基于項(xiàng)目課程學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容重構(gòu)

童小紅 戴 芳

（西安理工大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系 陜西·西安 710054）

1 課程概述

數(shù)學(xué)文化課是文化素質(zhì)教育類的校公共選修課。主要內(nèi)容是講授數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神以及數(shù)學(xué)方法，并探討數(shù)學(xué)與人文科學(xué)的融合交叉；數(shù)學(xué)文化課的開設(shè)目的在于使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想有一定了解，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生學(xué)會(huì)“以數(shù)學(xué)方式的理性思維觀察世界”的方法，進(jìn)而提升廣大大學(xué)生的數(shù)學(xué)、文化和思想等方面的綜合素質(zhì)。

開設(shè)這門課的初衷是什么呢？大學(xué)生從小學(xué)到大學(xué)，雖然學(xué)了至少十二年的數(shù)學(xué)課，但是很多同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的思想、方法了解得很少，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)的宏觀認(rèn)識(shí)和總體把握，而這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)恰好是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精華所在。然而數(shù)學(xué)素養(yǎng)并不是與生俱來的，需要在學(xué)生后期的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中去不斷培養(yǎng)。這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不僅要向?qū)W生傳授課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是還要讓學(xué)生去體會(huì)蘊(yùn)含在這些數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)文化，并了解數(shù)學(xué)的理性思維方式，最終提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)文化課的教學(xué)重點(diǎn)在于提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，它包含以下三各方面的基本要求。第一方面，是要以數(shù)學(xué)發(fā)展史、典型數(shù)學(xué)問題、核心數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，介紹數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精神；第二方面，課程所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)不宜太深?yuàn)W，要以能講清楚其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想為準(zhǔn)，能使全校所有專業(yè)的學(xué)生都能容易聽懂，都能有所收獲；第三方面，內(nèi)容的選取要能開闊學(xué)生眼界，要努力做到縱橫兼顧，對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史、發(fā)展現(xiàn)狀和發(fā)展未來都有所介紹。

2 原課程主要內(nèi)容和知識(shí)框架

“數(shù)學(xué)文化”課程內(nèi)容一共分為四章，每章中又分為若干相互獨(dú)立的問題。其具體內(nèi)容如下：第一章是概述，主要內(nèi)容包括數(shù)學(xué)的定義，數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史，數(shù)學(xué)的魅力以及數(shù)學(xué)的語言及數(shù)學(xué)的應(yīng)用這四節(jié)內(nèi)容；第二章是若干數(shù)學(xué)問題中的數(shù)學(xué)文化，主要內(nèi)容包括有限與無限的問題，斐波那契數(shù)列。并簡(jiǎn)要介紹從勾股定理到費(fèi)馬大定理以及哥尼斯堡七橋問題等。第三章是若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化，主要內(nèi)容包括歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)，韓信點(diǎn)兵與中國剩余定理。并簡(jiǎn)要介紹歐幾里德幾何與非歐幾何，田忌賽馬與運(yùn)籌學(xué)，希爾伯特和他的二十三個(gè)問題，以及哥廷根的興衰和國際數(shù)學(xué)家大會(huì)與菲爾茲獎(jiǎng)等內(nèi)容。第四章是若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化，主要內(nèi)容包括幾種數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的介紹例如：抽象觀點(diǎn)、對(duì)稱觀點(diǎn)、類比觀點(diǎn)以及轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)等。并簡(jiǎn)要“相容性、獨(dú)立性和完全性”的觀點(diǎn)。

從該課程所包含的這四章的主要內(nèi)容可以看出，各章內(nèi)容彼此獨(dú)立，各章節(jié)內(nèi)的內(nèi)容聯(lián)系也不是很緊。第一章概論部分粗略地保持了知識(shí)的系統(tǒng)性，以期讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化有一個(gè)整體的了解，其它三章的各節(jié)內(nèi)容，基本上是互不相關(guān)的，每節(jié)都可以獨(dú)立成篇。這樣一來，后三章的每一節(jié)，都集中地講授一個(gè)內(nèi)容，并且圍繞這一內(nèi)容展開其中的數(shù)學(xué)文化。從每一節(jié)的角度看數(shù)學(xué)文化，是不系統(tǒng)的，但它們的總和又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的系統(tǒng)性。既有知識(shí)性，又有思想性，還有趣味性。在講課的時(shí)候完全可以不受太大的限制，根據(jù)課時(shí)安排和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)內(nèi)容。

3 數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容重構(gòu)及課程項(xiàng)目設(shè)計(jì)

在對(duì)數(shù)學(xué)文化課程內(nèi)容重構(gòu)及課程項(xiàng)目設(shè)計(jì)時(shí)，要堅(jiān)持的原則是遵照課程大綱，講授數(shù)學(xué)文化課程的主要內(nèi)容，即講授數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)方法，探討數(shù)學(xué)與人文的交叉融合，進(jìn)而提升廣大大學(xué)生的數(shù)學(xué)、文化和思想等方面的綜合素質(zhì)。因此，我們對(duì)課程的內(nèi)容做了重構(gòu)并通過課程項(xiàng)目設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)對(duì)課程的教與學(xué)，具體做法如下：

對(duì)第一章內(nèi)容老師簡(jiǎn)要介紹后兩節(jié)的內(nèi)容，即：數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)的語言及數(shù)學(xué)的應(yīng)用。設(shè)計(jì)一個(gè)小項(xiàng)目：探秘?cái)?shù)學(xué)發(fā)展史。該項(xiàng)目由三名學(xué)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組（推薦一人當(dāng)組長(zhǎng)，主要負(fù)責(zé)組織協(xié)調(diào)），用兩個(gè)星期的時(shí)間共同完成該項(xiàng)目，要求完成不少于1000字的項(xiàng)目報(bào)告，并推選一人做項(xiàng)目報(bào)告。主要內(nèi)容包括：什么是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，每個(gè)發(fā)展歷史階段的主要成就和主要代表人物等（所包含內(nèi)容可由學(xué)生討論確定，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)造性）。

對(duì)第二章和第三章內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，突破章節(jié)限制，老師簡(jiǎn)要介紹從勾股定理到費(fèi)馬大定理，哥尼斯堡七橋問題，歐幾里德幾何與非歐幾何。對(duì)田忌賽馬與運(yùn)籌學(xué)，希爾伯特和他的二十三個(gè)問題，哥廷根的興衰以及國際數(shù)學(xué)家大會(huì)與菲爾茲獎(jiǎng)等內(nèi)容的處理，老師不再講授，而是給學(xué)生材料或者讓學(xué)生自己搜集材料讓學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，并由學(xué)生在課堂上分享相關(guān)內(nèi)容。

而對(duì)于這兩章的主要內(nèi)容是要通過完成老師設(shè)計(jì)的項(xiàng)目來實(shí)現(xiàn)。因?yàn)檫@兩章的主要內(nèi)容都和無窮有關(guān)，并都引發(fā)了不少大大小小的悖論。例如：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是因?yàn)椋o限不循環(huán)小數(shù)）的發(fā)現(xiàn)，與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條“萬物皆數(shù)”形成強(qiáng)烈沖突而引發(fā)；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是因“無窮小量是不是0”引起，從問題的出現(xiàn)到問題的解決促進(jìn)了微積分理論的建立、發(fā)展和完善；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是由于“羅素悖論”而產(chǎn)生，是對(duì)作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的集合論的質(zhì)疑。而著名的希爾伯特旅館問題、伽利略悖論問題都是因?yàn)樵谟邢薜氖澜缋?，部分永遠(yuǎn)小于整體，而在無限的世界里，部分可以等于整體（所含元素個(gè)數(shù)相等，兩個(gè)集合之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系）。鑒于以上原因，特確定項(xiàng)目的名稱為：無窮引起的悖論。

該項(xiàng)目由三至五名學(xué)生組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共同完成該項(xiàng)目。要求完成不少于3000字的項(xiàng)目報(bào)告，并推選2-3人做項(xiàng)目報(bào)告。項(xiàng)目主要內(nèi)容包括：什么是悖論？歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)（包括萬物皆數(shù)、微積分的產(chǎn)生及發(fā)展、羅素悖論、集合論、“相容性、獨(dú)立性和完全性”的觀點(diǎn)（屬于第四章內(nèi)容）），有限與無限的問題（包括希爾伯特旅館、伽利略悖論）以及數(shù)學(xué)反法：反證法（證明是無理數(shù)、素?cái)?shù)有無窮多個(gè)）、數(shù)學(xué)歸納法（通過有限的步驟去證明結(jié)論對(duì)無窮多個(gè)正整數(shù)都成立）、特殊化與一般化方法等。

對(duì)于第二章中的斐波那契數(shù)列和黃金分割，第三章中的韓信點(diǎn)兵與中國剩余定理。這是兩個(gè)非常重要而且是相對(duì)來說學(xué)生理解和掌握都有難度的內(nèi)容，老師可以先給學(xué)生相關(guān)資料讓學(xué)生提前了解知識(shí)內(nèi)容，然后再通過課堂講解來完成。在講完韓信點(diǎn)兵與中國剩余定理后，打破章節(jié)的限制直接講第四章中的兩節(jié)內(nèi)容，即“類比”的觀點(diǎn)和“轉(zhuǎn)化”的觀點(diǎn)，這是因?yàn)檫@些內(nèi)容之間是有相互聯(lián)系的。而對(duì)于第四章若干數(shù)學(xué)觀點(diǎn)中的數(shù)學(xué)文化中的“抽象”的觀點(diǎn)，“對(duì)稱”的觀點(diǎn)，“數(shù)學(xué)機(jī)械化”的觀點(diǎn)等內(nèi)容，老師只做簡(jiǎn)要介紹，不再做詳細(xì)講授，而是給學(xué)生材料讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行課外閱讀、討論，然后每個(gè)小組選派一至兩名代表利用課堂時(shí)間就自己小組的討論進(jìn)行發(fā)言，這樣做能增強(qiáng)學(xué)生的閱讀能力、自學(xué)能力、小組合作與交流能力。此外，對(duì)于第一章中老師簡(jiǎn)要介紹的內(nèi)容，也可以根據(jù)時(shí)間安排采用這種形式進(jìn)行。

4 融入PBL教學(xué)法理念，不斷進(jìn)行實(shí)踐探索

PBL是Problem-based learning或Project-based learning的簡(jiǎn)稱。其核心是主張從實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)，掌握知識(shí)和培養(yǎng)技能同步并進(jìn)，同時(shí)尊重學(xué)生自我發(fā)展并鼓勵(lì)團(tuán)隊(duì)合作精神。PBL教學(xué)法和我們傳統(tǒng)的教學(xué)法的最大不同在于教學(xué)理念的不同，要實(shí)施PBL教學(xué)法，關(guān)鍵在于教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變。教師的教學(xué)理念對(duì)教師的教學(xué)行為和方法起著重要的指導(dǎo)作用。教師持有什么樣的教學(xué)理念，直接影響到教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。從教學(xué)的角度來說，基于問題的學(xué)習(xí)是一種以學(xué)習(xí)者為中心的教學(xué)方法。學(xué)生需要完成一個(gè)項(xiàng)目或解答一個(gè)綜合問題，需要互動(dòng)的聯(lián)系各種教學(xué)活動(dòng)，如授課、實(shí)驗(yàn)、研討等，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)原動(dòng)力。教師的職責(zé)不再只是傳道授業(yè)，更重要的是要拋磚引玉，通過提出問題和案例教學(xué)使學(xué)生更加積極主動(dòng)地計(jì)劃、安排并管理自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并階段性的反思自己的學(xué)習(xí)成效，并對(duì)完成情況做出相應(yīng)的評(píng)估。

數(shù)學(xué)文化課程在我校已經(jīng)開設(shè)了近十年，累計(jì)聽課學(xué)習(xí)人數(shù)有1300余人，積累了一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和課程素材，曾獲得過兩次校級(jí)課程教改項(xiàng)目和校級(jí)課程思政精品課程建設(shè)的資助。在教學(xué)改革不斷深化的時(shí)代，數(shù)學(xué)文化課程也需要改革，增刪教學(xué)內(nèi)容，改變教學(xué)觀念和教學(xué)模式，并對(duì)現(xiàn)有的課程進(jìn)行重構(gòu)，以期達(dá)到更好的教育教學(xué)效果。數(shù)學(xué)文化課程重構(gòu)后，增加了不少項(xiàng)目設(shè)計(jì)，這很適合運(yùn)用PBL教學(xué)法。因此，可以考慮在以后的教學(xué)中引入PBL教學(xué)法，進(jìn)行課程項(xiàng)目學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過完成相關(guān)的課程項(xiàng)目達(dá)到更好的教學(xué)效果。同時(shí)，要在教學(xué)過程中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有機(jī)融入課程思政內(nèi)容，使知識(shí)學(xué)習(xí)和思想教育有機(jī)結(jié)合，真正實(shí)現(xiàn)教書育人的功能。

教改一直在路上，需要師生不斷進(jìn)行探索和實(shí)踐！