激光復(fù)混沌系統(tǒng)構(gòu)建及其點(diǎn)乘函數(shù)投影同步

方 潔，姜明浩，安小宇，鄧 瑋

(1.鄭州輕工業(yè)大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，鄭州 450002；2.河南省信息化電器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，鄭州 450002)

0 引言

混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的。目前，混沌理論已經(jīng)在數(shù)學(xué)、生物學(xué)、信息技術(shù)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、物理學(xué)、等眾多科學(xué)學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用[1-5]。

在現(xiàn)代通信技術(shù)特別是全光網(wǎng)絡(luò)高速發(fā)展的趨勢下，光學(xué)混沌及其保密通信技術(shù)以其獨(dú)特的優(yōu)勢受到了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注。半導(dǎo)體激光器是光纖通信中最常用的光源之一，通過引入附加自由度可以產(chǎn)生豐富的非線性動力學(xué)行為，如果選擇合適的控制參數(shù)，可輸出高維混沌光信號[6-9]?；煦绻庑盘柧哂胁豢砷L期預(yù)測性和類噪聲特性，特別適用于混沌保密通信中。隨著各種激光混沌系統(tǒng)的提出與驗(yàn)證，混沌光通信己經(jīng)成為一種能夠克服數(shù)值計(jì)算加密安全性低的實(shí)用通信技術(shù)[10-12]。

相對于實(shí)混沌系統(tǒng)，復(fù)混沌系統(tǒng)將混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到復(fù)數(shù)域上，增加了系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目，使得混沌系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的動力學(xué)行為。復(fù)混沌系統(tǒng)深厚的物理背景及更加不可預(yù)測和隨機(jī)的狀態(tài)變量的特性使得其在保密通信領(lǐng)域有著巨大的應(yīng)用潛力，吸引了很多學(xué)者對復(fù)混沌動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行研究，并取得了一系列進(jìn)展。文獻(xiàn)[13]研究了一個(gè)三維混沌復(fù)系統(tǒng)的基本性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的自適應(yīng)混沌同步和參數(shù)識別。文獻(xiàn)[14]針對含未知參數(shù)的異結(jié)構(gòu)超混沌復(fù)系統(tǒng)，基于自適應(yīng)控制及Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出一種新的自適應(yīng)廣義組合復(fù)同步方法。文獻(xiàn)[15]研究了時(shí)滯復(fù)Lorenz系統(tǒng)的動態(tài)特性及時(shí)滯因數(shù)的影響，并基于非線性反饋控制方法實(shí)現(xiàn)了復(fù)Lorenz系統(tǒng)的自時(shí)滯混沌同步。文獻(xiàn)[16]基于自適應(yīng)控制方法研究了具有已知或未知參數(shù)的復(fù)混沌系統(tǒng)的修正函數(shù)投影同步。文獻(xiàn)[17]基于滑?？刂品椒ㄑ芯苛司哂形粗獏?shù)和外界干擾的分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)的完全同步。文獻(xiàn)[18]基于非線性控制策略研究了具有參數(shù)擾動的分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)的雙重相同步和反相同步。文獻(xiàn)[19]以超混沌復(fù)系統(tǒng)為載體，研究了該系統(tǒng)的動力學(xué)行為，通過將脈沖注入控制參數(shù)中來增強(qiáng)該混沌系統(tǒng)的隨機(jī)性，并將其應(yīng)用于彩色圖像加密中。文獻(xiàn)[20]構(gòu)建了一個(gè)新的復(fù)混沌系統(tǒng)，分析了其動力學(xué)行為，實(shí)現(xiàn)了3個(gè)復(fù)混沌系統(tǒng)的組合函數(shù)投影同步。已有復(fù)混沌系統(tǒng)及其同步研究大都是基于復(fù)混沌電路，目前還鮮有關(guān)于激光復(fù)混沌系統(tǒng)的有關(guān)報(bào)道。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，基于四維激光實(shí)混沌系統(tǒng)模型，構(gòu)建出一個(gè)新的具有蝴蝶型混沌吸引子的激光復(fù)混沌系統(tǒng)，基于非線性動力學(xué)理論對其耗散性、平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)譜、相圖、分叉圖等動力學(xué)特性進(jìn)行了分析，驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌行為。然后，在向量點(diǎn)積運(yùn)算的基礎(chǔ)上，提出了一種點(diǎn)乘函數(shù)投影同步方式，基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，設(shè)計(jì)具有積分環(huán)節(jié)的滑模面和自適應(yīng)滑模控制器，實(shí)現(xiàn)了蝴蝶型激光復(fù)混沌系統(tǒng)的點(diǎn)乘函數(shù)投影同步。研究成果為激光復(fù)混沌系統(tǒng)應(yīng)用于光保密通信等領(lǐng)域奠定了基礎(chǔ)。

1 多翼蝴蝶型激光復(fù)混沌系統(tǒng)模型

四維激光實(shí)超混沌系統(tǒng)的模型為[4]：

(1)

式中f0,f1,f2,Ω為實(shí)常數(shù)。當(dāng)f1=0.01，f1=0.01，f2=0.01，0.45<Ω<0.98或Ω>0.22時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)正的Lyapunov函數(shù)，為超混沌狀態(tài)。

(2)

當(dāng)f0=1，f1=0.01，f2=0.01，Ω=0.6時(shí)，該系統(tǒng)相圖具有蝴蝶型混沌吸引子，如圖1所示。采用雅閣比方法計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，得到LE1=0.119 665，LE2=0.074 812，LE3=0，LE4=-0.100 009，LE5=-0.059 122，LE6=-0.162 011，LE7=-0.147 536，其Lyapunov指數(shù)仿真結(jié)果如圖2所示?；煦缦到y(tǒng)的一個(gè)典型特征就是其Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維。計(jì)算該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為DL=3.456 266 35，進(jìn)一步說明在此參數(shù)下系統(tǒng)是混沌的。

圖1 混沌吸引子相圖

圖2 Lyapunov指數(shù)譜

2 激光復(fù)混沌系統(tǒng)動力學(xué)特性

2.1 耗散性分析

該激光復(fù)混沌系統(tǒng)的向量場散度

(3)

2.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性分析

記：

E0=[2Af2(A-f1)/B,0.5B/f1,A,-f1,0,-D,0]

E1=[2Af2(A-f1)/B,0.5B/f1,A,-f1,0,D,0]

為了分析系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E0處的穩(wěn)定性，對系統(tǒng)(2)進(jìn)行線性化得其Jacobian矩陣：

顯然有λ1<0。當(dāng)0

在平衡點(diǎn)E1處的Jacobian矩陣為：

選取參數(shù)f0=1，f1=0.01，f2=0.01，計(jì)算出J1的特征值和J0完全相同，因此隨著B在0≤B=1+sin(Ωt)≤2范圍內(nèi)取值變化，平衡點(diǎn)E1也是不穩(wěn)定的焦點(diǎn)或不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

2.3 Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖

隨著參數(shù)的改變，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將會發(fā)生變化，從而使系統(tǒng)處于不同的狀態(tài)。用Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖可以對照分析系統(tǒng)參數(shù)改變對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。下面分別分析參數(shù)Ω和f1在一定范圍內(nèi)改變時(shí)，系統(tǒng)動力學(xué)行為的變化。

1)固定參數(shù)f0=1，f1=0.01，f2=0.01，改變Ω，Ω∈(0,10)。激光復(fù)混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)Ω∈(0,0.3)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有4個(gè)正值，3個(gè)負(fù)值，系統(tǒng)是超混沌的；當(dāng)Ω∈(0.3,4.4)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有3個(gè)正值，4個(gè)負(fù)值，系統(tǒng)超混沌的；Ω∈(4.4,10)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有3個(gè)正值，1個(gè)零值，3個(gè)負(fù)值，是超混沌的。

圖3 Ω∈(0,10)，隨參數(shù)Ω變化的系統(tǒng)圖

2)固定參數(shù)f0=1，f2=0.01，Ω=0.6，改變f1，f1∈(0.003,1)。激光復(fù)混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖如圖4所示。由圖4可知，當(dāng)f1∈(0.003,0.17)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有2個(gè)正值，1個(gè)零值，4個(gè)負(fù)值，系統(tǒng)是超混沌的；當(dāng)f1∈(0.17,0.3)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有2個(gè)正值，5個(gè)負(fù)值，系統(tǒng)是超混沌的；當(dāng)f1∈(0.3,1)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有1個(gè)正值，6個(gè)負(fù)值，系統(tǒng)是混沌的。

圖4 f1∈(0.003,1)，隨參數(shù)f1變化的系統(tǒng)圖

3 激光復(fù)混沌系統(tǒng)的點(diǎn)乘函數(shù)投影同步

3.1 問題描述

同步系統(tǒng)由兩個(gè)混沌驅(qū)動系統(tǒng)和一個(gè)混沌響應(yīng)系統(tǒng)組成，第一個(gè)混沌驅(qū)動系統(tǒng)定義為

(4)

另一個(gè)混沌驅(qū)動系統(tǒng)定義為

(5)

混沌響應(yīng)系統(tǒng)定義為

(6)

(7)

則稱驅(qū)動—響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)乘函數(shù)投影同步。

3.2 滑模控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)滑模面如式(8)：

(8)

其中，si(t)∈R為滑模面函數(shù)；滑模面參數(shù)λi(t)>0,i=1,2,…,n為合適的正常量。

設(shè)計(jì)如式(9)的滑模到達(dá)律：

(9)

由式(7)可得同步系統(tǒng)的動態(tài)誤差為

(10)

為了確保誤差系統(tǒng)軌跡到達(dá)已設(shè)定的滑模面，并保持在滑模面上，可設(shè)計(jì)如式(11)的滑模同步控制器。

(11)

定理1對于同步誤差動態(tài)系統(tǒng)(10)，在滑模同步控制器(11)的作用下，可以使得同步誤差軌跡快速進(jìn)入設(shè)定的滑模面內(nèi)，并始終保持在滑模面上。

證明：選擇正定的Lyapunov泛函為

(12)

對其求導(dǎo)可得：

(13)

根據(jù)式(8)和式(10)可得：

(14)

將式(11)代入式(14)可得：

(15)

3.3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述方案的正確性，將激光復(fù)混沌系統(tǒng)(2)分別作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。第一個(gè)驅(qū)動系統(tǒng)的初始值取為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0),x5(0),x6(0),x7(0))=(-3,2,-0.6,0.5,-2,3,0.8)；第二個(gè)驅(qū)動系統(tǒng)的初始值取為(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0),y7(0))=(-0.3,2,0.6,5,-0.9,3,1)；響應(yīng)系統(tǒng)的初始值取為(z1(0),z2(0),z3(0),z4(0),z5(0),z6(0),z7(0))=(0.3,2,1.5,1,-0.8,1,2)；函數(shù)比例因子為m(t)=2+sin(t)；取λi=ρi=5,i=1,2,…,n。驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步狀態(tài)曲線如圖5所示，同步誤差e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7隨時(shí)間t的變化曲線如圖6所示。由仿真結(jié)果可知，在控制器的作用下，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線趨于一致，同步誤差e逐漸趨近于零，即驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)通過滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了點(diǎn)乘函數(shù)投影同步。

圖5 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步狀態(tài)曲線

圖6 同步誤差隨時(shí)間t的變化曲線

4 結(jié)論

本文在激光實(shí)混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)蝴蝶結(jié)型激光復(fù)混沌系統(tǒng)，利用耗散性、平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)譜、相圖及分叉圖等對其基本動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。隨著參數(shù)變化，該系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的混沌、超混沌現(xiàn)象，非常適用于混沌加密領(lǐng)域。進(jìn)一步，以向量點(diǎn)積運(yùn)算為基礎(chǔ)，定義了一種新的點(diǎn)乘函數(shù)投影同步方式，基于滑?？刂扑枷耄瑢?shí)現(xiàn)了兩個(gè)驅(qū)動系統(tǒng)和一個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)的點(diǎn)乘函數(shù)投影同步。以新構(gòu)造的激光復(fù)混沌系統(tǒng)為例的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論方法的有效性。研究成果為激光復(fù)混沌系統(tǒng)的光保密通信應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。