram with different b:(a)，(d) b=0.19;(b)，(e) b=0.28;(c)，(f) b=0.36.

圖23 當(dāng)b=0.36 時ωb 變化下的時間歷程圖 (a) ωb=1.3 (b) ωb=1.5;(c) ωb=1.7Fig.23.Time history diagram when ωb changes and b=0.36:(a) ωb=1.3;(b) ωb=1.5;(c) ωb=1.7.

5.2 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)的亞諧共振雙參分析

通過分析方程(6)隨相關(guān)變量的雙參組合，研究受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)在雙參量耦合變化下的動力行為演化，映射雙參域變化下的單擺系統(tǒng)分岔運動特性.

參數(shù)ωb耦合c11的系統(tǒng)運動特性如圖24(a)所示.在區(qū)域“Ch1”，“Ch2”和“Ch3”的組合取值，反映系統(tǒng)運動做混沌運動;其他區(qū)域組合取值，系統(tǒng)做周期運動.圖24(a)中，考慮參量的一維變化，沿“L1”路徑變化參數(shù)ωb，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化過程與圖12 一致;沿著“L2”路徑變化參數(shù)c11，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化過程與圖15 一致，這也在一定程度上佐證了單參數(shù)分岔對系統(tǒng)運動改變的結(jié)果.

參數(shù)c11耦合k33的系統(tǒng)運動特性如圖24(b)所示.區(qū)域“Ch3”組合取值會導(dǎo)致系統(tǒng)運動的不穩(wěn)定性比區(qū)域“Ch1”，“Ch2”大;當(dāng)c11，k33在“Ch1”，“Ch2”和“Ch3”區(qū)域邊緣組合取值時，會導(dǎo)致系統(tǒng)運動由混沌轉(zhuǎn)向周期運動.

參數(shù)k33耦合g1的系統(tǒng)運動特性如圖24(c)所示.區(qū)域“Ch1”內(nèi)組合取值，最大Lyapunov 指數(shù)為正，系統(tǒng)做混沌運動.參數(shù)g1耦合參數(shù)b的系統(tǒng)運動特性如圖24(d)所示.區(qū)域“Ch1”內(nèi)組合取值，系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)大于零，系統(tǒng)做混沌運動，當(dāng)g1和b在其他區(qū)域內(nèi)組合取值時，最大Lyapunov 指數(shù)為負(fù)，系統(tǒng)做周期運動.

圖24 單擺非線性系統(tǒng)在雙參數(shù)域上的運動 (a) ωb-c11;(b) c11-k33;(c) k33-g1;(d) g1-b;(e) b-ωbFig.24.Motion of a simple pendulum nonlinear system in the bi-parameter domain:(a) ωb-c11;(b) c11-k33;(c) k33-g1;(d) g1-b;(e) b-ωb.

參數(shù)b耦合參數(shù)ωb組合的系統(tǒng)運動特性如圖24(e)所示.區(qū)域“Ch1”內(nèi)組合取值，系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)為正，系統(tǒng)做混沌運動;當(dāng)b和ωb的組合取值在“Ch1”區(qū)域邊界時，系統(tǒng)最大Lyapunov 指數(shù)在0 附近變動，系統(tǒng)發(fā)生混沌和周期運動的轉(zhuǎn)換.

上述對受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)在雙參數(shù)域上的運動特性分析，明確了參數(shù)ωb，c11，k33，g1和b的組合取值對系統(tǒng)運動狀態(tài)的影響，系統(tǒng)發(fā)生周期運動與混沌運動的轉(zhuǎn)換邊界，系統(tǒng)最大Lyaounov 指數(shù)發(fā)生穿越0 的突變，系統(tǒng)動力特性也變得復(fù)雜.

6 受垂直激勵和水平約束單擺系統(tǒng)亞諧共振的吸引域

分析受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)亞諧共振分岔與混沌等運動狀態(tài)轉(zhuǎn)換，能量變化是本質(zhì)驅(qū)動內(nèi)因.動力系統(tǒng)運動過程吸引子、吸引域的流形轉(zhuǎn)遷所表現(xiàn)出的能量演化機制，決定了系統(tǒng)的運動特性.

研究參數(shù)b改變對受垂直激勵和水平約束的單擺非線性系統(tǒng)的吸引子、吸引域的影響，揭示單擺系統(tǒng)運動過程中能量變化影響下的全局動力特性.參數(shù)b變化引發(fā)的單擺系統(tǒng)吸引子、吸引域的轉(zhuǎn)遷如圖25 所示.

b=0.11 的吸引域如圖25(a)所示.此時系統(tǒng)存在兩個周期吸引子，且每個吸引子所在的吸引域(藍(lán)色和綠色)邊界清晰，二者相互纏繞，系統(tǒng)處于穩(wěn)定運動狀態(tài);如圖25(b)所示，隨b增大至b=0.23 時，周期吸引子倍增，存在4 個周期吸引子，每兩個周期吸引子所在吸引域(藍(lán)色和綠色)邊界清晰，吸引域帶寬變窄，還有進(jìn)一步稀疏的演化趨勢，這些都在一定程度上反映出b的改變會誘發(fā)單擺系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定域的變化.

b=0.32 的吸引域如圖25(c)所示.系統(tǒng)歷經(jīng)倍周期分岔運動的極限位置到達(dá)邊界，系統(tǒng)的運動狀態(tài)發(fā)生激變，出現(xiàn)混沌吸引子，系統(tǒng)能量的改變導(dǎo)致單擺的運動失穩(wěn).如圖25(d)所示的b=0.35，系統(tǒng)內(nèi)部繼續(xù)激變，混沌吸引子所在的吸引域區(qū)域減少，出現(xiàn)周期吸引子，并且兩個周期吸引子及其所在的吸引域中心對稱分布，反映出垂直激勵引發(fā)的能量改變激發(fā)出單擺系統(tǒng)的周期吸引子與混沌吸引子共存，系統(tǒng)所表現(xiàn)出的運動形式則取決于初始狀態(tài).

圖25 系統(tǒng)在參數(shù)b 變化時的吸引子、吸引域 (a) b=0.11;(b) b=0.23;(c) b=0.32;(d) b=0.35;(e) b=0.49;(f) b=0.81Fig.25.Attractor and attraction domain of the system when the parameter b changes:(a) b=0.11;(b) b=0.23;(c) b=0.32;(d) b=0.35;(e) b=0.49;(f) b=0.81.

b=0.49 的吸引域如圖25(e)所示.混沌吸引子分散，所在的吸引域變窄，密集程度降低，并且周期吸引子和混沌吸引子共存，兩個周期吸引子所在的吸引域面積增大，該條件下垂直激勵引發(fā)的能量變化激發(fā)出單擺系統(tǒng)的周期吸引子聚集，系統(tǒng)所表現(xiàn)出的運動形式依然與初始狀態(tài)密切相關(guān).b=0.81 的吸引域如圖25(f)所示，系統(tǒng)存在兩個周期吸引子，且兩個周期吸引子所在的吸引域相互環(huán)繞，呈中心對稱分布，系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)，反映出垂直激勵所引起的能量變化引起單擺系統(tǒng)周期吸引子能量增大，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為周期運動.

可見，參數(shù)b變化改變了系統(tǒng)中的能量分布，導(dǎo)致系統(tǒng)周期吸引子倍增，混沌吸引子出現(xiàn)，系統(tǒng)經(jīng)歷倍周期分岔通向混沌;當(dāng)系統(tǒng)在周期吸引子和混沌吸引子共存條件下，各自吸引域邊界會因系統(tǒng)能量變化，不斷發(fā)生邊界的侵蝕、融合的復(fù)雜過程.在混沌吸引子消失后，周期吸引子及其吸引域中心對稱分布，這都在一定程度上反映出單擺系統(tǒng)能量影響下的全局動力特性.

7 結(jié)論

受垂直激勵和水平約束的單擺系統(tǒng)，是工程彈簧擺的典型物理抽象.本文系統(tǒng)地研究了這類工程擺的物理特性，研究結(jié)果對實際工程應(yīng)用中涉及工作性能的參數(shù)調(diào)整，奠定了理論依據(jù).通過對該系統(tǒng)的亞諧共振分岔和混沌分析，結(jié)論如下:

1)增大水平約束阻尼系數(shù)和三次方剛度系數(shù)，有利于減小單擺系統(tǒng)共振幅值;增大水平約束阻尼系數(shù)可減小單擺系統(tǒng)共振區(qū)域帶寬;增大垂直位移激勵幅值將增大系統(tǒng)共振幅值、增加共振區(qū)域帶寬.

2)對該系統(tǒng)的單參分岔研究表明，垂直位移激勵幅值、激勵頻率、水平約束阻尼系數(shù)和三次方剛度系數(shù)等參數(shù)變化，都將導(dǎo)致系統(tǒng)運動特性的改變，這與傳統(tǒng)單擺中的阻尼對運動過程無影響結(jié)論不同.上述參量變化，本質(zhì)上改變了系統(tǒng)中的能量分布，使得單擺系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔、倒倍周期分岔、周期運動和混沌運動等動力學(xué)行為.

3)對系統(tǒng)在不同參量條件下的相軌跡和時間歷程的分析，表明方程(6)中的g1相當(dāng)于關(guān)聯(lián)了系統(tǒng)擺長和運動周期的耦合項，無論擺長還是運動周期使得系統(tǒng)能量降低，系統(tǒng)都會通過參數(shù)g1的耦合，使得能量發(fā)生轉(zhuǎn)換，維持系統(tǒng)振動.

4)對該系統(tǒng)的雙參數(shù)域分岔研究表明，通過合適選擇系統(tǒng)參數(shù)，可有效控制該系統(tǒng)的振動行為，并且通過參數(shù)的匹配優(yōu)選能有效避免混沌的發(fā)生.進(jìn)一步通過對系統(tǒng)吸引子、吸引域的分析，揭示了系統(tǒng)能量變化對運動形態(tài)的演化機理.

上述結(jié)論為受垂直激勵和水平約束的單擺模型的工程應(yīng)用提供重要理論依據(jù)，同時對實際工況下的減振抑振提供了理論參考.