承“前”啟“后” 以“理”馭“算”

姜鴻雁

在漫長的數學發(fā)展史上，用“字母表示數”讓我們從具體走向抽象。同學們在它的帶領之下，不知不覺走進了“代數式”的領域，為進一步學習“數與代數”開辟了廣闊的天地。下面讓我們在“過往與當下”的聯系中，邊關注當下學習的要點，邊暢想未來的學習之路。

從一個大家非常熟悉的問題開始：

如圖1，用火柴棒搭正方形，我們知道搭1個正方形需要4根火柴棒，搭2個正方形需要7根火柴棒，搭3個正方形需要10根火柴棒……

問題：搭任意多個正方形需要幾根火柴棒？

一、揭示隱含規(guī)律——從特殊到一般

“搭的正方形的個數”與“需要的火柴棒的根數”之間隱藏著規(guī)律：每增加1個正方形，火柴棒的根數增加3。若用字母“n”表示“任意多”正方形的個數，由“數”的規(guī)律，很容易得到答案：3n+1。這是從“特殊”到“一般”的過程，是由“數”到“式”的過程。當n=100時，容易得到結果是301，也就是說，搭100個正方形需要301根火柴棒。不需要動手搭，就能算出答案，這是從“一般”到“特殊”的過程，也是由“式”到“數”的過程。

類似的例子還有許多，所以說，“列代數式”可以揭示生活中大量的普遍規(guī)律，“求代數式的值”使“式”回歸到“數”，正是這種“數”與“式”之間的自如“穿梭”，實現了“數式相通”。正因為“數式相通”，所以學習“代數式”的路徑和方式與剛剛學習的“有理數”很相似。我們不僅要能用字母表示數量之間的規(guī)律，更要能體悟學習中的方法，這樣才能學得更輕松。

二、架構整體框架——從數類比到式

我們借助“數式相通”，回顧“有理數”這一章的學習歷程，再結合“代數式”的已學內容，可以暢想“數與代數”的學習藍圖（圖2）。

由有理數的分類，我們可以預測，代數式應該有除了整式以外的“式”等待學習;由有理數比較大小，我們可以預測，代數式應該也可以比較大小。如果兩個代數式相等，則會出現方程;如果不相等，則會出現不等式。有理數有多種運算類型，由此我們可以猜測，整式除了加減運算，應該還有乘除、乘方等運算，甚至還應該有與各類運算對應的運算法則……所以本章只是代數式學習的“序幕”，一幅長長的學習畫卷在后面等待我們去慢慢“繪制”。

如果說“數式類比圖”是針對知識層面的，那么，就學習方法層面，我們也同樣可以類比。比如“數軸”是研究有理數的有力工具，它實現了從“形”的角度刻畫“數”，體現了數形結合，那么代數式的學習能不能通過“形”來刻畫“式”呢？真是未來可期！

三、追求最簡結果——法則保駕護航

我們繼續(xù)看搭火柴棒的問題。問題的解決除了可以從“數”的角度發(fā)現規(guī)律、表示規(guī)律，還可以從“形”的角度探究結果。

從不同的角度想，雖然得到的結果看似不同，但表達的卻是同一個問題，即本質相同。而在這些結果中，“3n+1”最簡潔。這說明那些不同的表達式可以計算、化簡，也就是這些表示數的字母可以和數一起參與運算或化簡。運算需要有法則作支撐，如同有理數加、減、乘、除、乘方的運算都有對應的法則一樣。事實上，通過學習，我們知道，“去括號法則”“合并同類項法則”都屬于“整式加減運算”的法則。運算時弄清楚運算的原理，以原理駕馭運算的過程，不僅能為運算的正確率保駕護航，而且能使運算的結果通向最簡，體現數學的簡約之美。此外，如此這般的運算過程也彰顯了數學的嚴謹之美。

同學們，在學習中思考，在思考中學習，可以讓我們學得越來越通透。

（作者單位：江蘇省無錫市河埒中學）