“點”和“面”的奇妙關(guān)系

李如

古埃及人非常聰明。他們在鋪地板的時候發(fā)現(xiàn)，想要用同樣大小且同一種形狀的正多邊形鋪滿地面并且不留縫隙，只能用正三角形、正方形與正六邊形三種圖形中的一種。

從鋪地板這件事中，古埃及人還發(fā)現(xiàn)了我們今天所說的勾股定理：直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

有趣的是，鋪地板還引出了一個令人困擾的數(shù)學(xué)問題：平面上以格點為頂點的多邊形，我們該如何計算其面積呢？

有趣的格點

你知道什么是格點嗎？用水平線和垂直線將平面分成若干個邊長為1的小方格，小方格的頂點就是我們說的格點。

如果一個多邊形的頂點全是格點，這個多邊形就叫作格點多邊形。有時候，我們通過計算格點多邊形占多少個小方格，就可以很方便地計算出它的面積。但這個方法的適用性并不強，只能應(yīng)用于比較規(guī)整的格點多邊形，稍微復(fù)雜一點兒的圖形，這個方法便無法快速地計算出其面積。

對于一些規(guī)則的圖形，如矩形、三角形，它們有自己的面積計算公式。例如，矩形的面積=長×寬，三角形的面積=底×高÷2。但是對于一些不規(guī)則的圖形，我們應(yīng)該怎樣計算其面積呢？

面積“神功”

比如圖1中的格點多邊形，假設(shè)一個小方格的邊長是1 cm，則每個小方格的面積是1 cm2。

在我們知道矩形、三角形面積計算公式的情況下，面對這個不規(guī)則的格點多邊形，常用的計算面積的方法有：

一、用矩形減“四周”。即用矩形的面積減去這個格點多邊形周圍四個三角形的面積。

那么這個格點多邊形的面積

S=5×6-1

2×2×3-1

2×3×4-1

2×3×1-1

2×1×5

=30-3-6-1.5-2.5=17（cm2）

二、切割法。把這個不規(guī)則的格點多邊形切割成四個三角形和一個矩形。

那么這個格點多邊形的面積

S=1

2×2×3+1

2×4×3+1

2×1×5+1

2×1×3+2×2

=3+6+2.5+1.5+4=17（cm2）

以上兩種方法都可以計算出格點多邊形的面積，但計算過程不免有些繁瑣和復(fù)雜。于是，數(shù)學(xué)家們便想了一個更加簡便的方法，來計算格點多邊形的面積。

皮克定理

皮克定理被譽為有史以來“最重要的100個數(shù)學(xué)定理”之一，它是由奧地利數(shù)學(xué)家喬治·亞歷山大·皮克在1899年發(fā)現(xiàn)的。皮克將格點多邊形的格點數(shù)和面積聯(lián)系到了一起，這是一種極其具有開創(chuàng)性的思維。

皮克定理可以這樣解釋：若一個面積為S的格點多邊形，其邊界上有a個格點，內(nèi)部有b個格點，則有S=a

2+b-1。根據(jù)定理，我們只要數(shù)清楚格點數(shù)再將其代入公式，就可以輕松算出格點多邊形的面積了。

例如圖1，我們數(shù)出圖1中格點多邊形的邊界上有4個格點，內(nèi)部有16個格點，即a=4，b=16，根據(jù)皮克定理可得S=4

2+16-1=17（cm2）。我們可以清楚地看到，最終的結(jié)果與前兩種計算方法所得的結(jié)果是一致的！面積的計算居然可以通過數(shù)格點數(shù)來得到，是不是非常有趣？

當然皮克定理也有不適用的時候。例如當多邊形是非格點多邊形時，即多邊形某個頂點不在格點上，如圖2這種情況，就不適用了。