“以退為進”的教學關鍵是讓學生學會“退”①

崔志榮

(江蘇省東臺市安豐中學 224221)

1 提出問題

2 教學分析

同一類型問題，學生只能做簡單一點的題.說明學生對該類問題有所認識，但不能吃透本質(zhì).“以退為進”的教學策略是解決這個現(xiàn)象的好辦法，從較難問題退到學生有所認識的問題中，讓他們真正吃透問題的本質(zhì)，從而自然而然地解決問題.“以退為進”也是重要的數(shù)學思想方法，它體現(xiàn)了由一般到特殊再到一般的研究思路.因此，數(shù)學教學需要培養(yǎng)學生“以退為進”的解題策略，以使學生遇到陌生問題不懼怕.

我國著名數(shù)學家華羅庚先生說過：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅.”，這充分說明“退”在“以退為進”這種解題策略中的重要性.因此，上述那道數(shù)學問題的教學，不僅僅是解決它，要培養(yǎng)學生“以退為進”的解題意識，更要引導學生思考：如何“退”？

3 教學過程

基于以上分析，本文將展示上述那道題的教學過程，強調(diào)“以退為進”之“退”的教學引導，與讀者交流探討.

3.1 思想意識的建立

學生未必不能理解“以退為進”這一解題策略，但在實際解決問題中，學生思想意識薄弱，很少有學生運用這一思想方法.因此，解題教學中需要加強培養(yǎng)學生的思想意識，要通過長期的熏陶，讓學生自覺運用這樣的解題策略.

問題1這道題確有一定難度，為發(fā)現(xiàn)其解法，先請同學們學習法國著名數(shù)學家、平面直角坐標系的創(chuàng)始人笛卡爾研究“任意一個三角形的重心”的過程，并思考這一研究過程，笛卡爾運用了什么數(shù)學思想方法？

投影資料任意一個三角形的重心在哪兒？笛卡爾的想法是，雖然搞不清楚“任意三角形的重心在哪里”，但可以想象把三角形的一個頂點往下壓，直到把這個頂點壓進另一條邊內(nèi)，這樣三角形就變成一條線段.線段的重心在哪兒？當然在中點上.

于是，笛卡爾知道任意三角形的重心在哪兒了.一個三角形可以認為是由一根根長短不一的火柴棍擺起來的，每一根火柴棍就是一條線段，由于每根火柴棍的重心都在它的中點上，所以整堆火柴棍組成的三角形的重心就在三角形的中線上.因此笛卡爾就說，一個三角形的重心一定在一條邊的中線上.同理，也在另外兩條邊的中線上.由于三角形的重心是唯一的，因此三角形三條中線必須交于一點(即重心).由此，笛卡爾不僅發(fā)現(xiàn)了三角形的重心，還發(fā)現(xiàn)了定理“三角形的三條中線交于一點”.(見文[1])

學生雖然知道笛卡爾所用的思想方法：一般到特殊再到一般.但他們意識不強，有必要用數(shù)學家的故事強調(diào)思想方法的重要性，熏陶他們的思想意識.這其實就是“以退為進”的解題策略.強調(diào)“退”的重要性，進一步熏陶學生的思想意識.而且這種思想方法，教師平時教學中也要經(jīng)常運用，久而久之的熏陶，學生的思想意識才能真正建立.

問題2“以退為進”是一種重要的解題策略，如何“退”很關鍵.我們今天研究的這道題有些復雜，請同學們先思考可以從哪些方向“退”？

如果經(jīng)常運用“以退為進”的解題策略，問題2就不是問題.“退”當然是退到特殊情況，如本題可以“減元”或“降次”，還可以“簡化系數(shù)”.如果是幾何問題，還可以“降維”，也即上文笛卡爾的處理方法.

3.2 一“退”：減元

問題3先從“減元”的角度“退”，這道題可以“退”到什么情況？

3.3 二“退”：降次

問題4再從“降次”的角度“退”，這道題還可以“退”到什么情況？

3.4 三“退”：化系數(shù)為1

問題7對于原題，我們已有初步認識，四次單項式與常數(shù)項的和用基本不等式可轉化為二次單項式，而二次單項式與常數(shù)項的和再用基本不等式可轉化為一次單項式，由此可求最大值.同學們先試著完成，看看還會遇到什么困難.

問題8原題的系數(shù)過于復雜，能不能從系數(shù)的角度思考，將系數(shù)“退”至簡單的情況，以便用待定系數(shù)法，由取等條件容易求出待定系數(shù)？

后，仍無法處理.

問題9請同學們思考，經(jīng)過兩次運用基本不等式后，怎樣才能得到最大值？能不能再“退一退”系數(shù)？

兩個關于x項的處理完全一致，且與y項的處理也一致.于是，上述待定系數(shù)m,n應該相等，即

已將系數(shù)退至簡單情況，利用待定系數(shù)法很容易將常數(shù)分拆，甚至能直接看出. 由

3.5 回歸本質(zhì)

問題10以上我們通過“以退為進”的策略，已分析出2次運用基本不等式解決問題，且解決了待定系數(shù)法運算困難的問題，先請同學們整理一下解題過程，再回顧思考我們“以退為進”流程，以及命題者的命題流程.

學生都能整理解題過程，

所以當且僅當x=y=1時，

得到解題處理方法.

4 結束語

“授人以魚不如授人以漁”，即讓學生學會運用數(shù)學思想方法解決問題，比教會學生數(shù)學知識更重要.“以退為進”是探究陌生數(shù)學問題的重要思想方法，我們應把這種重要的思想方法作為解題教學的重點.在解題教學中，要不怕費時，引導學生學會“退”，讓他們足夠地“退”，通過長期的熏陶，逐步建立學生“以退為進”的思想意識，由此培養(yǎng)學生主動探究陌生問題的勇氣和決心、培養(yǎng)學生能夠解決較難問題的能力.