一類奇異積分算子與BESOV函數生成的交換子的有界性

胡鑫娜，孫杰

摘要：討論一類奇異積分算子與Besov函數生成的交換子從Lebesgue到Triebel-Lizorkin空間及在Lebesgue空間上的有界性.

關鍵詞：Triebel-Lizorkin空間;Besov函數;交換子;極大函數

[中圖分類號]O 174.2[文獻標志碼]A

Boundedness for Commutators of a Type of Singular Integral

Operators and Besov function

HU Xinna，SUN Jie

（College of Mathematical Science;Mudanjiang Normal University，Mudanjiang 157011，China）

Abstract：In this paper，we discuss the commutator generated by a type of singular integral operators and Besov function is bounded from Lebesgue spaces to Triebel-Lizorkin spaces and to Lebesgue spaces.

Key words：Triebel-Lizorkin spaces;Besov function;commutator;the Maximal function

算子理論是調和分析的核心內容，證明奇異積分算子與適當函數生成的交換子的有界性問題是算子理論研究的重要內容.1976年Coifman，Rochberg和Weiss首次介紹了經典奇異積分算子T與局部可積函數b生成的交換子[b，T][1]，證明了奇異積分算子T與BMO函數生成的交換子有界.自此之后，交換子的問題得到了廣泛關注，取得了很多研究結果.[2-3]本文討論一類奇異積分算子與Besov函數生成的交換子從Ld到Fβ-n/p，∞d及Ld到Lr有界的問題.

1預備知識

2003年Trujillo-González在參考文獻[4]中介紹了核滿足如下條件的奇異積分算子

定義1[4]設K∈L2（Rn）.若C0>0使

（1）‖K︿‖∞≤C0;（2）|K（x）|≤C0|x|n;（3）存在函數B1，…，Bm∈L1locRn＼{0}和Rn中的一族有界函數Φ={1，…，m}且detj（yi）2∈RH∞（Rnm）;（4）對固定的γ>0及|x|>2|y|>0，有K（x-y）-∑mj=1Bj（x）j（y）≤C0|y|γ|x-y|n+γ，對f∈C∞c（Rn），定義Tf（x）=∫RnK（x-y）f（y）dy.

當m=1，j（y）=1，Bj（x）=K（x）時，上面定義中的算子是經典的奇異積分算子.

定義1中的奇異積分算子與Besov函數生成的交換子定義為

Tbf（x）=[b，T]f（x）=b（x）Tf（x）-T（bf）（x）.

引理1[5]設1≤p≤∞.T是定義1的算子，則存在C>0，f∈Lp（Rn），有‖Tf‖p≤C‖f‖p，其中C與f無關.

引理2（i）當1

（ii）對任意1≤s

引理3[6]設f∈Lp（Rn），當1

supQ1Q1+β/n-1/p∫Qb-bQdy≤supQ1Qβ/n+1/q-1/p∫Qb-bQqdy1/q≤Cb∧·p，qβ.

2結果與證明

2.1奇異積分算子交換子Tb是從Ld到Fβ-n/p，∞d有界的

定義1所定義的一類奇異積分算子是具有標準核奇異積分算子的推廣，故得到的結論對具有標準核的奇異積分算子的交換子也是成立的.

定理1設22qq-2，Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，則Tb是從Ld到F·β-n/p，∞d有界的.

證明固定方體Q=Q（xQ，s）.對于f∈C∞c（Rn），令f=f1+f2，其中f1=fχ2af2=f-f1.由Tbf=Tb-bQf.令A=∑mj=1Cjj-（y-xQ），Cj是待定常數j=1，2，…，m.有

∫QTbf（y）-（Tbf）Qdy≤2∫Qb（y）-bQTf（y）dy+2∫QT（b-bQ）f1（y）dy+

2∫QT（b-bQ）f2（y）-Ady∶=J1+J2+J3.

現估計J1，由Ho··lder不等式及引理4得到

J1≤2∫Qb（y）-bQqdy1q∫QTf（y）qq-1dyq-1q≤CQ1+βn-1qb∧·p，qβMqq-1（Tf）（x）.

再估計J2，當21，由引理1及Ho··lder不等式，有

J2≤CT（b-bQ）f12Q12≤C（b-bQ）f12Q12≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβM2qq-2（f）（x）.

最后估計J3，由于b-b2Q≤1Q∫Qb（y）-b2Qdy≤C2Qβn-1pb∧·p，qβ，

那么可以得到b2kQ-bQ≤Ck2kQβn-1pb∧·p，qβ.

令Cj=∫Rnf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-bQdy.j=1，2，…，m.證明Cj有限.由f∈C∞c（Rn），設suppfQ0=（xQ，d），d>0.存在方體Q*，中心為xQ，使suppf∪2QQ*.Bj（x）∈Lq′locRn＼{0}，j=1，2，…，m，根據引理4，由Ho··lder不等式有

|Cj|≤∫Q*＼2Qf2（y）Bj-（y-xQ）b（y）-b2Qdy<∞.

由z∈（2Q）c，y∈Q，則|y-z|～|z-xQ|有

J3≤2∫Q∫（2Q）cK（y-z）-∑mj=1Bj（xQ-z）j（xQ-y）b（z）-bQf（z）dzdy.

由定義1中條件（4）可以得到J3≤C∫Q∫（2Q）c（xQ-z）-（y-z）γy-zn+γb（z）-bQf（z）dzdy.

插項有J3≤C|Q|∑∞k=2∫2kQ＼2k-1Q2-ky2kQ-1b（z）-bQ+b2kQ-b2kQf（z）dz.

再由引理4得到J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβ∑∞k=22k（-γ+β-npMq′（f）（x）+∑∞k=22k（-γ+β-npkM（f）（x）.

最后當0<β-np

J3≤CQ1+βn-1pb∧·p，qβMq′（f）（x）+M（f）（x）.

綜上，由于d>2qq-2以及22qq-2>qq-1=q′.且0<β<1，由引理2得

TbfF·β-np，∞d≤Cb∧·p，qβfd.

定理1得證.

2.2Tb是Ld到Lr有界的

證明滿足定義1中條件（1）到（4）的一類奇異積分算子的交換子Tb是Ld到Lr有界的，即在Lebesgue空間上的有界性.

定理2設0<β<1，1

證明利用變量替換，有

Tbf（x）≤∫Rnb（x）-b（x-t）K（t）f（x-t）dt≤C0∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdt.考慮Tbf的Lr范數

Tbfr≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）tnq+βf（x-t）t1-nq-βdtrdx1r∶=S1.

q>1，對變量t用Ho··lder不等式

S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtrq∫Rnf（x-t）tn-nq-βqq-1dtr（q-1）qdx1r.

由于pr>1再對x用Ho··lder不等式

S1≤C∫Rn∫Rnb（x）-b（x-t）qtn+q βdtpqdx1p∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.

應用廣義Minkowski不等式有

S1≤Cb∧·p，qβ∫Rn∫Rnf（x-t）qq-1tn-q βq-1dt（q-1）prq（p-r）dxp-rpr.

令α=q βq-1，取g=fqq-1，由1r=1d-βn+1p和qq-1

S1≤Cb∧·p，qβgq-1qd（q-1）q≤Cb∧·p，qβfd.

定理2得證.

3結論

本文討論了一類奇異積分算子與Besov函數生成的交換子從Lebesgue到Triebel-Lizorkin空間及在Lebesgue空間上的有界性問題，推廣了經典奇異積分算子交換子的相關結果，對后續(xù)交換子的研究具有一定的推動作用.

參考文獻

[1]Coifman R.，Rochberg R.and Weiss G..Facorization theorems for Hardy spaces in several variables[J].Ann of Math.，1976，103（3）：611-635.

[2]Paluszyński M..Characterization of the Besov spaces via the commutator operator of Coifman，Rochberg and Weiss[J].Indiana Univ.Math.J.，1995，44：1-17.

[3]孫杰.Hardy算子與加權BMO函數生成交換子的加權估計[J].牡丹江師范學院學報：自然科學版，2019（4）：15-18.

[4]Trujillo-González R..Weighted norm inequalities for singular integrals operators satisfying a variant of Hormander condition[J].Comment Math.Univ.Carolin.，2003，44（1）：137-152.

[5]Grubb D.J.，Moore C.N..A variant Hormander's condition for singular integrals[J].Colloq.Math.，1997，73（2）：165-172.

[6]Gao X.L.，Ma B.L..The boundedness of commutators of singular integral operators with Besov functions[J].Scientific Horizon，2010，8（3）：245-252.

[7]周民強.調和分析講義[M].北京大學出版社，2003，67-71.

編輯：琳莉