二維耦合諧振子的非對易能譜

茍立丹

(長春理工大學(xué)物理學(xué)院, 長春 130022)

(2021 年1 月14 日收到; 2021 年6 月9 日收到修改稿)

1 引 言

非對易空間的概念很早就被提出了[1], 但最初并沒有引起人們的重視. 后來由于弦理論的發(fā)展[2],非對易研究重新受到了人們的關(guān)注. 研究人員開始探索一些領(lǐng)域中的非對易效應(yīng), 例如量子引力[3,4]、凝聚態(tài)物理[5]等. 很多問題被納入到了非對易空間中進行研究[6-8], 例如諧振子[9]、氫原子[10]、朗道能級[9,11]等. 通常研究非對易空間量子系統(tǒng)的方法是將非對易算符通過映射的方法投影到對易空間, 使得算符滿足標(biāo)準(zhǔn)的海森伯代數(shù), 從而解決非對易問題. 2008 年范洪義等[12]把不變本征算符方法(invariant eigen-operator method, IEO)引入到非對易范疇, 用于求解非對易空間諧振子哈密頓量的能譜. 該方法是在海森伯思想和薛定諤算符的基礎(chǔ)上提出的一種求解量子系統(tǒng)能譜的方法[13,14], 已經(jīng)在物理學(xué)的很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用, 如固體物理[15,16]、介觀物理[17,18]、二次型哈密頓量[19]等. 研究表明IEO 方法對于處理非對易空間諧振子的能譜問題是比較有效的. 目前已有學(xué)者用IEO 方法研究過非對易相空間中任意維諧振子[20]、雙模耦合諧振子[21]、三模耦合諧振子能譜[22].

耦合諧振子模型是量子理論、固體物理、原子分子物理等領(lǐng)域中的基礎(chǔ)模型, 對于研究多體問題和關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的相互作用具有重要的理論意義和實際價值. 例如: 晶體中原子排列成有序的結(jié)構(gòu), 原子與原子之間的相互作用可以用耦合諧振子模型進行模擬, 耦合參數(shù)可以描述相互作用強度. 此外,還有很多的物理問題都可以簡化到耦合諧振子模型, 因此研究非對易空間中的耦合諧振子能譜特性是很有意義的[23-25]. 文獻[26]利用坐標(biāo)變換將非對易問題變?yōu)閷σ讍栴}, 然后用通常的量子力學(xué)方法求解. 文獻[27]介紹了變形量子化方法, 即通過引入時間演化函數(shù)和魏格納函數(shù)進行求解.

目前的研究結(jié)果普遍存在兩方面的問題, 一是對于非對易空間, 只考慮了坐標(biāo)和坐標(biāo)不對易的情形, 而忽視了動量和動量的不對易, 以及兩者同時存在不對易的情形[26]; 二是耦合諧振子模型的哈密頓量只含有某一類耦合項, 并沒有討論同時包含多種耦合項的哈密量的本征問題[21,22,26,27].

在非對易的理論框架下出現(xiàn)了很多新的問題,由于坐標(biāo)算符之間的不對易和動量算符之間的不對易, 所以求解耦合諧振子的能譜并非易事. 而IEO方法源于海森伯方程, 無須涉及系統(tǒng)的具體量子態(tài), 只關(guān)注能級間隙, 避免了哈密頓量的對角化,可以比較容易地解決一些問題. 因此本文嘗試用IEO 方法研究坐標(biāo)和動量同時存在不對易的非對易相空間中二維耦合諧振子的量子特性. 用該方法可以較方便地得出同時包含坐標(biāo)坐標(biāo)耦合、動量動量耦合及坐標(biāo)動量交叉耦合項的哈密頓量的能級差, 進而得到體系的非對易能譜. 然后詳細分析了非對易參數(shù)和耦合參數(shù)對于非對易能級的具體影響, 得到了一些有意義的結(jié)果.

2 不變本征算符方法

量子力學(xué)中海森伯運動方程為(采用自然單位制 ?=1 )

引入不變本征算符O, 使其滿足方程

由(3)式可知λ=Eb?Ea, 因此,λ就是系統(tǒng)的能級差 ΔE.

3 二維耦合諧振子的非對易能譜

在一般的對易空間中, 坐標(biāo)算符xi和動量算符pi滿足海森伯代數(shù)關(guān)系:

其中i,j=1,2 .在非對易相空間中, 坐標(biāo)算符Xi和動量算符Pi滿足以下關(guān)系:

其中,εij是反對稱張量,θ和?是非對易參數(shù). 非對易相空間中的坐標(biāo)和動量是缺乏對稱性的.

文獻[26, 27]研究的二維耦合諧振子模型的哈密頓量僅含有坐標(biāo)耦合項, 為了使討論更具有一般性, 本文設(shè)二維耦合諧振子的哈密頓量是

其中,η是坐標(biāo)坐標(biāo)耦合參數(shù),σ是動量動量耦合參數(shù),κ是坐標(biāo)動量交叉耦合參數(shù), 這些耦合參數(shù)可以表示相互作用的強度. 哈密頓量H包含了所有的可能的耦合項, 可以作為二維耦合諧振子的一般模型. 通過(5)式得到

可以看出算符集合{X1,X2,P1,P2}在與H對易關(guān)系的運算中是封閉的, 因此設(shè)不變本征算符為

其中,α,β,γ,ε是待定的系數(shù). 算符O滿足如下方程

將(6)式和(8)式代入(9)式解得

根據(jù)IEO 方法,λ1和λ2為系統(tǒng)的能級差 ΔE. 由此可以得到二維耦合諧振子的非對易能級為

其中,n1,n2是量子數(shù), 且是非負(fù)整數(shù);c是常數(shù).我們所熟知的通常對易空間中二維諧振子的能級是En1,n2=n1+n2+1 , 且能級除基態(tài)外都是簡并的. 考慮對(11)式取極限θ →0 ,? →0 , 并且忽略耦合項可以得到通常二維諧振子的能級, 所以取c= 1.

4 討 論

假設(shè)所有耦合參數(shù)都為0, 則二維非耦合諧振子的非對易能級可以寫為

由(12)式可以看出二維非耦合諧振子的非對易能級是非簡并的. 為了展示非對易性對該能級的影響, 我們舉一個具體的例子, 即當(dāng)n1+n2=2 時,各個能級的值如表1 所示.

表1 能級 的值(n1+n2 = 2, η= σ = κ = 0)Table 1. Values of E (n1+n2 = 2, η = σ = κ = 0).

表1 能級 的值(n1+n2 = 2, η= σ = κ = 0)Table 1. Values of E (n1+n2 = 2, η = σ = κ = 0).

E(1)2,0E(1)1,1E(1)0,2 θ = φ = 0333 θ = 0.1, φ = 03.10253.00252.9025 θ = 0, φ = 0.13.10253.00252.9025 θ = 0.1, φ = 0.13.23.02.8

從表1 可以看到, 第2 行當(dāng)非對易參數(shù)θ和?都為0 時, 能級是簡并的, 這與通常對易空間中二維諧振子的能級情況是一致的. 而表中第3 至5 行當(dāng)參數(shù)θ和?不為0 時, 能級會出現(xiàn)劈裂. 第3 行參數(shù)θ對能級的影響程度和第4 行參數(shù)?的影響程度是一樣的, 即以相同的數(shù)值破壞能級的簡并. 第5 行中參數(shù)θ和?的同時作用會加大能級劈裂的程度. 這些結(jié)果表明雖然對易空間二維諧振子存在對稱性, 具體表現(xiàn)為能級的簡并, 但是非對易性能夠破壞這種對稱性, 并產(chǎn)生了能級劈裂.

當(dāng)非對易參數(shù)θ和?都為0 時, 二維耦合諧振子的能級可以寫為

為了展示耦合諧振子能級的變化, 仍以n1+n2=2時的能級為例, 具體能級值如表2 所示.

表2 說明即使非對易參數(shù)θ和?為0, 但耦合參數(shù)η,σ和κ不為0, 能級也會出現(xiàn)劈裂, 即耦合項的加入同樣會破壞能級的對稱性, 使得能級變成非簡并的. 表2 第2 至4 行表示系統(tǒng)只包含一類耦合項時能級的變化, 可以看出坐標(biāo)耦合參數(shù)η和動量耦合參數(shù)σ對能級的影響程度是一樣的, 但是坐標(biāo)動量交叉耦合參數(shù)κ對能級的影響小于η和σ.表2 第5 至7 行表示系統(tǒng)包含兩類耦合項時能級的變化. 其中第5 行是系統(tǒng)同時包含坐標(biāo)耦合和動量耦合時的能級, 與第2 至4 行比較可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)同時包含兩個耦合項時能級劈裂的程度變大了.第6 行是系統(tǒng)同時包含坐標(biāo)耦合和坐標(biāo)動量交叉耦合時的能級, 與第5 行比較可以發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)動量交叉耦合項的出現(xiàn)使能級劈裂的程度變小了. 第7 行是系統(tǒng)同時包含動量耦合和坐標(biāo)動量交叉耦合時的能級, 與第6 行的結(jié)果是一樣的. 表2 第8 行是系統(tǒng)同時包含坐標(biāo)耦合、動量耦合和坐標(biāo)動量交叉耦合時的能級, 與第5 至7 行比較可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)同時包含三類耦合項時能級劈裂的程度進一步增大了.

表2 能級 的值(n1+n2 = 2, θ = φ = 0)Table 2. Values of E(n1+n2 = 2, θ = φ = 0).

表2 能級 的值(n1+n2 = 2, θ = φ = 0)Table 2. Values of E(n1+n2 = 2, θ = φ = 0).

E(2)2,0E(2)1,1E(2)0,2 η = 0.1, σ = 0, κ = 03.09762 2.99749 2.89737 η = 0, σ = 0.1, κ = 03.09762 2.99749 2.89737 η = 0, σ = 0.1, κ = 0.13.0000 2.9798 2.95959 η = 0.1, σ = 0.1, κ = 03.23.02.8 η = 0.1, σ = 0, κ = 0.13.05913 2.97825 2.82038 η = 0, σ = 0.1, κ = 0.13.05913 2.97825 2.82038 η = 0.1, σ = 0.1, κ = 0.13.16333 2.98167 2.80000

能級En1,n2(n1+n2=2) 隨參數(shù)θ的變化情況如圖1 所示. 從圖1 可以看到,E2,0隨著θ的增加而增加.E1,1隨著θ的變化比較平緩, 總體趨勢是逐漸增加的.E0,2是隨著θ的增加先減小后增加.而且圖1中θ=1 的點是能級的最小值. 這是因為當(dāng)θ?=1 時(11)式中的第2 項等于0. 另外, 當(dāng)θ取較大值時, 能級E1,1和E2,0呈現(xiàn)出線性變化的趨勢.能級En1,n2隨參數(shù)?的變化情況與圖1 相同, 這里不再贅述.

圖1 En1,n2 隨θ 的變化曲線(n1 + n2 = 2, φ = 1, η =0.5, σ = 0.5, κ = 0.5)Fig. 1. En1,n2 versus θ (n1 + n2 = 2, φ = 1, η = 0.5, σ =0.5, κ = 0.5).

5 結(jié) 論

本文構(gòu)造了同時包含坐標(biāo)坐標(biāo)、動量動量及坐標(biāo)動量交叉的所有耦合項的二維耦合諧振子的模型, 并在非對易相空間中研究其能譜的特性. 首先,用IEO 方法計算得到了二維耦合諧振子非對易能譜的解析解. 從(10)式和(11)式可以看出, 系統(tǒng)能譜是與耦合參數(shù)和非對易參數(shù)有關(guān)的. 其次, 由于該解析解形式比較復(fù)雜, 所以對其進行了分類討論. 以圖表的形式詳細分析了耦合參數(shù)和非對易參數(shù)對能譜的影響, 得到以下結(jié)果. 1)受到非對易參數(shù)的影響能級會出現(xiàn)劈裂. 一般對易空間中二維諧振子具有較高的對稱性, 表現(xiàn)在其能級除基態(tài)外是簡并的. 然而, 非對易性的出現(xiàn)破壞了這種對稱性,使得能級出現(xiàn)了劈裂. 由于非對易相空間中坐標(biāo)和動量算符的形變導(dǎo)致了二維耦合諧振子的非對易能級出現(xiàn)非簡并的情況. 這是很重要的性質(zhì), 為我們檢驗空間的非對易性提供了可能的途徑. 2)非對易參數(shù)θ可以使n1?=0 的能級值增加, 而且隨著θ值的不斷增加, 能級會隨其線性變化. 但是對于n1=0的能級,θ使其值先減少后增加. 參數(shù)?也有同樣的效果. 3)如果對非對易能譜取極限值, 即θ →0,? →0 , 結(jié)果會與通常對易空間中的二維諧振子的能譜一致. 4)受到耦合參數(shù)的影響, 能級會出現(xiàn)劈裂. 耦合項表示諧振子兩個維度之間的相互作用, 這種相互作用引起了能級的移動, 導(dǎo)致能級出現(xiàn)非簡并的情況. 而且當(dāng)系統(tǒng)包含的耦合種類增多時, 能級劈裂的程度也會增大. 同時發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)耦合參數(shù)η和動量耦合參數(shù)σ對能級的影響程度是一樣的, 但是坐標(biāo)動量交叉耦合參數(shù)κ對能級的影響小于η和σ.